Integral and area · The exponential function · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מחפשים פונקציה קדומה של $f$ : פונקציה $F$ שהנגזרת שלה היא $f$ . מכיוון ש- $(e^x)' = e^x$ , הפונקציה $e^x$ היא פונקציה קדומה של עצמה. בעזרת פונקציה קדומה מחשבים אינטגרל מסוים: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ , כאשר $a$ ו- $b$ הם גבולות האינטגרציה. כאשר $f$ חיובית בין הגבולות, האינטגרל שווה לשטח שבין הגרף לבין ציר ה- $x$ .

\int e^x\,dx = e^x + C

הנגזרת של $e^x$ היא $e^x$ , ולכן כל פונקציה קדומה של $e^x$ היא $e^x$ ועוד קבוע

\int e^{kx+m}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx+m} + C

כאשר $k \ne 0$ : בגזירה של $\frac{1}{k}e^{kx+m}$ לפי כלל השרשרת יוצא המקדם $k$ , והוא מבטל את $\frac{1}{k}$

השטח בין $y = e^x$ לבין $y = 1$ , כאשר $0 \le x \le 1$

קובעים איזה גרף נמצא למעלה, ואז מחשבים את האינטגרל של הפונקציה העליונה פחות התחתונה.

0 \le x \le 1 \Rightarrow e^x \ge e^0 = 1

$e^x$ עולה, ולכן בתחום הזה הגרף שלה נמצא מעל הישר $y = 1$

S = \int_0^1 \left(e^x - 1\right)dx

השטח הוא האינטגרל של ההפרש

\begin{aligned}S &= \left[e^x - x\right]_0^1 \\ &= (e - 1) - (1 - 0)\end{aligned}

פונקציה קדומה של $e^x - 1$ היא $e^x - x$ . מציבים את הגבול העליון ומחסרים את הגבול התחתון

S = e - 2 \approx 0.718

האם $\int_0^2 e^x\,dx$ גדול מ- $2$ ? נסו לענות לפני שאתם מחשבים.

Show the answer and the solution

כן. כאשר $0 \le x \le 2$ מתקיים $e^x \ge 1$ , ולכן השטח מתחת לגרף גדול מהשטח של מלבן שרוחבו $2$ וגובהו $1$ . החישוב מאשר: $e^2 - 1 \approx 6.389$ .

להעריך אינטגרל בלי לחשב אותו. אם $g(x) \ge 1$ לכל $x$ בקטע $[0,1]$ , אז $\int_0^1 g(x)\,dx \ge 1$ : השטח מתחת לגרף גדול לפחות כמו השטח של ריבוע שהצלע שלו $1$ . אם $g(x) \le 1$ בכל הקטע, האינטגרל קטן מ- $1$ או שווה לו. ואם השוויון $g(x) = 1$ מתקיים רק בנקודה אחת, אי-השוויון בין האינטגרלים הוא חזק. כך עונים על שאלות של גדול או קטן גם כשלא יודעים למצוא פונקציה קדומה.

הטעות של המקדם במקום הלא נכון.

\int e^{3x}\,dx = 3e^{3x} + C

\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C

המקדם $3$ יוצא בגזירה, ולכן בפונקציה הקדומה מחלקים בו. בודקים בגזירה: $\left(3e^{3x}\right)' = 9e^{3x}$ , ואילו $\left(\frac{1}{3}e^{3x}\right)' = e^{3x}$ .

Exercises

Exercise 1

חשבו את $\int_0^1 e^x\,dx$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.718

Worked solution:

\int_0^1 e^x\,dx = \left[e^x\right]_0^1

$e^x$ היא פונקציה קדומה של עצמה

\begin{aligned}\left[e^x\right]_0^1 &= e^1 - e^0 \\ &= e - 1 \approx 1.718\end{aligned}

מציבים את הגבול העליון ומחסרים את הגבול התחתון

$\int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.718$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

חשבו את $\int_0^{\ln 2} e^x\,dx$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}\int_0^{\ln 2} e^x\,dx &= \left[e^x\right]_0^{\ln 2} \\ &= e^{\ln 2} - e^0\end{aligned}

פונקציה קדומה, ואז מציבים את גבולות האינטגרציה

\begin{aligned}e^{\ln 2} - e^0 &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

$e^{\ln 2} = 2$

האינטגרל שווה ל- $1$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

חשבו את $\int_0^1 e^{2x}\,dx$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 3.195

Worked solution:

\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C

הכלל עם $k = 2$

\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1 = \frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2}e^0

מציבים את גבולות האינטגרציה

\frac{1}{2}e^2 - \frac{1}{2} = \frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195

$\int_0^1 e^{2x}\,dx = \frac{e^2 - 1}{2} \approx 3.195$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

הפונקציה $F$ היא פונקציה קדומה של $f(x) = e^{3x}$ , ומתקיים $F(0) = 1$ . אפשר לכתוב $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} + C$ . מצאו את $C$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.667

Worked solution:

F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} + C

כל הפונקציות הקדומות של $e^{3x}$ , לפי הכלל עם $k = 3$

\begin{aligned}F(0) &= \frac{1}{3}e^0 + C \\ &= \frac{1}{3} + C\end{aligned}

מציבים $x = 0$

\begin{aligned}\frac{1}{3} + C &= 1 \Rightarrow C \\ &= \frac{2}{3} \approx 0.667\end{aligned}

הנתון $F(0) = 1$

$C = \frac{2}{3}$ , כלומר $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{2}{3}$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של $y = e^x$ לבין הישר $y = 1$ , בתחום $0 \le x \le \ln 3$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.901

Worked solution:

0 \le x \le \ln 3 \Rightarrow e^x \ge e^0 = 1

$e^x$ עולה, ולכן בתחום הזה הגרף שלה נמצא מעל הישר, וההפרש $e^x - 1$ אינו שלילי

S = \int_0^{\ln 3} \left(e^x - 1\right)dx

השטח הוא האינטגרל של הפונקציה העליונה פחות התחתונה

\int \left(e^x - 1\right)dx = e^x - x + C

פונקציה קדומה

\begin{aligned}S &= \left[e^x - x\right]_0^{\ln 3} \\ &= \left(e^{\ln 3} - \ln 3\right) - \left(e^0 - 0\right) \\ &= (3 - \ln 3) - 1\end{aligned}

מציבים את גבולות האינטגרציה, ו- $e^{\ln 3} = 3$

S = 2 - \ln 3 \approx 0.901

השטח הוא $2 - \ln 3 \approx 0.901$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $y = e^{-x}$ , ציר ה- $x$ , ציר ה- $y$ והישר $x = \ln 4$ .

Show the answer and the solution

Answer: 0.75

Worked solution:

\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C

הכלל עם $k = -1$

\begin{aligned}S &= \int_0^{\ln 4} e^{-x}\,dx \\ &= \left[-e^{-x}\right]_0^{\ln 4} \\ &= -e^{-\ln 4} + e^0\end{aligned}

$e^{-x} > 0$ , ולכן השטח שווה לאינטגרל

\begin{aligned}e^{-\ln 4} &= \frac{1}{e^{\ln 4}} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

\begin{aligned}S &= -\frac{1}{4} + 1 \\ &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}

השטח הוא $\frac{3}{4}$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

בלי לחשב את האינטגרל: $\int_0^1 e^{x^2}\,dx > 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

0 \le x \le 1 : x^2 \ge 0 \Rightarrow e^{x^2} \ge e^0 = 1

$e^t$ עולה, ולכן מעריך גדול יותר נותן ערך גדול יותר

0 < x \le 1 : e^{x^2} > 1

השוויון $e^{x^2} = 1$ מתקיים רק כאשר $x = 0$

\int_0^1 e^{x^2}\,dx > \int_0^1 1\,dx = 1

השטח מתחת לגרף גדול מהשטח של ריבוע שהצלע שלו $1$

הטענה נכונה, ולא היה צריך לחשב את האינטגרל: הפונקציה גדולה מ- $1$ בכל הקטע חוץ מהנקודה $x = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

בלי לחשב את האינטגרל: $\int_{-1}^{0} e^x\,dx > 1$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

-1 \le x \le 0 \Rightarrow e^x \le e^0 = 1

$e^x$ עולה

-1 \le x < 0 : e^x < 1

השוויון $e^x = 1$ מתקיים רק כאשר $x = 0$

\int_{-1}^{0} e^x\,dx < \int_{-1}^{0} 1\,dx = 1

אורך הקטע הוא $1$ , ולכן האינטגרל קטן מהשטח של ריבוע שהצלע שלו $1$

הטענה לא נכונה: האינטגרל קטן מ- $1$ . בדיקה בחישוב: $\left[e^x\right]_{-1}^{0} = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.632$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

חשבו את $\int_{\ln 2}^{\ln 5} e^x\,dx$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}\int_{\ln 2}^{\ln 5} e^x\,dx &= \left[e^x\right]_{\ln 2}^{\ln 5} \\ &= e^{\ln 5} - e^{\ln 2}\end{aligned}

פונקציה קדומה, ואז מציבים את גבולות האינטגרציה

\begin{aligned}e^{\ln 5} - e^{\ln 2} &= 5 - 2 \\ &= 3\end{aligned}

$e^{\ln a} = a$ לכל $a > 0$

האינטגרל שווה ל- $3$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

איזו מהפונקציות הבאות היא פונקציה קדומה של $f(x) = e^{5x-1}$ ?

$e^{5x-1}$
$5e^{5x-1}$
$\frac{1}{5x-1}e^{5x-1}$
$\frac{1}{5}e^{5x-1}$

Show the answer and the solution

Answer: D $\frac{1}{5}e^{5x-1}$

Worked solution:

\int e^{5x-1}\,dx = \frac{1}{5}e^{5x-1} + C

הכלל עם $k = 5$

\begin{aligned}\left(\frac{1}{5}e^{5x-1}\right)' &= \frac{1}{5} \cdot 5e^{5x-1} \\ &= e^{5x-1}\end{aligned}

בודקים בגזירה, לפי כלל השרשרת

\begin{aligned}\left(5e^{5x-1}\right)' &= 25e^{5x-1} \ ; \ \left(e^{5x-1}\right)' \\ &= 5e^{5x-1}\end{aligned}

הגזירה של שתי אפשרויות אחרות נותנת פי $25$ ופי $5$ מהפונקציה

הפונקציה הקדומה היא $\frac{1}{5}e^{5x-1}$ . האפשרות $5e^{5x-1}$ כופלת ב- $5$ במקום לחלק בו, והאפשרות $\frac{1}{5x-1}e^{5x-1}$ מחלקת בכל המעריך במקום בנגזרת שלו, שהיא $5$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev