Integrals that give ln · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו מצאנו פונקציה קדומה רק לביטויים מהצורה $e^{kx+m}$ . אבל בבחינה, הפונקציה שמחשבים את השטח שלה היא הרבה פעמים שבר, כמו $\frac{e^x}{e^x + 3}$ , או מכפלה, כמו $2x \cdot e^{x^2}$ . ליחידה הזאת צריך כלי אחד חדש: הנגזרת של $\ln x$ . הכלי הזה כתוב בדף הנוסחאות. עם הכלי הזה נכיר שתי נוסחאות של אינטגרל, ונחשב בעזרתן שטחים.

הנגזרת של ln, מדף הנוסחאות

\begin{aligned}(\ln x)' &= \frac{1}{x} \quad \\ \quad x > 0\end{aligned}

הפונקציה $\ln x$ מוגדרת רק עבור $x > 0$ . את הנוסחה הזאת לא מוכיחים כאן: לוקחים אותה מדף הנוסחאות

\begin{aligned}(\ln|x|)' &= \frac{1}{x} \quad \\ \quad x \ne 0\end{aligned}

עם ערך מוחלט, הפונקציה מוגדרת גם עבור $x < 0$ , והנגזרת שלה היא שוב $\frac{1}{x}$

\begin{aligned}\left(\ln g(x)\right)' &= \frac{1}{g(x)} \cdot g'(x) \\ &= \frac{g'(x)}{g(x)}\end{aligned}

כלל השרשרת: הנגזרת של הפונקציה החיצונית $\ln$ , כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית $g$

מהי הנגזרת של $\ln\left(e^x + 3\right)$ ?

Show the answer and the solution

$\frac{e^x}{e^x + 3}$ . הפונקציה הפנימית היא $g(x) = e^x + 3$ , והנגזרת שלה היא $g'(x) = e^x$ . לכן מקבלים $\frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{e^x}{e^x + 3}$ .

קוראים את הנגזרת הפוך

כל נגזרת שאנחנו מכירים נותנת לנו פונקציה קדומה. אם $\left(\ln|g(x)|\right)' = \frac{g'(x)}{g(x)}$ , אז $\ln|g(x)|$ היא פונקציה קדומה של $\frac{g'(x)}{g(x)}$ . באותה דרך, לפי כלל השרשרת $\left(e^{g(x)}\right)' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ . מזה מקבלים שתי נוסחאות:

\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)| + C

כאשר המונה הוא הנגזרת של המכנה. אם $g(x) > 0$ בכל התחום, אפשר לכתוב $\ln g(x)$ בלי ערך מוחלט

\int e^{g(x)} \cdot g'(x)\,dx = e^{g(x)} + C

כאשר הגורם שליד $e^{g(x)}$ הוא הנגזרת של המעריך

איך מזהים? גוזרים את המכנה (או את המעריך), ומשווים לגורם שנשאר. אם הם שווים, משתמשים בנוסחה. אם הם שונים רק במקדם, מתקנים את המקדם: הנגזרת של $2e^x + 1$ היא $2e^x$ , ולכן $\int \frac{e^x}{2e^x + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(2e^x + 1\right) + C$ . ואם יש הבדל שהוא לא מקדם, הנוסחה לא מתאימה.

Interactive activity

שבר שהמונה שלו הוא הנגזרת של המכנה

\begin{aligned}f(x) &= \frac{2e^{2x} + e^x}{e^{2x} + e^x + 4} \quad \\ \quad 0 \le x \le \ln 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישרים $x = 0$ ו- $x = \ln 2$ . קודם בודקים את המכנה.

גוזרים את המכנה

\begin{aligned}g(x) &= e^{2x} + e^x + 4 \Rightarrow g'(x) \\ &= 2e^{2x} + e^x\end{aligned}

הנגזרת של המכנה שווה בדיוק למונה. לכן הנוסחה של $\frac{g'}{g}$ מתאימה.

סימן

e^{2x} + e^x + 4 > 0 \quad , \quad 2e^{2x} + e^x > 0

המונה והמכנה חיוביים לכל $x$ . לכן $f(x) > 0$ , הגרף נמצא מעל ציר ה- $x$ , והשטח שווה לאינטגרל.

פונקציה קדומה

\int f(x)\,dx = \ln\left(e^{2x} + e^x + 4\right) + C

המכנה חיובי, ולכן לא צריך ערך מוחלט.

מציבים

S = \ln\left(e^{2\ln 2} + e^{\ln 2} + 4\right) - \ln\left(e^0 + e^0 + 4\right)

$e^{2\ln 2} = \left(e^{\ln 2}\right)^2 = 4$ ו- $e^{\ln 2} = 2$ .

מחשבים

\begin{aligned}S &= \ln 10 - \ln 6 \\ &= \ln\frac{5}{3} \approx 0.511\end{aligned}

זה הערך המדויק, $\ln\frac{5}{3}$ , ואחריו הערך המעוגל.

הדרך תמיד אותה דרך: גוזרים את המכנה, משווים למונה, בודקים את הסימן של המכנה, ורק אז כותבים $\ln$ .

Do the activity on elev

הגרף של

f(x) = \frac{2e^{2x} + e^x}{e^{2x} + e^x + 4}

. הנקודה

A

היא

(0, 0.5)

, והנקודה

B

היא

(\ln 2, 1)

. השטח המבוקש נמצא מתחת לגרף, בין

A

לבין

B

. הגרף כולו מעל ציר ה-

x

, ובימין הוא מתקרב לישר

y = 2

מהי $\int \frac{e^x}{3e^x + 1}\,dx$ ? בדקו קודם את הנגזרת של המכנה.

Show the answer and the solution

$\frac{1}{3}\ln\left(3e^x + 1\right) + C$ . הנגזרת של המכנה היא $3e^x$ , והמונה הוא רק $e^x$ , כלומר שליש מהנגזרת. לכן כופלים ב- $\frac{1}{3}$ . בדיקה: $\left(\frac{1}{3}\ln\left(3e^x + 1\right)\right)' = \frac{1}{3} \cdot \frac{3e^x}{3e^x + 1} = \frac{e^x}{3e^x + 1}$ .

Interactive activity

חזקה של e כפול הנגזרת של המעריך

\begin{aligned}f(x) &= (2x + 1)\,e^{x^2 + x} \quad \\ \quad 0 \le x \le 1\end{aligned}

לחצו «להתחיל». נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ , ציר ה- $x$ והישרים $x = 0$ ו- $x = 1$ . הפעם יש מכפלה, ולא שבר. מסתכלים על המעריך.

גוזרים את המעריך

\begin{aligned}g(x) &= x^2 + x \Rightarrow g'(x) \\ &= 2x + 1\end{aligned}

הגורם שליד $e^{x^2 + x}$ הוא בדיוק הנגזרת של המעריך.

סימן

0 \le x \le 1 \Rightarrow 2x + 1 > 0 \ , \ e^{x^2 + x} > 0

בתחום הזה $f(x) > 0$ , ולכן השטח שווה לאינטגרל.

פונקציה קדומה

\int (2x + 1)\,e^{x^2 + x}\,dx = e^{x^2 + x} + C

בודקים בגזירה: $\left(e^{x^2 + x}\right)' = e^{x^2 + x} \cdot (2x + 1)$ .

מציבים

\begin{aligned}S &= e^{1 + 1} - e^{0 + 0} \\ &= e^2 - 1\end{aligned}

מציבים את הגבול העליון ומחסרים את הגבול התחתון.

מחשבים

S = e^2 - 1 \approx 6.389

הערך המדויק הוא $e^2 - 1$ .

אותה דרך מתאימה לכל ביטוי מהצורה $e^{g(x)} \cdot g'(x)$ . למשל, $\int -\frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx = e^{1/x} + C$ , כי $\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$ .

Do the activity on elev

כשהמונה הוא לא הנגזרת: $\int_0^{\ln 3} \frac{1}{1 + e^{-x}}\,dx$

הנגזרת של $1 + e^{-x}$ היא $-e^{-x}$ , והמונה הוא $1$ . הנוסחה לא מתאימה. אבל אפשר לכפול את המונה ואת המכנה ב- $e^x$ , ואז הכול משתנה.

\begin{aligned}\frac{1}{1 + e^{-x}} &= \frac{1 \cdot e^x}{\left(1 + e^{-x}\right) e^x} \\ &= \frac{e^x}{e^x + 1}\end{aligned}

כופלים את המונה ואת המכנה ב- $e^x$ . הערך של השבר לא משתנה

\left(e^x + 1\right)' = e^x

עכשיו המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה

\int \frac{e^x}{e^x + 1}\,dx = \ln\left(e^x + 1\right) + C

המכנה חיובי, ולכן אין צורך בערך מוחלט

\begin{aligned}\left[\ln\left(e^x + 1\right)\right]_0^{\ln 3} &= \ln 4 - \ln 2 \\ &= \ln 2 \approx 0.693\end{aligned}

$e^{\ln 3} = 3$ ו- $e^0 = 1$

שלוש טעויות שחוזרות בבחינה

הטעויות של הנוסחה עם ln.

\int \frac{1}{e^x + 2}\,dx = \ln\left(e^x + 2\right) + C

\int \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln\left(e^x + 2\right) + C

הנוסחה דורשת שהמונה יהיה הנגזרת של המכנה. בגזירה: $\left(\ln\left(e^x + 2\right)\right)' = \frac{e^x}{e^x + 2}$ , ולא $\frac{1}{e^x + 2}$ .

\int \frac{e^x}{e^x - 5}\,dx = \ln\left(e^x - 5\right) + C

\int \frac{e^x}{e^x - 5}\,dx = \ln\left|e^x - 5\right| + C

כאשר $x < \ln 5$ המכנה שלילי, ו- $\ln$ של מספר שלילי לא מוגדר. הערך המוחלט שומר על הנוסחה נכונה בשני הצדדים.

\int \frac{e^x}{2e^x + 1}\,dx = \ln\left(2e^x + 1\right) + C

\int \frac{e^x}{2e^x + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(2e^x + 1\right) + C

הנגזרת של המכנה היא $2e^x$ , והמונה הוא רק חצי ממנה. שוכחים את המקדם $\frac{1}{2}$ .

האם $\int \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 1}\,dx = \ln\left(e^{2x} + 1\right) + C$ ?

Show the answer and the solution

לא. הנגזרת של $e^{2x} + 1$ היא $2e^{2x}$ , פי $2$ מהמונה. הפונקציה הקדומה הנכונה היא $\frac{1}{2}\ln\left(e^{2x} + 1\right) + C$ .

תמיד אפשר לבדוק. אחרי שמצאתם פונקציה קדומה, גזרו אותה. אם קיבלתם את הפונקציה שבתוך האינטגרל, הפונקציה הקדומה נכונה. הבדיקה הזאת לוקחת חצי דקה, והיא מוצאת את שלוש הטעויות שלמעלה.

Exercises

Exercise 1

איזו מהפונקציות הבאות היא פונקציה קדומה של $f(x) = \frac{e^x}{e^x + 4}$ ?

$\ln\left(e^x + 4\right) + C$
$e^x \ln\left(e^x + 4\right) + C$
$x - \ln 4 + C$
$\frac{1}{e^x + 4} + C$

Show the answer and the solution

Answer: A $\ln\left(e^x + 4\right) + C$

Worked solution:

\left(e^x + 4\right)' = e^x

הנגזרת של המכנה שווה למונה

\int \frac{e^x}{e^x + 4}\,dx = \ln\left(e^x + 4\right) + C

המכנה חיובי, ולכן אין צורך בערך מוחלט

\left(\ln\left(e^x + 4\right)\right)' = \frac{e^x}{e^x + 4}

בדיקה בגזירה

הפונקציה הקדומה היא $\ln\left(e^x + 4\right) + C$ . האפשרות $x - \ln 4 + C$ מפרקת את $\ln$ של סכום כאילו הוא סכום של $\ln$ , וזה לא נכון: $\ln\left(e^x + 4\right) \ne \ln e^x + \ln 4$ .

הנגזרת של ln, מדף הנוסחאות

קוראים את הנגזרת הפוך

שלוש טעויות שחוזרות בבחינה

Exercises

Keep practising on elev