Question 3 in exam format · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 3 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. לפונקציה יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה? הביעו באמצעות $a$ .

$a$
$e^a$
$\frac{1}{a}$
$\ln a$

Show the answer and the solution

Answer: D $\ln a$

Worked solution:

f'(x) = e^x - a

הנגזרת של $ax$ היא $a$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= a \Rightarrow x \\ &= \ln a\end{aligned}

אפשר להפעיל $\ln$ כי $a > 0$

f''(x) = e^x > 0

הנגזרת השנייה חיובית: נקודת מינימום

נקודת הקיצון היא מינימום, כאשר $x = \ln a$ . התשובה $e^a$ הופכת את הפעולה: מ- $e^x = a$ יוצא $x = \ln a$ , ולא $x = e^a$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. א. מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= e^0 - a \cdot 0 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים $x = 0$ . האיבר $ax$ מתאפס

לכל ערך של $a$ הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, 1)$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ב. ידוע שהערך המינימלי של הפונקציה הוא $0$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 2.718

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= e^x - a \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln a\end{aligned}

נקודת המינימום

\begin{aligned}f(\ln a) &= e^{\ln a} - a\ln a \\ &= a(1 - \ln a)\end{aligned}

הערך המינימלי

\begin{aligned}a(1 - \ln a) &= 0 \Rightarrow \ln a \\ &= 1\end{aligned}

כי $a > 0$

a = e \approx 2.718

$a = e$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ג. עבור $a = e$ , לפניכם טענה: גרף הפונקציה משיק לציר ה- $x$ בנקודה שבה $x = 1$ . האם הטענה נכונה? נמקו.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= e^x - ex \ ; \ f(1) \\ &= e - e \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה $(1, 0)$ נמצאת על הגרף

\begin{aligned}f'(1) &= e^1 - e \\ &= 0\end{aligned}

השיפוע בנקודה הוא $0$ , כמו השיפוע של ציר ה- $x$

\begin{aligned}f''(x) &= e^x > 0 \ ; \ \ln e \\ &= 1\end{aligned}

הנקודה שבה $x = \ln e = 1$ היא נקודת המינימום, ולכן בכל נקודה אחרת $f(x) > 0$

הטענה נכונה: הגרף נוגע בציר ה- $x$ בנקודה $(1, 0)$ , שהיא נקודת המינימום שלו, ולא חוצה אותו.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ג. עבור $a = 1$ , מהו הערך המינימלי של הפונקציה?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= e^x - x \ ; \ f'(x) \\ &= e^x - 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

כאן $\ln a = \ln 1 = 0$

f''(x) = e^x > 0

מינימום

\begin{aligned}f(0) &= e^0 - 0 \\ &= 1\end{aligned}

עבור $a = 1$ הערך המינימלי הוא $1$ , בנקודה $(0, 1)$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ד. לאילו ערכים של $a$ אין לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה- $x$ ?

$a>e$
$a=e$
לכל $a>0$
$0<a<e$

Show the answer and the solution

Answer: D $0<a<e$

Worked solution:

\begin{aligned}f_{\min} &= f(\ln a) \\ &= a(1 - \ln a)\end{aligned}

הערך המינימלי, כמו בסעיף ב

x \to -\infty : f(x) \to +\infty \ ; \ x \to +\infty : f(x) \to +\infty

כאשר $x \to -\infty$ האיבר $-ax$ גדל, וכאשר $x \to +\infty$ האיבר $e^x$ גדל מהר יותר מ- $ax$

a(1 - \ln a) > 0 \Rightarrow \ln a < 1 \Rightarrow a < e

אין חיתוך רק כשהמינימום מעל הציר

אין נקודות חיתוך כאשר $0<a<e$ . כאשר $a=e$ יש נקודה אחת, שבה הגרף משיק לציר, וכאשר $a>e$ המינימום שלילי ויש שתי נקודות חיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x - ax$ , כאשר $a > 0$ פרמטר. ה. עבור $a = e$ , חשבו את $\int_0^1 f(x)\,dx$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.359

Worked solution:

f(x) = e^x - ex

מציבים $a = e$

\int \left(e^x - ex\right)dx = e^x - \frac{e}{2}x^2 + C

פונקציה קדומה. $e$ הוא מספר קבוע

\left[e^x - \frac{e}{2}x^2\right]_0^1 = \left(e - \frac{e}{2}\right) - (1 - 0)

מציבים את גבולות האינטגרציה

\frac{e}{2} - 1 \approx 0.359

$\int_0^1 f(x)\,dx = \frac{e}{2} - 1 \approx 0.359$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev