The graph of the derivative

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבחינה מבקשים לפעמים לשרטט סקיצה של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), או נותנים את הגרף שלה ושואלים על ff. הנגזרת היא פונקציה כמו כל פונקציה: יש לה תחום הגדרה, אסימפטוטות, ונקודות חיתוך עם הצירים. אבל כל תכונה שלה מספרת משהו על ff.

מה הגרף של הנגזרת מספר על הפונקציה

f′(x)>0f'(x) > 0

הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx: הפונקציה ff עולה

f′(x)<0f'(x) < 0

הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx: הפונקציה ff יורדת

f′(x0)=0f'(x_0) = 0

הגרף של f′f' חוצה את ציר ה-xx: ל-ff יש נקודת קיצון. אם הוא רק נוגע בציר ולא חוצה אותו, אין קיצון

max⁡f′, min⁡f′\max f' ,\ \min f'

נקודת קיצון של f′f' היא נקודת פיתול של ff: שם משתנה הקעירות

לפי הגרף של f′f', איפה נמצאות נקודות הפיתול של f(x)=x2e−xf(x) = x^2e^{-x}? נסו לקרוא אותן מהגרף, ואחר כך בדקו בחישוב.

Show the answer and the solution

נקודות הפיתול של ff הן נקודות הקיצון של f′f'. נגזרים את f′(x)=(2x−x2)e−xf'(x) = (2x - x^2)e^{-x} ומקבלים f′′(x)=(x2−4x+2)e−xf''(x) = (x^2 - 4x + 2)e^{-x}. הוא מתאפס כאשר x=2±2x = 2 \pm \sqrt{2}, כלומר x≈0.586x \approx 0.586 ו-x≈3.414x \approx 3.414. בגרף של f′f' יש שם מקסימום ומינימום.

האסימפטוטות של הנגזרת

מוצאים אותן כמו בכל פונקציה. אסימפטוטה אנכית: ל-f′f' יש בדרך כלל קיר באותו מקום כמו ל-ff. אסימפטוטה אופקית: מחשבים את הגבול של f′(x)f'(x) כאשר x→−∞x \to -\infty וכאשר x→+∞x \to +\infty. כאשר ל-ff יש אסימפטוטה אופקית בצד אחד, הגרף שלה נהיה כמעט ישר אופקי, ולכן בדרך כלל f′→0f' \to 0 באותו צד.

לפונקציה f(x)=x+e−xf(x) = x + e^{-x} יש אסימפטוטה אופקית? ולנגזרת שלה?

Show the answer and the solution

ל-ff אין: כאשר x→+∞x \to +\infty היא שואפת לאינסוף, וגם כאשר x→−∞x \to -\infty. אבל f′(x)=1−e−x→1f'(x) = 1 - e^{-x} \to 1 כאשר x→+∞x \to +\infty: לנגזרת יש אסימפטוטה y=1y = 1. כלומר, הגרף של ff הולך ונעשה דומה לישר ששיפועו 11. אסימפטוטה של f′f' היא לא תמיד y=0y = 0.

להשתמש בגרף של הנגזרת

שאלה אהובה בבחינה: נתונה g(x)=f(x)+axg(x) = f(x) + ax, ושואלים בעבור אילו ערכים של aa יש ל-gg שתי נקודות קיצון. גוזרים: g′(x)=f′(x)+ag'(x) = f'(x) + a. נקודת קיצון של gg היא מקום שבו g′(x)=0g'(x) = 0, כלומר f′(x)=−af'(x) = -a. לכן סופרים כמה פעמים הישר האופקי y=−ay = -a חותך את הגרף של f′f'.

כמה נקודות קיצון יש ל-g(x)=x2e−x+0.1xg(x) = x^2e^{-x} + 0.1x?

משתמשים בגרף של f′(x)=(2x−x2)e−xf'(x) = (2x - x^2)e^{-x} מלמעלה.

g′(x)=f′(x)+0.1=0⇒f′(x)=−0.1\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) + 0.1 \\ &= 0 \Rightarrow f'(x) \\ &= -0.1\end{aligned}

מחפשים איפה הגרף של f′f' פוגש את הישר y=−0.1y = -0.1

x→−∞:f′(x)→−∞f′(0)=0\begin{aligned}x \to -\infty : f'(x) \to -\infty \\ \quad f'(0) &= 0\end{aligned}

משמאל לראשית הגרף של f′f' עולה מ-−∞-\infty עד 00, ולכן הוא חוצה את הישר y=−0.1y = -0.1 פעם אחת

f′(2+2)≈−0.159<−0.1f'(2+\sqrt{2}) \approx -0.159 < -0.1

הנקודה הכי נמוכה של f′f' מימין ל-x=2x = 2 נמצאת מתחת לישר

⇒1+2=3\Rightarrow 1 + 2 = 3

מימין ל-x=2x = 2 הגרף יורד מתחת לישר וחוזר מעליו: עוד שני חיתוכים. ובכל חיתוך הסימן של g′g' מתחלף, ולכן יש ל-gg שלוש נקודות קיצון

שתי טעויות של קריאת הגרף.

f′↓  ⇒  f↓f' \downarrow \;\Rightarrow\; f \downarrow
f′<0  ⇒  f↓f' < 0 \;\Rightarrow\; f \downarrow

ff יורדת כאשר הנגזרת שלילית, לא כאשר הנגזרת יורדת. נגזרת חיובית ויורדת אומרת ש-ff עדיין עולה, רק לאט יותר.

f′(1)=0  ⇒  max⁡/min⁡f'(1) = 0 \;\Rightarrow\; \max / \min
f′(1)=0  f′(1−)⋅f′(1+)<0\begin{aligned}f'(1) &= 0 \\ \; f'(1^-) \cdot f'(1^+) < 0\end{aligned}

אם הגרף של f′f' רק נוגע בציר ה-xx וחוזר לאותו צד, הסימן לא מתחלף, ואין ל-ff קיצון.

Exercises

Exercise 1

−1123456xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) של פונקציה f(x)f(x) המוגדרת לכל xx. באיזה תחום הפונקציה ff עולה?

  1. x>2x > 2
  2. x<0x < 0
  3. x<0x < 0 או x>2x > 2
  4. 0<x<20 < x < 2
Show the answer and the solution

Answer: D 0<x<20 < x < 2

Worked solution:

0<x<2:f′(x)>00<x<2 : f'(x) > 0

בתחום הזה הגרף של f′f' מעל ציר ה-xx

x<0  ,  x>2:f′(x)<0x<0 \;,\; x>2 : f'(x)<0

מחוץ לתחום הזה הגרף מתחת לציר: שם ff יורדת

ff עולה בתחום 0<x<20 < x < 2. שואלים איפה הגרף של f′f' מעל הציר, ולא איפה הוא עולה.

Check the answer on elev

Exercise 2

−4−3−2−112−3−2−1123xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)f(x)?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(−1)=0  f′(2)=0\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \\ \; f'(2) &= 0\end{aligned}

הגרף של f′f' חוצה את ציר ה-xx בשתי נקודות

+→− (x=−1),−→+ (x=2)+ \to - \ (x=-1) ,\quad - \to + \ (x=2)

בשתיהן הסימן מתחלף

לפונקציה יש שתי נקודות קיצון: מקסימום ב-x=−1x = -1 ומינימום ב-x=2x = 2. סופרים חציות של הציר, לא את מספר האסימפטוטות.

Check the answer on elev

Exercise 3

−4−3−2−112−3−2−1123xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). מה יש לפונקציה ff בנקודה שבה x=−1x = -1?

  1. אין שם נקודה מיוחדת
  2. נקודת מינימום
  3. נקודת פיתול
  4. נקודת מקסימום
Show the answer and the solution

Answer: D נקודת מקסימום

Worked solution:

x<−1:f′>0x < -1 : f' > 0

משמאל ל-−1-1 הגרף של f′f' מעל הציר: ff עולה

−1<x<2:f′<0-1 < x < 2 : f' < 0

מימין ל-−1-1 הגרף מתחת לציר: ff יורדת

מקסימום: ff עולה ואחר כך יורדת. נקודת פיתול של ff הייתה נקודת קיצון של f′f', לא נקודת חיתוך שלה עם הציר.

Check the answer on elev

Exercise 4

−4−3−2−11212xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)=(x−1)2exf'(x) = (x-1)^2e^x. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה f(x)f(x)?

Show the answer and the solution

Answer: 0

Worked solution:

f′(1)=0f'(1) = 0

הנגזרת מתאפסת רק ב-x=1x = 1

(x−1)2≥0,  ex>0⇒f′(x)≥0(x-1)^2 \ge 0 ,\; e^x > 0 \Rightarrow f'(x) \ge 0

אבל היא לא שלילית אף פעם: הגרף נוגע בציר וחוזר למעלה

אפס. ff עולה בכל התחום, והמשיק אופקי ב-x=1x = 1 בלי קיצון. נגזרת שמתאפסת בלי להחליף סימן לא נותנת קיצון.

Check the answer on elev

Exercise 5

xyy = 0I
xyy = 0II
xyy = 0III
xyy = 0IV

נתונה הפונקציה f(x)=xe−xf(x) = xe^{-x}. איזה מבין הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)?

  1. גרף II
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף I
Show the answer and the solution

Answer: C גרף IV

Worked solution:

f′(x)=e−x−xe−x=(1−x)e−x\begin{aligned}f'(x) &= e^{-x} - xe^{-x} \\ &= (1 - x)e^{-x}\end{aligned}

כלל המכפלה

f′(0)=1f'(0) = 1

הגרף של f′f' עובר ב-(0,1)(0,1). גרף I עובר בראשית (זה הגרף של ff עצמה), וגרפים II ו-III עוברים מתחת לראשית

x>1⇒f′(x)<0x > 1 \Rightarrow f'(x) < 0

ובגרף IV הנגזרת שלילית מימין ל-x=1x = 1

גרף IV. גרף II הוא הגרף של f′′(x)=(x−2)e−xf''(x) = (x - 2)e^{-x}, וגרף I הוא ff עצמה: שתי מלכודות שמופיעות הרבה.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה f(x)=x+e−xf(x) = x + e^{-x}. לפונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) יש אסימפטוטה אופקית y=cy = c כאשר x→+∞x \to +\infty. מצאו את cc.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=1−e−xf'(x) = 1 - e^{-x}
x→+∞:e−x→0⇒f′(x)→1x \to +\infty : e^{-x} \to 0 \Rightarrow f'(x) \to 1

c=1c = 1. ל-ff עצמה אין אסימפטוטה אופקית, אבל לנגזרת יש: אסימפטוטה של f′f' היא לא תמיד y=0y = 0.

Check the answer on elev

Exercise 7

−3−2−112345xyf'y = 0

נתונה הפונקציה f(x)=exex+3f(x) = \frac{e^x}{e^x + 3}. הנגזרת שלה היא f′(x)=3ex(ex+3)2f'(x) = \frac{3e^x}{(e^x + 3)^2}, ולגרף של f′f' יש נקודת מקסימום אחת. מהו שיעור ה-xx שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.099

Worked solution:

f′′(x)=3ex(3−ex)(ex+3)3f''(x) = \frac{3e^x(3 - e^x)}{(e^x + 3)^3}

גוזרים את f′f' בכלל המנה ומצמצמים

f′′(x)=0⇒ex=3⇒x=ln⁡3≈1.099\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 3 \Rightarrow x \\ &= \ln 3 \approx 1.099\end{aligned}

x=ln⁡3≈1.099x = \ln 3 \approx 1.099. זו גם נקודת הפיתול של ff: נקודת קיצון של f′f' היא נקודת פיתול של ff.

Check the answer on elev

Exercise 8

−11234567xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של f′(x)=(2x−x2)e−xf'(x) = (2x - x^2)e^{-x}, הנגזרת של f(x)=x2e−xf(x) = x^2e^{-x}. נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+0.1xg(x) = f(x) + 0.1x. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה gg?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

g′(x)=f′(x)+0.1=0⇒f′(x)=−0.1\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) + 0.1 \\ &= 0 \Rightarrow f'(x) \\ &= -0.1\end{aligned}

סופרים חיתוכים של הגרף של f′f' עם הישר y=−0.1y = -0.1

x<0:1x < 0 : 1

משמאל לראשית f′f' עולה מ-−∞-\infty עד 00: חיתוך אחד

f′(2+2)≈−0.159<−0.1⇒2f'(2 + \sqrt{2}) \approx -0.159 < -0.1 \Rightarrow 2

מימין ל-x=2x = 2 הגרף יורד מתחת לישר וחוזר אליו: שני חיתוכים

ל-gg יש 3 נקודות קיצון. בכל חיתוך הגרף של f′f' עובר מצד אחד של הישר לצד השני, ולכן g′g' מחליפה סימן.

Check the answer on elev

Exercise 9

−11234567xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של f′(x)=(2x−x2)e−xf'(x) = (2x - x^2)e^{-x}. כמה נקודות פיתול יש לפונקציה ff?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

max⁡f′:x=2−2≈0.586\max f' : x = 2 - \sqrt{2} \approx 0.586

לגרף של f′f' יש מקסימום אחד

min⁡f′:x=2+2≈3.414\min f' : x = 2 + \sqrt{2} \approx 3.414

ומינימום אחד

שתיים. כל נקודת קיצון של f′f' היא נקודת פיתול של ff. נקודות החיתוך של f′f' עם הציר הן נקודות קיצון של ff, לא נקודות פיתול.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה f(x)=1ex−2f(x) = \frac{1}{e^x - 2}. גם לפונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) יש אסימפטוטה אנכית x=ln⁡2x = \ln 2.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=−ex(ex−2)2f'(x) = \frac{-e^x}{(e^x - 2)^2}

גוזרים

x→ln⁡2:(ex−2)2→0+,  −ex→−2x \to \ln 2 : (e^x - 2)^2 \to 0^+ ,\; -e^x \to -2

המכנה שואף ל-00 והמונה לא

⇒f′(x)→−∞\Rightarrow f'(x) \to -\infty

הטענה נכונה: המכנה של f′f' מתאפס באותו מקום כמו המכנה של ff, והמונה לא מתאפס שם.

Check the answer on elev

Exercise 11

אם בתחום מסוים f′(x)>0f'(x) > 0 והגרף של f′f' יורד, אז בתחום הזה ff עולה וקעורה כלפי מטה.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)>0⇒f↑f'(x) > 0 \Rightarrow f \uparrow

נגזרת חיובית: ff עולה

f′↓⇒f′′(x)≤0f' \downarrow \Rightarrow f''(x) \le 0

נגזרת יורדת: הנגזרת השנייה לא חיובית, וזו קעירות כלפי מטה

הטענה נכונה. ff עולה, אבל השיפוע שלה קטן: היא עולה לאט יותר ויותר, כמו exex+1\frac{e^x}{e^x + 1} מימין לראשית.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade