Question 4 in exam format · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 4 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. לפניכם טענה: הפונקציה מוגדרת לכל $x$ . האם הטענה נכונה? נמקו.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

e^x > 0 \ ; \ a > 0 \Rightarrow e^x + a > 0

המכנה הוא סכום של שני מספרים חיוביים

e^x + a \ne 0

המכנה אף פעם לא מתאפס

הטענה נכונה: תחום ההגדרה הוא כל $x$ , ולכן לגרף אין אסימפטוטה אנכית.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. מהן האסימפטוטות האופקיות של גרף הפונקציה?

$y=0$ ו- $y=1$
$y=0$ בלבד
$y=a$
$y=1$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: A $y=0$ ו- $y=1$

Worked solution:

x \to -\infty : e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to \frac{0}{0 + a} = 0

משמאל: $y = 0$

\begin{aligned}f(x) &= \frac{e^x}{e^x + a} \\ &= \frac{1}{1 + ae^{-x}}\end{aligned}

מחלקים את המונה ואת המכנה ב- $e^x$

x \to +\infty : ae^{-x} \to 0 \Rightarrow f(x) \to 1

מימין: $y = 1$

לגרף שתי אסימפטוטות אופקיות: $y=0$ כאשר $x \to -\infty$ , ו- $y=1$ כאשר $x \to +\infty$ . התשובה « $y=0$ בלבד » בודקת רק צד אחד.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ב. מה אפשר לומר על העלייה והירידה של הפונקציה?

יורדת לכל $x$
עולה ואחר כך יורדת
תלוי בערך של $a$
עולה לכל $x$

Show the answer and the solution

Answer: D עולה לכל $x$

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{e^x(e^x + a) - e^x \cdot e^x}{(e^x + a)^2} \\ &= \frac{ae^x}{(e^x + a)^2}\end{aligned}

כלל המנה

a > 0 \ ; \ e^x > 0 \ ; \ (e^x + a)^2 > 0

כל הגורמים חיוביים

f'(x) > 0

הנגזרת חיובית לכל $x$

הפונקציה עולה לכל $x$ , ולכל $a > 0$ . התשובה « תלוי בערך של $a$ » הייתה נכונה רק אם $a$ היה יכול להיות $0$ או שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ג. ידוע ש- $f(0) = \frac{1}{4}$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{e^0 + a} \\ &= \frac{1}{1 + a}\end{aligned}

מציבים $x = 0$

\begin{aligned}\frac{1}{1 + a} &= \frac{1}{4} \Rightarrow 1 + a \\ &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

$a = 3$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ד. עבור $a = 3$ , לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.099

Worked solution:

f'(x) = \frac{3e^x}{(e^x + 3)^2}

הנגזרת מסעיף ב, עם $a = 3$

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{3e^x(e^x + 3)^2 - 3e^x \cdot 2(e^x + 3)e^x}{(e^x + 3)^4} \\ &= \frac{3e^x(3 - e^x)}{(e^x + 3)^3}\end{aligned}

כלל המנה, ואז מצמצמים בגורם $e^x + 3$

\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3 \approx 1.099\end{aligned}

כי $3e^x > 0$

x < \ln 3 : f'' > 0 \ ; \ x > \ln 3 : f'' < 0

משמאל קעירות כלפי מעלה, ומימין קעירות כלפי מטה

הקעירות מתחלפת ב- $x = \ln 3$ , ולכן זו נקודת הפיתול.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ד. עבור $a = 3$ , לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת, והיא נמצאת כאשר $x = \ln 3$ . מהו שיעור ה- $y$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

\begin{aligned}f(\ln 3) &= \frac{e^{\ln 3}}{e^{\ln 3} + 3} \\ &= \frac{3}{3 + 3}\end{aligned}

מציבים בפונקציה המקורית, ו- $e^{\ln 3} = 3$

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

נקודת הפיתול היא $(\ln 3, \frac{1}{2})$ : בדיוק באמצע בין שתי האסימפטוטות $y=0$ ו- $y=1$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + a}$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ה. מציבים בביטוי של $f$ את הערך $a = -1$ , שאינו מקיים $a > 0$ , ומקבלים את הפונקציה $h(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}$ . מהי האסימפטוטה האנכית של גרף הפונקציה $h$ ?

$x=-1$
לגרף אין אסימפטוטה אנכית
$x=0$
$x=1$

Show the answer and the solution

Answer: C $x=0$

Worked solution:

\begin{aligned}e^x - 1 &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה מתאפס רק כאשר $x = 0$

\begin{aligned}x &= 0 : e^0 \\ &= 1 \ne 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס שם, ולכן $|h(x)|$ גדל בלי גבול ליד $x = 0$

האסימפטוטה האנכית היא $x=0$ . התנאי $a > 0$ הוא מה ששמר על המכנה חיובי; בלעדיו המכנה יכול להתאפס. התשובה $x=1$ פותרת $x - 1 = 0$ במקום $e^x - 1 = 0$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev