Exponential growth and geometric sequences · Growth and decay, and base-a functions · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מסתכלים על גדילה מעריכית רק בזמנים $0, 1, 2, \dots$ . הערכים יוצרים סדרה הנדסית שהמנה שלה $q$ .

a_n = A_0 \cdot q^{\,n}

והפונקציה $A(t) = A_0 q^{\,t}$ ממלאת את הרווחים

$200,\ 240,\ 288,\ \dots$

\begin{aligned}q &= \tfrac{240}{200} \\ &= 1.2\end{aligned}

\begin{aligned}a_4 &= 200 \cdot 1.2^4 \\ &= 414.72\end{aligned}

הערך בזמן $4$

הסכום

S_n = a_1 \cdot \frac{q^{\,n} - 1}{q - 1}

סכום של $n$ איברים ראשונים

מפעל ייצר $100$ טון בשנה הראשונה, והייצור גדל ב- $10\%$ בכל שנה. כמה ייצר בחמש שנים?

Show the answer and the solution

$100 \cdot \frac{1.1^5 - 1}{0.1} \approx 610.51$ טון.

בדעיכה ( $0 < q < 1$ ) הסכום של כל האיברים סופי: $\frac{a_1}{1 - q}$ .

Exercises

Exercise 1

מהי המנה של הסדרה $200,\ 240,\ 288,\ \dots$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1.2

Worked solution:

\tfrac{240}{200}

$1.2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

$A(n) = 200 \cdot 1.2^{\,n}$ . חשבו את $A(4)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 414.72

Worked solution:

200 \cdot 2.0736

$414.72$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

ערכים של פונקציה מעריכית בזמנים במרווחים שווים יוצרים סדרה הנדסית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\frac{A(t + h)}{A(t)} = q^{\,h}

קבוע

נכון.

Check the answer on elev

Exercise 4

$100$ טון בשנה הראשונה, וגדילה של $10\%$ בכל שנה. כמה טון בחמש שנים?

Show the answer and the solution

Answer: 610.51

Worked solution:

100 \cdot \frac{1.1^5 - 1}{0.1}

$610.51$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

איזו פונקציה נותנת את $81,\ 27,\ 9,\ \dots$ בזמנים $n = 0, 1, 2, \dots$ ?

$81 - 54n$
$81 \cdot 3^{\,n}$
$81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$
$27 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$

Show the answer and the solution

Answer: C $81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$

Worked solution:

q = \tfrac{1}{3}

$81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

$81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$ , $n = 0, 1, 2, \dots$ . מה ה- $n$ הראשון שבו הערך קטן מ- $1$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}n &= 4 : 1 \ ; \ n \\ &= 5 : \tfrac{1}{3}\end{aligned}

$5$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו ה- $k$ של $e^{kt}$ שמתאים למנה $q = 1.2$ ? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 0.182

Worked solution:

\ln 1.2

$\approx 0.182$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

בסדרה הנדסית שהמנה שלה $2$ , פי כמה $a_{10}$ גדול מ- $a_5$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

2^{10 - 5}

$32$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

מיינו: סדרה הנדסית או חשבונית?

הנדסית
חשבונית

$100,\ 90,\ 80$
$100,\ 90,\ 81$
$3,\ 6,\ 12$
$3,\ 6,\ 9$

Show the answer and the solution

Answer: $3,\ 6,\ 12$ — הנדסית · $3,\ 6,\ 9$ — חשבונית · $100,\ 90,\ 81$ — הנדסית · $100,\ 90,\ 80$ — חשבונית

Worked solution:

\text{מנה קבועה} \ ; \ \text{הפרש קבוע}

מכפילים או מוסיפים.

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו את הסכום של כל האיברים $100,\ 50,\ 25,\ \dots$

Show the answer and the solution

Answer: 200

Worked solution:

\frac{100}{1 - 0.5}

$200$ .

Check the answer on elev

הסכום

Exercises

Keep practising on elev