Question 1 in exam format · The ln function and its study · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 1 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\ln x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

$x > 4$
$x \ne 0$
כל $x$
$x > 0$

Show the answer and the solution

Answer: D $x > 0$

Worked solution:

\ln x \Rightarrow x > 0

הביטוי $\ln x$ מוגדר רק למספרים חיוביים

x - 4\ln x : \ x > 0

האיבר $x$ מוגדר לכל $x$ , ולכן רק $\ln x$ מצמצם את התחום

תחום ההגדרה הוא $x > 0$ . התשובה $x \ne 0$ שוכחת שגם מספר שלילי אסור בתוך $\ln$ , ולא רק $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\ln x$ . ב. מצאו את האסימפטוטות של גרף הפונקציה המאונכות לצירים.

אין אסימפטוטות
$x = 0$ ו- $y = 0$
$y = 0$ בלבד
$x = 0$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: D $x = 0$ בלבד

Worked solution:

x \to 0^+ : \ -4\ln x \to +\infty \Rightarrow f(x) \to +\infty

ליד קצה התחום הגרף עולה בלי גבול: אסימפטוטה אנכית $x = 0$

x \to +\infty : \ f(x) = x\left(1 - \frac{4\ln x}{x}\right) \to +\infty

$\frac{\ln x}{x} \to 0$ , ולכן הסוגריים שואפים ל- $1$ : אין אסימפטוטה אופקית

יש אסימפטוטה אנכית אחת, $x = 0$ , והיא רק מימין לה, כי הפונקציה לא מוגדרת משמאל. ב- $+\infty$ האיבר $x$ גדל מהר יותר מ- $4\ln x$ , ולכן אין אסימפטוטה אופקית.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\ln x$ . ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{4}{x} \\ &= \frac{x-4}{x}\end{aligned}

הנגזרת של $\ln x$ היא $\frac{1}{x}$

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

המכנה $x$ חיובי בכל התחום, ולכן רק המונה יכול להתאפס

0 < x < 4 : f' < 0 \ ; \ x > 4 : f' > 0

הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום

נקודת הקיצון היא מינימום, כאשר $x = 4$ . אל תשכחו לבדוק את הסימן משני הצדדים: $f'(x) = 0$ לבד לא אומר מה סוג הנקודה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\ln x$ . ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת הקיצון? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: -1.545

Worked solution:

f(4) = 4 - 4\ln 4

מציבים בפונקציה המקורית, לא בנגזרת

4 - 4\ln 4 \approx 4 - 5.545 = -1.545

נקודת המינימום היא $(4,\ 4 - 4\ln 4) \approx (4,\ -1.545)$ . הערך שלילי, ובסעיף ה נשתמש בזה כדי לספור נקודות חיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\ln x$ . ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

עולה כאשר $x > 4$ , יורדת כאשר $0 < x < 4$
יורדת כאשר $x > 4$ , עולה כאשר $0 < x < 4$
עולה כאשר $x > 0$
עולה כאשר $x < 4$ , יורדת כאשר $x > 4$

Show the answer and the solution

Answer: A עולה כאשר $x > 4$ , יורדת כאשר $0 < x < 4$

Worked solution:

f'(x) = \frac{x-4}{x}

בתחום $x > 0$ המכנה חיובי

0 < x < 4 : f' < 0 \ ; \ x > 4 : f' > 0

הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x - 4$

יורדת כאשר $0 < x < 4$ ועולה כאשר $x > 4$ . התשובה «עולה כאשר $x < 4$ » שוכחת את התחום: אין גרף כאשר $x \le 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\ln x$ . ה. טענה: לגרף של $f$ יש קעירות כלפי מעלה בכל תחום ההגדרה, ולכן אין לו נקודת פיתול. האם הטענה נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f''(x) = \frac{4}{x^2}

גוזרים את $f'(x) = 1 - 4x^{-1}$

x > 0 \Rightarrow f''(x) > 0

מונה חיובי ומכנה חיובי

הטענה נכונה. $f''$ לא מחליפה סימן בתחום, ולכן אין נקודת פיתול. נקודת פיתול צריכה החלפת סימן של $f''$ , לא רק מקום שבו היא מתאפסת.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\ln x$ . ו. כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה עם ציר ה- $x$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

0 < x < 4 : \ f \searrow \ , \ +\infty \to -1.545

בירידה הגרף עובר מ- $+\infty$ לערך שלילי: חותך פעם אחת

x > 4 : \ f \nearrow \ , \ -1.545 \to +\infty

בעלייה הוא חוזר לערכים חיוביים: חותך פעם שנייה

שתי נקודות חיתוך. הסיבה: ערך המינימום שלילי. אילו המינימום היה חיובי, לא הייתה אף נקודת חיתוך.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\ln x$ . ז. טענה: אחת מנקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ נמצאת בין $x = 1$ ל- $x = 2$ . האם הטענה נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}f(1) &= 1 - 4\ln 1 \\ &= 1 > 0\end{aligned}

$\ln 1 = 0$

f(2) = 2 - 4\ln 2 \approx -0.773 < 0

f(1) > 0 > f(2)

הפונקציה רציפה בקטע, ולכן היא מתאפסת בו

הטענה נכונה: הפונקציה רציפה ומחליפה סימן בין $1$ ל- $2$ . לא צריך לפתור את המשוואה $x = 4\ln x$ , שאין לה פתרון בדרך אלגברית.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\ln x$ . ח. מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה $x = 1$ . מהו שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה- $y$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}f(1) &= 1 \ ; \ f'(1) \\ &= 1 - 4 \\ &= -3\end{aligned}

נקודת ההשקה $(1, 1)$ ושיפוע המשיק

\begin{aligned}y - 1 &= -3(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -3x + 4\end{aligned}

המשיק הוא $y = -3x + 4$ , והוא חותך את ציר ה- $y$ בנקודה $(0, 4)$ . שימו לב: את השיפוע לוקחים מהנגזרת, ואת הנקודה מהפונקציה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה $f(x) = x - 4\ln x$ . ט. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה $f$ ?

גרף III
גרף IV
גרף I
גרף II

Show the answer and the solution

Answer: A גרף III

Worked solution:

x \to 0^+ : f \to +\infty

גרף IV יורד ל- $-\infty$ ליד הציר: נפסל

f(4) \approx -1.545 < 0

גרף II לא יורד מתחת לציר ה- $x$ : נפסל

x \to +\infty : f \to +\infty

גרף I יורד בלי גבול מימין: נפסל

גרף III. כל גרף אחר נפסל בגלל תוצאה של סעיף אחר: האסימפטוטה, ערך המינימום, או ההתנהגות מימין.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev