Question 2 in exam format · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 2 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . א. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.386

Worked solution:

\begin{aligned}e^{2x} - 4e^x &= e^x(e^x - 4) \\ &= 0\end{aligned}

מוציאים $e^x$ כגורם משותף

\begin{aligned}e^x > 0 \Rightarrow e^x &= 4 \Rightarrow x \\ &= \ln 4 \approx 1.386\end{aligned}

מפעילים $\ln$ על שני האגפים

הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(\ln 4, 0)$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . א. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= e^0 - 4e^0 \\ &= 1 - 4 \\ &= -3\end{aligned}

מציבים $x = 0$

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, -3)$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ב. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים. איזו מהתשובות מתארת את האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה?

$y=-4$
$y=0$ , כאשר $x \to +\infty$
לגרף אין אסימפטוטה אופקית
$y=0$ , כאשר $x \to -\infty$

Show the answer and the solution

Answer: D $y=0$ , כאשר $x \to -\infty$

Worked solution:

x \to -\infty : e^{2x} \to 0 \ ; \ e^x \to 0 \Rightarrow f(x) \to 0

שני האיברים שואפים ל- $0$ , ולכן $y = 0$ היא אסימפטוטה משמאל

x \to +\infty : f(x) = e^x(e^x - 4) \to +\infty

שני הגורמים גדלים בלי גבול, ואין אסימפטוטה מימין

e^{2x} \ ; \ e^x : x \in \mathbb{R}

הפונקציה מוגדרת לכל $x$ , ולכן אין אסימפטוטה אנכית

האסימפטוטה היחידה המאונכת לצירים היא $y = 0$ , כאשר $x \to -\infty$ . התשובה « $y=0$ , כאשר $x \to +\infty$ » בודקת את הצד הלא נכון, והתשובה $y=-4$ לוקחת את המקדם של $e^x$ במקום לחשב את הגבול.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.693

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x} - 4e^x \\ &= 2e^x(e^x - 2)\end{aligned}

כלל השרשרת: $(e^{2x})' = 2e^{2x}$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < \ln 2 : f' < 0 \ ; \ x > \ln 2 : f' > 0

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום

לפונקציה יש נקודת מינימום כאשר $x = \ln 2$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת הקיצון?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x} - 4e^x \\ &= 2e^x(e^x - 2) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \ln 2\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < \ln 2 : f' < 0 \ ; \ x > \ln 2 : f' > 0

מינימום

\begin{aligned}f(\ln 2) &= e^{2\ln 2} - 4e^{\ln 2} \\ &= 4 - 8 \\ &= -4\end{aligned}

$e^{2\ln 2} = \left(e^{\ln 2}\right)^2 = 4$

נקודת המינימום היא $(\ln 2, -4)$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ד. לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 2e^{2x} - 4e^x \\ &= 2e^x(e^x - 2)\end{aligned}

הנגזרת הראשונה

\begin{aligned}f''(x) &= 4e^{2x} - 4e^x \\ &= 4e^x(e^x - 1)\end{aligned}

גוזרים שוב

\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < 0 : f'' < 0 \ ; \ x > 0 : f'' > 0

משמאל קעירות כלפי מטה, ומימין קעירות כלפי מעלה

הקעירות מתחלפת ב- $x = 0$ , ולכן נקודת הפיתול היא $(0, -3)$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x) = e^{2x} - 4e^x$ . ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה- $x$ וציר ה- $y$ , כלומר בתחום $0 \le x \le \ln 4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4.5

Worked solution:

0 < x < \ln 4 \Rightarrow 1 < e^x < 4 \Rightarrow e^x - 4 < 0

$e^x$ עולה. בתחום הזה $e^x > 0$ ו- $e^x - 4 < 0$ , ולכן $f(x) = e^x(e^x - 4) < 0$ : הגרף מתחת לציר ה- $x$

S = -\int_0^{\ln 4} \left(e^{2x} - 4e^x\right)dx

כשהפונקציה שלילית, השטח הוא מינוס האינטגרל

\int \left(e^{2x} - 4e^x\right)dx = \frac{1}{2}e^{2x} - 4e^x + C

פונקציה קדומה

\begin{aligned}\left[\frac{1}{2}e^{2x} - 4e^x\right]_0^{\ln 4} &= \left(8 - 16\right) - \left(\frac{1}{2} - 4\right) \\ &= -4.5\end{aligned}

$e^{2\ln 4} = 16$ ו- $e^{\ln 4} = 4$

\begin{aligned}S &= -(-4.5) \\ &= 4.5\end{aligned}

השטח הוא $4.5$ . האינטגרל עצמו שלילי, $-4.5$ , כי כל השטח נמצא מתחת לציר ה- $x$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev