Approaching a bagrut question · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה על פונקציה מעריכית בבחינה בנויה מסעיפים: תחום הגדרה, אסימפטוטות, נקודות חיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, ולבסוף סקיצה או חישוב. כל סעיף נותן חלק מהתמונה, והסקיצה מחברת את כולם. נעבור על כל הסעיפים בפונקציה $f(x) = e^x(x^2 - 3)$ .

Interactive activity

חקירה מלאה, סעיף אחרי סעיף

f(x) = e^x(x^2 - 3)

לחצו «להתחיל». בכל שלב כתבו את התוצאה בדף, לפני שאתם ממשיכים לסעיף הבא.

תחום הגדרה

e^x \ ; \ x^2 - 3 : x \in \mathbb{R}

שני הגורמים מוגדרים לכל $x$ : אין מכנה ואין שורש. תחום ההגדרה הוא כל $x$ , ולכן אין אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות

x \to -\infty : f(x) \to 0 \ ; \ x \to +\infty : f(x) \to +\infty

כאשר $x \to -\infty$ , הגורם $e^x$ שואף ל- $0$ מהר יותר מכל גידול של $x^2 - 3$ , ולכן $y = 0$ היא אסימפטוטה אופקית. כאשר $x \to +\infty$ שני הגורמים גדלים, ואין אסימפטוטה בצד הזה.

חיתוך עם הצירים

\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{3} \ ; \ f(0) \\ &= -3\end{aligned}

מכיוון ש- $e^x > 0$ , רק $x^2 - 3$ יכול להתאפס. הנקודות הן $(-\sqrt{3}, 0)$ , $(\sqrt{3}, 0)$ ו- $(0, -3)$ .

הנגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= e^x(x^2 - 3) + e^x \cdot 2x \\ &= e^x(x+3)(x-1)\end{aligned}

כלל המכפלה, ואז מוציאים $e^x$ כגורם משותף ומפרקים את $x^2 + 2x - 3$ .

סוג הקיצון

x < -3 : f' > 0 \ ; \ -3 < x < 1 : f' < 0 \ ; \ x > 1 : f' > 0

הסימן של $f'$ נקבע רק על ידי $(x+3)(x-1)$ . הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ב- $x = -3$ : מקסימום. היא עוברת משלילית לחיובית ב- $x = 1$ : מינימום.

הערכים

\begin{aligned}f(-3) &= 6e^{-3} \approx 0.299 \ ; \ f(1) \\ &= -2e \approx -5.437\end{aligned}

מציבים בפונקציה המקורית, ולא בנגזרת. נקודת המקסימום היא $(-3, 6e^{-3})$ , ונקודת המינימום היא $(1, -2e)$ .

סקיצה

0 \nearrow (-3,\ 0.299) \searrow (1,\ -5.437) \nearrow +\infty

משמאל הגרף צמוד לאסימפטוטה $y = 0$ ומעליה. הוא עולה עד המקסימום, יורד דרך $(-\sqrt{3}, 0)$ ו- $(0, -3)$ עד המינימום, ואז עולה דרך $(\sqrt{3}, 0)$ בלי גבול.

הסדר הזה מתאים לכל פונקציה מהצורה $e^x$ כפול פולינום: תחום, אסימפטוטות, חיתוכים, נגזרת, סוג הקיצון, ערכים, סקיצה. בדקו שהסקיצה מסכימה עם כל התוצאות הקודמות.

Do the activity on elev

שתי בדיקות לפני שעוברים לסעיף הבא. באסימפטוטות בודקים את שני הצדדים, $x \to -\infty$ וגם $x \to +\infty$ : לפונקציה מעריכית יש לעתים קרובות אסימפטוטה בצד אחד בלבד. ונקודה נותנים תמיד עם שני השיעורים שלה: כשמבקשים את שיעורי נקודת הקיצון, $x = -3$ לבד היא תשובה חלקית, והתשובה המלאה היא $(-3, 6e^{-3})$ .

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x(x^2 - 3)$ . לפונקציה יש נקודת מקסימום אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: -3

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= e^x(x^2 - 3) + 2xe^x \\ &= e^x(x^2 + 2x - 3)\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(x) &= e^x(x+3)(x-1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3 \quad \\ \quad x &= 1\end{aligned}

כי $e^x > 0$

x < -3 : f' > 0 \ ; \ -3 < x < 1 : f' < 0

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ב- $x = -3$

נקודת המקסימום נמצאת כאשר $x = -3$ . ב- $x = 1$ יש נקודת מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x(x^2 - 3)$ . לפונקציה יש נקודת מקסימום אחת, והיא נמצאת כאשר $x = -3$ . מהו שיעור ה- $y$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.299

Worked solution:

f(-3) = e^{-3}\left((-3)^2 - 3\right)

מציבים בפונקציה המקורית

f(-3) = 6e^{-3} \approx 0.299

נקודת המקסימום היא $(-3, 6e^{-3})$ , ושיעור ה- $y$ שלה הוא בקירוב $0.299$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x(x^2 - 3)$ . לפונקציה יש נקודת מינימום אחת. מהו שיעור ה- $y$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: -5.437

Worked solution:

f'(x) = e^x(x+3)(x-1)

הנגזרת, לפי כלל המכפלה

-3 < x < 1 : f' < 0 \ ; \ x > 1 : f' > 0

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית ב- $x = 1$ : מינימום

\begin{aligned}f(1) &= e^1(1 - 3) \\ &= -2e \approx -5.437\end{aligned}

מציבים $x = 1$ בפונקציה המקורית

נקודת המינימום היא $(1, -2e)$ , ושיעור ה- $y$ שלה הוא בקירוב $-5.437$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x) = e^x(x^2 - 3)$ . גרף הפונקציה חותך את ציר ה- $x$ בשתי נקודות. מהו שיעור ה- $x$ הגדול מביניהן? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.732

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow e^x(x^2 - 3) \\ &= 0\end{aligned}

על ציר ה- $x$ הערך של הפונקציה הוא $0$

\begin{aligned}e^x > 0 \Rightarrow x^2 - 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm\sqrt{3}\end{aligned}

$e^x$ אף פעם לא מתאפסת

\sqrt{3} \approx 1.732

השיעור הגדול מבין השניים

נקודות החיתוך הן $(-\sqrt{3}, 0)$ ו- $(\sqrt{3}, 0)$ . השיעור הגדול הוא $\sqrt{3} \approx 1.732$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^{-x}$ . מהי האסימפטוטה האופקית של גרף הפונקציה?

$y=0$ כאשר $x \to +\infty$ בלבד
$y=0$ בשני הצדדים
אין לגרף אסימפטוטה אופקית
$y=0$ כאשר $x \to -\infty$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: A $y=0$ כאשר $x \to +\infty$ בלבד

Worked solution:

x \to +\infty : e^{-x} \to 0 \Rightarrow f(x) \to 0

$e^{-x}$ שואפת ל- $0$ מהר יותר מכל גידול של הפולינום

x \to -\infty : e^{-x} \to +\infty \ , \ x^2 - 2x - 2 \to +\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty

שני הגורמים גדלים: אין אסימפטוטה משמאל

האסימפטוטה היא $y = 0$ כאשר $x \to +\infty$ בלבד. בפונקציה של השיעור, עם $e^x$ , היא הייתה משמאל. כאן המעריך הוא $-x$ , ולכן הצד מתהפך. בודקים כל צד בנפרד.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^{-x}$ . גרף הפונקציה חותך את ציר ה- $x$ בשתי נקודות. מהו שיעור ה- $x$ הקטן מביניהן? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: -0.732

Worked solution:

e^{-x} > 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 2 = 0

רק הפולינום יכול להתאפס

\begin{aligned}x &= \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} \\ &= 1 \pm \sqrt{3}\end{aligned}

נוסחת השורשים

1 - \sqrt{3} \approx -0.732 \ ; \ 1 + \sqrt{3} \approx 2.732

\begin{aligned}f(0) &= (0 - 0 - 2) \cdot e^0 \\ &= -2\end{aligned}

ועם ציר ה- $y$ : הנקודה $(0, -2)$

השיעור הקטן הוא $1 - \sqrt{3} \approx -0.732$ . שימו לב לסימן של $c$ בנוסחת השורשים: $b^2 - 4ac = 4 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 12$ , ולא $4 - 8$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^{-x}$ . לפונקציה יש נקודת מקסימום אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

f'(x) = (2x - 2)e^{-x} - (x^2 - 2x - 2)e^{-x}

כלל המכפלה. הנגזרת של $e^{-x}$ היא $-e^{-x}$

\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x}(-x^2 + 4x) \\ &= -x(x - 4)e^{-x}\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \quad \\ \quad x &= 4\end{aligned}

כי $e^{-x} > 0$

x < 0 : f' < 0 \ ; \ 0 < x < 4 : f' > 0 \ ; \ x > 4 : f' < 0

הסימן של $-x(x-4)$

המקסימום נמצא כאשר $x = 4$ , וב- $x = 0$ יש מינימום. המינוס שלפני $x(x-4)$ הופך את טבלת הסימנים: מי ששוכח אותו מקבל את ההפך.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה $f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^{-x}$ . לפונקציה יש נקודת מקסימום אחת, והיא נמצאת כאשר $x = 4$ . מהו שיעור ה- $y$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.11

Worked solution:

f(4) = (16 - 8 - 2)e^{-4}

מציבים בפונקציה המקורית

\begin{aligned}f(4) &= 6e^{-4} \\ &= \frac{6}{e^4} \approx 0.110\end{aligned}

נקודת המקסימום היא $(4, 6e^{-4})$ , ושיעור ה- $y$ שלה בערך $0.110$ . מציבים בפונקציה ולא בנגזרת: $f'(4) = 0$ תמיד, וזו לא התשובה.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^{-x}$ . לגרף הפונקציה יש נקודת פיתול אחת בלבד.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f'(x) = (-x^2 + 4x)e^{-x}

הנגזרת הראשונה

\begin{aligned}f''(x) &= (-2x + 4)e^{-x} - (-x^2 + 4x)e^{-x} \\ &= (x^2 - 6x + 4)e^{-x}\end{aligned}

גוזרים שוב, לפי כלל המכפלה

\begin{aligned}x^2 - 6x + 4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3 \pm \sqrt{5}\end{aligned}

כי $e^{-x} > 0$

3 - \sqrt{5} \approx 0.764 \ ; \ 3 + \sqrt{5} \approx 5.236

$f''$ מחליפה סימן בכל אחת מהשתיים

הטענה לא נכונה: יש שתי נקודות פיתול. בין שתיהן הקעירות כלפי מטה, ומחוץ להן כלפי מעלה. בפונקציה עם $e^x$ כפול פולינום ממעלה שנייה, $f''$ היא שוב $e^{\pm x}$ כפול פולינום ממעלה שנייה, ולכן יכולות להיות לה שתי נקודות פיתול.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה $f(x) = (x^2 - 2x - 2)e^{-x}$ . איזה מבין הגרפים הוא הסקיצה שלה?

גרף II
גרף I
גרף III
גרף IV

Show the answer and the solution

Answer: C גרף III

Worked solution:

f(0) = -2

הגרף חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0,-2)$ . גרפים II ו-IV עוברים ב- $(0,2)$ : נפסלים

x \to +\infty : f(x) \to 0

האסימפטוטה $y = 0$ נמצאת מימין. בגרף I הגרף עולה בלי גבול מימין: נפסל

\min (0,-2) \ ; \ \max (4,\ 0.110)

ובגרף III יש מינימום ב- $x = 0$ ומקסימום נמוך ב- $x = 4$

גרף III. כל אחד משלושת האחרים נפסל בגלל סעיף אחר של החקירה: נקודת החיתוך עם ציר ה- $y$ , או הצד של האסימפטוטה. המקסימום, $0.110$ , נמוך מאוד, ובסקיצה הוא נראה כמעט על הציר.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev