Approaching a bagrut question · The ln function and its study · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלת חקירה עם $\ln$ בבחינה בנויה מסעיפים: תחום הגדרה, אסימפטוטות, נקודות חיתוך, קיצון, קעירות, ולבסוף סקיצה. כל סעיף מוסיף פרט אחד לתמונה. נעבור על כולם בפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ .

Interactive activity

חקירה מלאה, סעיף אחרי סעיף

f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}

לחצו «להתחיל». בכל שלב כתבו את התוצאה בדף, לפני שאתם ממשיכים לסעיף הבא.

תחום הגדרה

\ln x : x > 0 \ ; \ \sqrt{x} \ne 0 : x \ne 0 \ \Rightarrow \ x > 0

$\ln x$ דורש $x > 0$ . השורש במכנה דורש $x \ge 0$ וגם $x \ne 0$ . החיתוך של שלושת התנאים הוא $x > 0$ .

אסימפטוטות

x \to 0^+ : f(x) \to -\infty \ ; \ x \to +\infty : f(x) \to 0

ליד $0$ המונה שואף ל- $-\infty$ והמכנה ל- $0^+$ : אסימפטוטה אנכית $x = 0$ . ב- $+\infty$ השורש גדל מהר יותר מ- $\ln x$ , ולכן השבר שואף ל- $0$ : אסימפטוטה אופקית $y = 0$ .

חיתוך עם הצירים

\begin{aligned}f(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס: הנקודה $(1, 0)$ . עם ציר ה- $y$ אין חיתוך, כי $x = 0$ לא בתחום.

הנגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\frac{1}{x}\sqrt{x} - \ln x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} \\ &= \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}\end{aligned}

כלל המנה. כופלים מונה ומכנה ב- $2\sqrt{x}$ ומסדרים. המכנה $2x\sqrt{x}$ חיובי בכל התחום.

קיצון

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2 \ ; \ f(e^2) \\ &= \frac{2}{e}\end{aligned}

משמאל ל- $e^2$ הנגזרת חיובית, ומימין לו שלילית: מקסימום $\left(e^2, \frac{2}{e}\right) \approx (7.389,\ 0.736)$ . הפונקציה עולה כאשר $0 < x < e^2$ ויורדת כאשר $x > e^2$ .

קעירות

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{3\ln x - 8}{4x^2\sqrt{x}} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^{\frac{8}{3}}\end{aligned}

הנגזרת השנייה נתונה בדרך כלל בשאלה. משמאל ל- $e^{\frac{8}{3}} \approx 14.392$ יש קעירות כלפי מטה, ומימין לו קעירות כלפי מעלה: נקודת פיתול.

סקיצה

-\infty \nearrow (1, 0) \nearrow (7.389,\ 0.736) \searrow (14.392,\ 0.703) \searrow 0

הגרף עולה מהקיר $x = 0$ , חותך את הציר ב- $(1, 0)$ , מגיע למקסימום, ואז יורד לאט ומתקרב ל- $y = 0$ מלמעלה. אחרי נקודת הפיתול הוא מתיישר.

הסדר הזה מתאים לכל פונקציה עם $\ln$ : תחום, אסימפטוטות, חיתוכים, נגזרת, קיצון, קעירות, סקיצה. בסוף בודקים שהסקיצה מסכימה עם כל התוצאות.

Do the activity on elev

למה הגרף מתקרב ל- $y = 0$ מלמעלה ולא מלמטה?

Show the answer and the solution

כי כאשר $x > 1$ , $\ln x > 0$ וגם $\sqrt{x} > 0$ , ולכן $f(x) > 0$ . הגרף שואף ל- $0$ אבל נשאר חיובי כל הדרך.

שתי בדיקות לפני שעוברים לסעיף הבא. תחום ההגדרה קודם לכול: כל אסימפטוטה, נקודה או תחום עלייה צריכים להיות בתוכו. ונקודה נותנים תמיד עם שני השיעורים: $x = e^2$ לבד היא תשובה חלקית, והתשובה המלאה היא $\left(e^2, \frac{2}{e}\right)$ .

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ . מהו תחום ההגדרה של הפונקציה?

$x \ne 0$
$x > 1$
$x > 0$
$x \ge 0$

Show the answer and the solution

Answer: C $x > 0$

Worked solution:

\ln x : x > 0 \ ; \ \sqrt{x} > 0 : x > 0

שני התנאים נותנים אותו תחום

תחום ההגדרה הוא $x > 0$ . התשובה $x \ge 0$ שוכחת שהשורש נמצא במכנה, ושם הוא לא יכול להיות $0$ . וגם $\ln 0$ לא מוגדר.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ . מהן האסימפטוטות של גרף הפונקציה המאונכות לצירים?

$y = 0$ בלבד
$x = 0$ ו- $y = 0$
$x = 1$ ו- $y = 0$
$x = 0$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: B $x = 0$ ו- $y = 0$

Worked solution:

x \to 0^+ : \frac{-\infty}{0^+} \to -\infty

אסימפטוטה אנכית

x \to +\infty : \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \to 0

השורש גדל מהר יותר מ- $\ln x$

$x = 0$ ו- $y = 0$ . הישר $x = 1$ הוא לא אסימפטוטה: שם הגרף חותך את ציר ה- $x$ , והפונקציה מוגדרת.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ . מהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}\ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $(1, 0)$ . מי שמשווה את המכנה ל- $0$ מוצא קיר, לא נקודת חיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ . לפונקציה יש נקודת מקסימום אחת. מהו שיעור ה- $x$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 7.389

Worked solution:

f'(x) = \frac{2 - \ln x}{2x\sqrt{x}}

\begin{aligned}2 - \ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^2 \approx 7.389\end{aligned}

x < e^2 : f' > 0 \ ; \ x > e^2 : f' < 0

מעלייה לירידה

המקסימום כאשר $x = e^2 \approx 7.389$ . הטעות הנפוצה: $x = 2$ , כלומר לעצור ב- $\ln x = 2$ ולשכוח לחזור אל $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ . לפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר $x = e^2$ . מהו שיעור ה- $y$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.736

Worked solution:

\begin{aligned}f(e^2) &= \frac{\ln e^2}{\sqrt{e^2}} \\ &= \frac{2}{e} \approx 0.736\end{aligned}

$\sqrt{e^2} = e$

נקודת המקסימום היא $\left(e^2, \frac{2}{e}\right)$ . $\ln e^2 = 2$ , ו- $\sqrt{e^2} = e$ : שתי פעולות הפוכות זו לזו.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ . הנגזרת השנייה היא $f''(x) = \frac{3\ln x - 8}{4x^2\sqrt{x}}$ . מהו שיעור ה- $x$ של נקודת הפיתול? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 14.392

Worked solution:

\begin{aligned}3\ln x - 8 &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= \frac{8}{3}\end{aligned}

x = e^{\frac{8}{3}} \approx 14.392

x < e^{\frac{8}{3}} : f'' < 0 \ ; \ x > e^{\frac{8}{3}} : f'' > 0

הסימן מתחלף

נקודת הפיתול כאשר $x = e^{\frac{8}{3}} \approx 14.392$ . היא נמצאת אחרי המקסימום, בחלק היורד של הגרף.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ . טענה: כאשר $x > 1$ מתקיים $f(x) > 0$ . האם הטענה נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x > 1 \Rightarrow \ln x > 0

\sqrt{x} > 0

מונה חיובי, מכנה חיובי

הטענה נכונה, ואפשר לראות אותה בלי נגזרת: הסימן של שבר נקבע מהסימנים של המונה והמכנה.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f(x) = 0.5$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

0 < 0.5 < \frac{2}{e} \approx 0.736

0 < x < e^2 : f \nearrow \ , \ -\infty \to 0.736

פתרון אחד בצד העולה

x > e^2 : f \searrow \ , \ 0.736 \to 0^+

ופתרון שני בצד היורד

שני פתרונות: $0.5$ בין $0$ לערך המקסימום. עבור $k = 0.8$ לא היה אף פתרון, ועבור $k = -1$ רק אחד.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ . מהו השיפוע של המשיק לגרף בנקודת החיתוך שלו עם ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}f'(1) &= \frac{2 - \ln 1}{2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1}} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

השיפוע הוא $1$ , והמשיק הוא $y = x - 1$ . מציבים $x = 1$ בנגזרת: הצבה בפונקציה נותנת $0$ , שזה שיעור ה- $y$ של נקודת ההשקה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ . איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה?

גרף II
גרף III
גרף IV
גרף I

Show the answer and the solution

Answer: D גרף I

Worked solution:

x \to +\infty : f \to 0

בגרף IV הגרף עולה בלי גבול: נפסל

x > 1 : f > 0

בגרף III הגרף מתחת לציר מימין ל- $1$ : נפסל

\max : x = e^2 \approx 7.4

בגרף II המקסימום ב- $x = e \approx 2.7$ : זה $\frac{\ln x}{x}$

גרף I. גרף II דומה מאוד: גם לו קיר ב- $x = 0$ ואסימפטוטה $y = 0$ . רק מקום המקסימום מבדיל ביניהם, ולכן כדאי לחשב אותו.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev