Find a parameter from an area · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בשאלות רבות נותנים את השטח, ומבקשים את הפרמטר. הפרמטר נמצא בדרך כלל באחד מגבולות האינטגרציה, למשל בישר $x = \ln a$ . העבודה היא כמו בחישוב שטח רגיל, אבל בסוף לא מקבלים מספר: מקבלים ביטוי עם $a$ , ומשווים אותו לשטח הנתון.

ארבעה צעדים

1

כותבים את השטח כאינטגרל, וגבולות האינטגרציה כוללים את $a$

2

מוצאים פונקציה קדומה

3

מציבים את הגבולות, ומקבלים ביטוי עם $a$

4

משווים לשטח הנתון ופותרים את המשוואה. בודקים שהפתרון מקיים את התנאי על $a$

בשטח שבציור, האם אפשר לבחור $a$ כך שהשטח יהיה $0.5$ ?

Show the answer and the solution

כן. השטח שווה $2a$ , ולכן $a = 0.25$ . אין לזה בעיה: $\ln 0.25$ הוא מספר שלילי, והרצועה פשוט עוברת לצד השמאלי של ציר ה- $y$ . הדרישה היחידה היא $a > 0$ , כדי ש- $\ln a$ יהיה מוגדר.

כשהפונקציה הקדומה היא ln

Interactive activity

שטח עם פרמטר, צעד אחרי צעד

\int_0^{\ln a} \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln 2 \quad (a > 1)

לחצו «להתחיל». המונה $e^x$ הוא בדיוק הנגזרת של המכנה $e^x + 2$ .

פונקציה קדומה

\int \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln(e^x + 2) + C

נגזרת המכנה נמצאת במונה, ולכן הפונקציה הקדומה היא $\ln$ של המכנה. אין צורך בערך מוחלט: $e^x + 2 > 0$ .

מציבים

\ln(e^{\ln a} + 2) - \ln(e^0 + 2) = \ln(a + 2) - \ln 3

$e^{\ln a} = a$ ו- $e^0 = 1$ .

כלל הלוגריתם

\ln\frac{a + 2}{3} = \ln 2

הפרש של שני $\ln$ הוא $\ln$ של המנה.

פותרים

\begin{aligned}\frac{a + 2}{3} &= 2 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$\ln$ שווים, ולכן גם המספרים שווים. $a = 4$ מקיים את התנאי $a > 1$ .

בכל שאלה כזאת השלב האחרון הוא משוואה: לפעמים לינארית, לפעמים עם $e^a$ , ולפעמים עם $\ln$ .

Do the activity on elev

שטח או אינטגרל? אם הגרף מתחת לציר ה- $x$ בקטע, האינטגרל שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט שלו. לפני שמשווים לשטח הנתון, בודקים את הסימן של הפונקציה בקטע.

הטעות של סדר הגבולות.

F(\ln a) - F(\ln 3a)

F(\ln 3a) - F(\ln a)

מציבים קודם את הגבול העליון, ומחסירים את הערך בגבול התחתון. סדר הפוך נותן שטח שלילי, ואז גם $a$ יוצא שלילי.

Exercises

Exercise 1

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^x$ , ציר ה- $x$ והישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln(3a)$ הוא $8$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\int_{\ln a}^{\ln 3a} e^x\,dx = e^{\ln 3a} - e^{\ln a}

= 3a - a = 2a

\begin{aligned}2a &= 8 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 4$ . $e^{\ln 3a} = 3a$ , ולא $3e^a$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^{-x}$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $0.75$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.386

Worked solution:

\begin{aligned}\int_0^a e^{-x}\,dx &= \left[-e^{-x}\right]_0^a \\ &= 1 - e^{-a}\end{aligned}

\begin{aligned}1 - e^{-a} &= 0.75 \Rightarrow e^{-a} \\ &= 0.25\end{aligned}

\begin{aligned}-a &= \ln 0.25 \Rightarrow a \\ &= \ln 4 \approx 1.386\end{aligned}

$a = \ln 4 \approx 1.386$ . הפונקציה הקדומה של $e^{-x}$ היא $-e^{-x}$ : שכחה של המינוס נותנת שטח שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 3

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^{2x}$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = \ln a$ (כאשר $a > 1$ ) הוא $12$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}\int_0^{\ln a} e^{2x}\,dx &= \left[\tfrac{1}{2}e^{2x}\right]_0^{\ln a} \\ &= \frac{a^2 - 1}{2}\end{aligned}

$e^{2\ln a} = (e^{\ln a})^2 = a^2$

\begin{aligned}\frac{a^2 - 1}{2} &= 12 \Rightarrow a^2 \\ &= 25\end{aligned}

a = 5

$a = -5$ לא מקיים $a > 1$

$a = 5$ . התנאי $a > 1$ פוסל את הפתרון השלילי.

Check the answer on elev

Exercise 4

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = 2e^x$ , ציר ה- $x$ והישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln(a+1)$ שווה $2$ לכל $a > 0$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\int_{\ln a}^{\ln(a+1)} 2e^x\,dx = 2(a + 1) - 2a

= 2

הטענה נכונה: $a$ מתבטל. רצועה שרוחבה גדל פי $\frac{a+1}{a}$ בין שני ישרים של $\ln$ נותנת תמיד את אותו שטח מתחת ל- $e^x$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 2}$ . השטח המוגבל על ידי הגרף שלה, ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = \ln a$ (כאשר $a > 1$ ) הוא $\ln 3$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

\int_0^{\ln a} \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln(a + 2) - \ln 3

\begin{aligned}\ln\frac{a + 2}{3} &= \ln 3 \Rightarrow \frac{a + 2}{3} \\ &= 3\end{aligned}

a = 7

$a = 7$ . לא לשכוח את $\ln 3$ שמגיע מהגבול התחתון $x = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ . השטח המוגבל על ידי הגרף שלה, ציר ה- $x$ והישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln(3a)$ הוא $\ln 2$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\left[\ln(e^x + 1)\right]_{\ln a}^{\ln 3a} = \ln(3a + 1) - \ln(a + 1)

\frac{3a + 1}{a + 1} = 2

\begin{aligned}3a + 1 &= 2a + 2 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

$a = 1$ . כאן השטח הוא $\ln$ של מנה, ולכן משווים את המנה ל- $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

השטח המוגבל על ידי הגרפים של $y = e^x$ ו- $y = e^{-x}$ והישר $x = a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $1.5$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.159

Worked solution:

\int_0^a (e^x - e^{-x})\,dx = e^a + e^{-a} - 2

הגרפים נחתכים ב- $x = 0$ , ומימין $e^x$ למעלה

\begin{aligned}e^a + e^{-a} &= 3.5 \Rightarrow t^2 - 3.5t + 1 \\ &= 0 \ (t = e^a)\end{aligned}

כופלים ב- $t$

t = \frac{3.5 + \sqrt{8.25}}{2} \approx 3.186

$t > 1$ כי $a > 0$

a = \ln t \approx 1.159

$a \approx 1.159$ . הפתרון השני, $t \approx 0.314$ , נותן $a < 0$ , ולכן נפסל.

Check the answer on elev

Exercise 8

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^{-x}$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = -a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $3$ . איזו משוואה מקיים $a$ ?

$e^a + 1 = 3$
$e^{-a} = 3$
$e^a - 1 = 3$
$1 - e^{-a} = 3$

Show the answer and the solution

Answer: C $e^a - 1 = 3$

Worked solution:

\begin{aligned}\int_{-a}^0 e^{-x}\,dx &= \left[-e^{-x}\right]_{-a}^0 \\ &= -1 + e^{a}\end{aligned}

\begin{aligned}e^a - 1 &= 3 \Rightarrow a \\ &= \ln 4\end{aligned}

$e^a - 1 = 3$ . המשוואה $1 - e^{-a} = 3$ שייכת לקטע $[0, a]$ , ואין לה פתרון כאן.

Check the answer on elev

Exercise 9

השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = xe^{x^2}$ , ציר ה- $x$ והישר $x = a$ (כאשר $a > 0$ ) הוא $4$ . מצאו את $a$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.482

Worked solution:

\begin{aligned}\int_0^a xe^{x^2}\,dx &= \left[\tfrac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^a \\ &= \frac{e^{a^2} - 1}{2}\end{aligned}

$2x$ הוא הנגזרת של המעריך $x^2$

\begin{aligned}e^{a^2} &= 9 \Rightarrow a^2 \\ &= \ln 9\end{aligned}

a = \sqrt{\ln 9} \approx 1.482

$a = \sqrt{\ln 9} \approx 1.482$ . הגרף פוגש את ציר ה- $x$ רק בראשית, ולכן הגבול התחתון הוא $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

לכל $0 < a < b$ , השטח מתחת לגרף של $y = e^x$ בין הישרים $x = \ln a$ ו- $x = \ln b$ שווה $b - a$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\int_{\ln a}^{\ln b} e^x\,dx &= e^{\ln b} - e^{\ln a} \\ &= b - a\end{aligned}

הטענה נכונה, והיא קיצור שימושי: בין שני ישרים של $\ln$ , השטח מתחת ל- $e^x$ הוא ההפרש בין המספרים שבתוך ה- $\ln$ .

Check the answer on elev

ארבעה צעדים

כשהפונקציה הקדומה היא ln

Exercises

Keep practising on elev