Question 5 in exam format

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 5 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. א. לגרף הפונקציה יש אסימפטוטה אנכית אחת. מהו הערך של xx במשוואה שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.693

Worked solution:

ex−2=0⇒ex=2⇒x=ln⁡2\begin{aligned}e^x - 2 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

המכנה מתאפס

x=ln⁡2:eln⁡2=2≠0\begin{aligned}x &= \ln 2 : e^{\ln 2} \\ &= 2 \ne 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס שם, ולכן זו אסימפטוטה אנכית

ln⁡2≈0.693\ln 2 \approx 0.693

האסימפטוטה האנכית היא x=ln⁡2≈0.693x = \ln 2 \approx 0.693.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. א. מהי משוואת האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה כאשר x→+∞x \to +\infty?

  1. y=0y=0
  2. y=−1y=-1
  3. y=2y=2
  4. y=1y=1
Show the answer and the solution

Answer: D y=1y=1

Worked solution:

f(x)=exex−2=11−2e−x\begin{aligned}f(x) &= \frac{e^x}{e^x - 2} \\ &= \frac{1}{1 - 2e^{-x}}\end{aligned}

מחלקים את המונה ואת המכנה ב-exe^x

x→+∞:2e−x→0⇒f(x)→1x \to +\infty : 2e^{-x} \to 0 \Rightarrow f(x) \to 1

כאשר x→+∞x \to +\infty האסימפטוטה היא y=1y=1. התשובה y=0y=0 נכונה בצד השני, כאשר x→−∞x \to -\infty.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ב. מה אפשר לומר על העלייה והירידה של הפונקציה?

  1. קבועה
  2. יורדת בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה
  3. עולה ואחר כך יורדת
  4. עולה בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה
Show the answer and the solution

Answer: B יורדת בכל אחד משני חלקי תחום ההגדרה

Worked solution:

f′(x)=ex(ex−2)−ex⋅ex(ex−2)2=−2ex(ex−2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x - 2) - e^x \cdot e^x}{(e^x - 2)^2} \\ &= \frac{-2e^x}{(e^x - 2)^2}\end{aligned}

כלל המנה

ex>0 ; (ex−2)2>0⇒f′(x)<0e^x > 0 \ ; \ (e^x - 2)^2 > 0 \Rightarrow f'(x) < 0

לכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2

f(0)=−1 ; f(ln⁡4)=2\begin{aligned}f(0) &= -1 \ ; \ f(\ln 4) \\ &= 2\end{aligned}

אבל f(0)<f(ln⁡4)f(0) < f(\ln 4): מעבר לאסימפטוטה הערך קופץ

הפונקציה יורדת ב-x<ln⁡2x < \ln 2 וגם ב-x>ln⁡2x > \ln 2. לא אומרים « יורדת לכל xx », כי בין שני החלקים יש אסימפטוטה, ו-f(0)<f(ln⁡4)f(0) < f(\ln 4).

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ג. באיזו צורה אפשר לכתוב את 1f(x)\frac{1}{f(x)}, לכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2?

  1. 1+2e−x1 + 2e^{-x}
  2. 1−2e−x1 - 2e^{-x}
  3. ex−2e^x - 2
  4. 2e−x−12e^{-x} - 1
Show the answer and the solution

Answer: B 1−2e−x1 - 2e^{-x}

Worked solution:

1f(x)=ex−2ex\frac{1}{f(x)} = \frac{e^x - 2}{e^x}

הופכים את השבר. f(x)≠0f(x) \ne 0, כי המונה exe^x חיובי

ex−2ex=exex−2ex=1−2e−x\begin{aligned}\frac{e^x - 2}{e^x} &= \frac{e^x}{e^x} - \frac{2}{e^x} \\ &= 1 - 2e^{-x}\end{aligned}

מפרידים לשני שברים

1f(x)=1−2e−x\frac{1}{f(x)} = 1 - 2e^{-x}. התשובה ex−2e^x - 2 הופכת רק את המכנה ושוכחת את המונה exe^x.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ג. הפונקציה g(x)=1−2e−xg(x) = 1 - 2e^{-x} מוגדרת לכל xx, ולכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2 מתקיים g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה gg עם ציר ה-xx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.693

Worked solution:

1−2e−x=0⇒e−x=12\begin{aligned}1 - 2e^{-x} &= 0 \Rightarrow e^{-x} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
ex=2⇒x=ln⁡2≈0.693\begin{aligned}e^x &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

הופכים את שני האגפים

הגרף של gg חותך את ציר ה-xx בנקודה (ln⁡2,0)(\ln 2, 0): בדיוק במקום של האסימפטוטה האנכית של ff. שם 1f\frac{1}{f} עצמה אינה מוגדרת, כי ff אינה מוגדרת, ולכן השאלה היא על gg, שמוגדרת לכל xx.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ד. הפונקציה g(x)=1−2e−xg(x) = 1 - 2e^{-x} מוגדרת לכל xx, ולכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2 מתקיים g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. לפניכם טענה: ∫12g(x) dx<1\int_1^2 g(x)\,dx < 1. האם הטענה נכונה? נמקו בלי לחשב את האינטגרל.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

2e−x>0⇒g(x)=1−2e−x<12e^{-x} > 0 \Rightarrow g(x) = 1 - 2e^{-x} < 1

לכל xx מחסרים מ-11 מספר חיובי

∫12g(x) dx<∫121 dx=2−1=1\begin{aligned}\int_1^2 g(x)\,dx < \int_1^2 1\,dx &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

אורך הקטע הוא 11, ו-gg קטנה מ-11 בכל הקטע

הטענה נכונה, ולא צריך לחשב: g(x)<1g(x) < 1 לכל xx, והקטע באורך 11, ולכן האינטגרל קטן מ-11.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=exex−2f(x) = \frac{e^x}{e^x - 2}. ה. הפונקציה g(x)=1−2e−xg(x) = 1 - 2e^{-x} מוגדרת לכל xx, ולכל x≠ln⁡2x \ne \ln 2 מתקיים g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. חשבו את ∫ln⁡2ln⁡4g(x) dx\int_{\ln 2}^{\ln 4} g(x)\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.193

Worked solution:

∫(1−2e−x)dx=x+2e−x+C\int \left(1 - 2e^{-x}\right)dx = x + 2e^{-x} + C

פונקציה קדומה: (−2e−x)(-2e^{-x}) היא הנגזרת של 2e−x2e^{-x}

[x+2e−x]ln⁡2ln⁡4=(ln⁡4+24)−(ln⁡2+22)\left[x + 2e^{-x}\right]_{\ln 2}^{\ln 4} = \left(\ln 4 + \frac{2}{4}\right) - \left(\ln 2 + \frac{2}{2}\right)

e−ln⁡4=14e^{-\ln 4} = \frac{1}{4} ו-e−ln⁡2=12e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}

ln⁡4−ln⁡2−12=ln⁡2−12≈0.193\ln 4 - \ln 2 - \frac{1}{2} = \ln 2 - \frac{1}{2} \approx 0.193

ln⁡4=2ln⁡2\ln 4 = 2\ln 2

∫ln⁡2ln⁡4g(x) dx=ln⁡2−12≈0.193\int_{\ln 2}^{\ln 4} g(x)\,dx = \ln 2 - \frac{1}{2} \approx 0.193.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade