Question 1 in exam format

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 1 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר, כי סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על התוצאה של סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

  1. x>−2x>-2
  2. x≠0x \ne 0
  3. x>0x>0
  4. כל xx
Show the answer and the solution

Answer: D כל xx

Worked solution:

f(x)=(x+2)⋅e−xf(x) = (x+2) \cdot e^{-x}

מכפלה של x+2x+2 ושל e−xe^{-x}. אין מכנה ואין שורש

e−x=1ex ; ex>0e^{-x} = \frac{1}{e^x} \ ; \ e^x > 0

גם e−xe^{-x} מוגדרת לכל xx, כי המכנה exe^x אף פעם לא מתאפס

תחום ההגדרה הוא כל xx. התשובה x>−2x>-2 מבלבלת בין התחום שבו הפונקציה חיובית לבין התחום שבו היא מוגדרת.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ב. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך עם ציר ה-xx?

Show the answer and the solution

Answer: -2

Worked solution:

f(x)=0⇒(x+2)e−x=0\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow (x+2)e^{-x} \\ &= 0\end{aligned}

על ציר ה-xx הערך של הפונקציה הוא 00

e−x>0⇒x+2=0⇒x=−2\begin{aligned}e^{-x} > 0 \Rightarrow x + 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

e−xe^{-x} אף פעם לא מתאפסת

הגרף חותך את ציר ה-xx בנקודה (−2,0)(-2, 0).

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ב. גרף הפונקציה חותך כל אחד מהצירים בנקודה אחת. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך עם ציר ה-yy?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f(0)=(0+2)e0=2⋅1=2\begin{aligned}f(0) &= (0+2)e^{0} \\ &= 2 \cdot 1 \\ &= 2\end{aligned}

על ציר ה-yy מציבים x=0x = 0

הגרף חותך את ציר ה-yy בנקודה (0,2)(0, 2).

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה-xx של נקודת הקיצון?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

f′(x)=e−x−(x+2)e−x=−(x+1)e−x\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - (x+2)e^{-x} \\ &= -(x+1)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה, וכלל השרשרת: (e−x)′=−e−x(e^{-x})' = -e^{-x}

f′(x)=0⇒x+1=0⇒x=−1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x + 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

כי e−x>0e^{-x} > 0

x<−1:f′>0 ; x>−1:f′<0x < -1 : f' > 0 \ ; \ x > -1 : f' < 0

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום

לפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר x=−1x = -1.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה-yy של נקודת הקיצון? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 2.718

Worked solution:

f′(x)=e−x−(x+2)e−x=−(x+1)e−x=0⇒x=−1\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - (x+2)e^{-x} \\ &= -(x+1)e^{-x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

כי e−x>0e^{-x} > 0

x<−1:f′>0 ; x>−1:f′<0x < -1 : f' > 0 \ ; \ x > -1 : f' < 0

מקסימום

f(−1)=(−1+2)e1=e≈2.718\begin{aligned}f(-1) &= (-1+2)e^{1} \\ &= e \approx 2.718\end{aligned}

מציבים x=−1x = -1 בפונקציה המקורית

נקודת המקסימום היא (−1,e)(-1, e), ושיעור ה-yy שלה הוא e≈2.718e \approx 2.718.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ד. לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

f′(x)=e−x−(x+2)e−x=−(x+1)e−x\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - (x+2)e^{-x} \\ &= -(x+1)e^{-x}\end{aligned}

הנגזרת הראשונה

f′′(x)=−e−x+(x+1)e−x=xe−x\begin{aligned}f''(x) &= -e^{-x} + (x+1)e^{-x} \\ &= xe^{-x}\end{aligned}

גוזרים את −(x+1)e−x-(x+1)e^{-x} לפי כלל המכפלה, ומוציאים e−xe^{-x} כגורם משותף

x<0:f′′<0 ; x>0:f′′>0x < 0 : f'' < 0 \ ; \ x > 0 : f'' > 0

משמאל ל-00 קעירות כלפי מטה, ומימין קעירות כלפי מעלה

הקעירות מתחלפת ב-x=0x = 0, ולכן נקודת הפיתול היא (0,2)(0, 2).

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=(x+2)e−xf(x) = (x+2)e^{-x}. ה. לפניכם טענה: f(x)>0f(x) > 0 לכל x>−2x > -2. האם הטענה נכונה? נמקו.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x>−2⇒x+2>0x > -2 \Rightarrow x + 2 > 0

הגורם הראשון חיובי

e−x>0e^{-x} > 0

הגורם השני חיובי לכל xx

(x+2)e−x>0(x+2)e^{-x} > 0

מכפלה של שני מספרים חיוביים

הטענה נכונה: כאשר x>−2x > -2 שני הגורמים חיוביים, ולכן גם המכפלה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade