ln functions with a parameter

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבחינה הפונקציה מגיעה לפעמים עם פרמטר: אות, כמו aa, שעומדת במקום מספר.

כל ערך של aa נותן פונקציה אחרת. יחד הן משפחה של פונקציות, וחוקרים את כולן בבת אחת.

משפחה ראשונה: f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x

כאן a>0a > 0. התחום הוא x>0x > 0 לכל aa, כי הפרמטר לא נוגע במה שבתוך ה-ln⁡\ln.

גזרו: איפה נמצא הקיצון של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, ומאיזה סוג הוא?

Show the answer and the solution

f′(x)=1−ax=x−axf'(x) = 1 - \frac{a}{x} = \frac{x - a}{x}. הנגזרת מתאפסת ב-x=ax = a, ועוברת משלילית לחיובית: מינימום ב-x=ax = a, וערכו a−aln⁡aa - a\ln a.

f(a)=a(1−ln⁡a)f(a) = a(1 - \ln a)

הסימן של ערך המינימום קובע כמה פעמים הגרף חותך את ציר ה-xx.

0<a<e0 < a < e

המינימום חיובי: אין נקודות חיתוך.

a=ea = e

המינימום אפס: הגרף משיק לציר בנקודה אחת, (e,0)(e, 0).

a>ea > e

המינימום שלילי: שתי נקודות חיתוך.

בשביל אילו ערכי aa הגרף של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x נמצא כולו מעל ציר ה-xx?

Show the answer and the solution

0<a<e0 < a < e. ערך המינימום a(1−ln⁡a)a(1 - \ln a) חיובי בדיוק כאשר ln⁡a<1\ln a < 1, כלומר a<ea < e.

משפחה שנייה: g(x)=ln⁡x−axg(x) = \ln x - ax

כאן הקיצון הוא מקסימום, ב-x=1ax = \frac{1}{a}, וערכו −ln⁡a−1-\ln a - 1. יש שתי נקודות חיתוך כאשר הוא חיובי, כלומר כאשר a<1ea < \frac{1}{e}.

למצוא את הפרמטר מנתון

לפונקציה f(x)=aln⁡x−x2f(x) = a\ln x - x^2 יש נקודת קיצון כאשר x=2x = 2. מצאו את aa.

נקודת קיצון היא מקום שבו הנגזרת מתאפסת. לכן גוזרים עם הפרמטר, ורק אחר כך מציבים.

f′(x)=ax−2xf'(x) = \frac{a}{x} - 2x

גוזרים, ו-aa נשאר אות.

f′(2)=a2−4=0\begin{aligned}f'(2) &= \frac{a}{2} - 4 \\ &= 0\end{aligned}

מציבים x=2x = 2 בנגזרת.

a=8a = 8

בדיקה: f′(x)=8x−2x=2(4−x2)xf'(x) = \frac{8}{x} - 2x = \frac{2(4 - x^2)}{x}, ואכן מתאפסת ב-x=2x = 2.

הטעות של הנגזרת שנשכחה.

f(2)=0⇒aln⁡2−4=0\begin{aligned}f(2) &= 0 \Rightarrow a\ln 2 - 4 \\ &= 0\end{aligned}
f′(2)=0⇒a2−4=0\begin{aligned}f'(2) &= 0 \Rightarrow \frac{a}{2} - 4 \\ &= 0\end{aligned}

קיצון אומר שהנגזרת מתאפסת, לא הפונקציה. המשוואה הראשונה מחפשת נקודת חיתוך עם ציר ה-xx.

בשאלה עם פרמטר, כתבו את הנגזרת עם הפרמטר, ומצאו את הקיצון כביטוי ב-aa. רק בסוף מציבים את הנתון.

Exercises

Exercise 1

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר x=3x = 3. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=1−axf'(x) = 1 - \frac{a}{x}
f′(3)=1−a3=0⇒a=3\begin{aligned}f'(3) &= 1 - \frac{a}{3} \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. במשפחה הזאת הקיצון נמצא תמיד ב-x=ax = a. מי שמציב x=3x = 3 ב-ff ומשווה ל-00 פותר שאלה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=aln⁡x−x2f(x) = a\ln x - x^2, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון כאשר x=2x = 2. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

f′(x)=ax−2xf'(x) = \frac{a}{x} - 2x
a2−4=0⇒a=8\begin{aligned}\frac{a}{2} - 4 &= 0 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

a=8a = 8. הנגזרת של aln⁡xa\ln x היא ax\frac{a}{x}: הפרמטר הוא מקדם, והוא נשאר.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה g(x)=ln⁡x−axg(x) = \ln x - ax, כאשר a>0a > 0. לפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר x=4x = 4. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

g′(x)=1x−ag'(x) = \frac{1}{x} - a
14−a=0⇒a=14\begin{aligned}\frac{1}{4} - a &= 0 \Rightarrow a \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

a=0.25a = 0.25. הטעות היא a=4a = 4: הקיצון נמצא ב-x=1ax = \frac{1}{a}, ולא ב-x=ax = a כמו במשפחה x−aln⁡xx - a\ln x.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=x−5ln⁡xf(x) = x - 5\ln x. כמה נקודות חיתוך יש לגרף שלה עם ציר ה-xx?

  1. 22
  2. 33
  3. 00
  4. 11
Show the answer and the solution

Answer: A 22

Worked solution:

f(5)=5−5ln⁡5=5(1−ln⁡5)\begin{aligned}f(5) &= 5 - 5\ln 5 \\ &= 5(1 - \ln 5)\end{aligned}

ערך המינימום

ln⁡5>1⇒f(5)<0\ln 5 > 1 \Rightarrow f(5) < 0

המינימום מתחת לציר

x→0+:f→+∞ ; x→+∞:f→+∞x \to 0^+ : f \to +\infty \ ; \ x \to +\infty : f \to +\infty

משני הצדדים הגרף עולה מעל הציר

שתיים: הגרף יורד מ-+∞+\infty אל מינימום שלילי, ועולה שוב ל-+∞+\infty. מינימום שלילי לבדו לא מספיק — צריך גם לדעת שבשני הקצוות הפונקציה חיובית.

Check the answer on elev

Exercise 5

טענה: הגרף של f(x)=x−2ln⁡xf(x) = x - 2\ln x לא חותך את ציר ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f(2)=2−2ln⁡2≈0.614>0f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0.614 > 0

המינימום חיובי

2<e2 < e

הטענה נכונה, כי a=2<ea = 2 < e. בלי לחשב את ערך המינימום אי אפשר לדעת: גרף שיורד ואחר כך עולה יכול גם לחתוך את הציר.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. בשביל ערך אחד של aa הגרף משיק לציר ה-xx. מצאו אותו. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 2.718

Worked solution:

f(a)=a(1−ln⁡a)=0\begin{aligned}f(a) &= a(1 - \ln a) \\ &= 0\end{aligned}

המינימום נוגע בציר

a>0⇒ln⁡a=1⇒a=e≈2.718\begin{aligned}a > 0 \Rightarrow \ln a &= 1 \Rightarrow a \\ &= e \approx 2.718\end{aligned}

a=e≈2.718a = e \approx 2.718. מי שכותב a=0a = 0 שוכח שהנתון הוא a>0a > 0.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+a)f(x) = \ln(x^2 + a), כאשר a>0a > 0. ידוע ש-f(0)=2f(0) = 2. מצאו את aa. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 7.389

Worked solution:

f(0)=ln⁡a=2\begin{aligned}f(0) &= \ln a \\ &= 2\end{aligned}
a=e2≈7.389a = e^2 \approx 7.389

מעלים את ee בחזקת שני האגפים

e2≈7.389e^2 \approx 7.389. הטעות הנפוצה היא a=2a = 2: ה-ln⁡\ln לא «נעלם» — הופכים אותו בעזרת ee.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+a)f(x) = \ln(x^2 + a), כאשר a>0a > 0. מהו תחום ההגדרה שלה?

  1. x>ax > \sqrt{a}
  2. כל xx
  3. x>0x > 0
  4. x>−ax > -a
Show the answer and the solution

Answer: B כל xx

Worked solution:

x2≥0 , a>0⇒x2+a>0x^2 \ge 0 \ , \ a > 0 \Rightarrow x^2 + a > 0

מה שבתוך ה-ln⁡\ln חיובי תמיד

כל xx. הפרמטר כאן עוזר: בגלל a>0a > 0 הביטוי x2+ax^2 + a לעולם לא מתאפס. בלי הנתון a>0a > 0 התשובה הייתה תלויה ב-aa.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+a)f(x) = \ln(x^2 + a), כאשר a>0a > 0. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 הוא 12\frac{1}{2}. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

f′(x)=2xx2+af'(x) = \frac{2x}{x^2 + a}

כלל השרשרת

f′(1)=21+a=12⇒a=3\begin{aligned}f'(1) &= \frac{2}{1 + a} \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת, לא ערך הפונקציה. ובנגזרת של ln⁡(x2+a)\ln(x^2 + a) צריך את המונה 2x2x.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. מצאו את aa שבשבילו ערך המינימום של ff שווה ל-11.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f(a)=a−aln⁡a=1\begin{aligned}f(a) &= a - a\ln a \\ &= 1\end{aligned}

ערך המינימום כביטוי ב-aa

m(a)=a−aln⁡a ; m′(a)=−ln⁡a\begin{aligned}m(a) &= a - a\ln a \ ; \ m'(a) \\ &= -\ln a\end{aligned}

גוזרים לפי aa

m(1)=1=max⁡m\begin{aligned}m(1) &= 1 \\ &= \max m\end{aligned}

ל-mm יש מקסימום 11 ב-a=1a = 1, ולכן זה הפתרון היחיד

a=1a = 1. את המשוואה a−aln⁡a=1a - a\ln a = 1 אי אפשר לפתור באלגברה. מנחשים a=1a = 1, ומוכיחים שזה הפתרון היחיד: 11 הוא הערך הגדול ביותר של mm.

Check the answer on elev

Exercise 11

123456123xyx = 0M

בסרטוט הגרף של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x, כאשר a>0a > 0. הנקודה MM היא נקודת המינימום שלו. מהו aa?

  1. ee
  2. 44
  3. 11
  4. 22
Show the answer and the solution

Answer: D 22

Worked solution:

f′(x)=0⇒x=a\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= a\end{aligned}

המינימום נמצא ב-x=ax = a

M≈(2, 0.614)M \approx (2,\ 0.614)

בסרטוט שיעור ה-xx של MM הוא 22

a=2a = 2. אפשר לבדוק: f(2)=2−2ln⁡2≈0.614f(2) = 2 - 2\ln 2 \approx 0.614, הגובה של MM. מי שבוחר ee קורא את הגרף כאילו הוא משיק לציר — אבל MM מעל הציר.

Check the answer on elev

Exercise 12

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡(2x−a)f(x) = \ln(2x - a). האסימפטוטה האנכית שלה היא x=1.5x = 1.5. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2x−a=0⇒x=a2\begin{aligned}2x - a &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{a}{2}\end{aligned}

הקיר: מה שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

a2=1.5⇒a=3\begin{aligned}\frac{a}{2} &= 1.5 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

a=3a = 3. הטעות היא a=1.5a = 1.5: הקיר נמצא ב-x=a2x = \frac{a}{2}, לא ב-x=ax = a.

Check the answer on elev

Exercise 13

טענה: לכל a>0a > 0, נקודת המינימום של f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x נמצאת על הגרף של y=x−xln⁡xy = x - x\ln x.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

M=(a, a−aln⁡a)M = (a,\ a - a\ln a)

נקודת המינימום

y(a)=a−aln⁡ay(a) = a - a\ln a

מציבים x=ax = a ב-y=x−xln⁡xy = x - x\ln x: אותו ערך

הטענה נכונה. כל המינימומים של המשפחה נמצאים על עקומה אחת. בודקים זאת לכל aa, באותיות — דוגמה מספרית אחת אינה הוכחה.

Check the answer on elev

Exercise 14

נתונה המשפחה f(x)=x−aln⁡xf(x) = x - a\ln x. התאימו לכל ערך של aa את מספר נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

  • a=1a = 1
  • a=ea = e
  • a=4a = 4
  • אין נקודות חיתוך
  • נקודה אחת
  • שתי נקודות
Show the answer and the solution

Answer: a=1a = 1 — אין נקודות חיתוך · a=ea = e — נקודה אחת · a=4a = 4 — שתי נקודות

Worked solution:

f(1)=1>0 ; f(e)=0 ; f(4)=4(1−ln⁡4)<0\begin{aligned}f(1) &= 1 > 0 \ ; \ f(e) \\ &= 0 \ ; \ f(4) \\ &= 4(1 - \ln 4) < 0\end{aligned}

ערך המינימום בכל מקרה

הסימן של ערך המינימום קובע. ב-a=ea = e הגרף רק נוגע בציר: נקודה אחת, ולא שתיים.

Check the answer on elev

Exercise 15

נתונה המשפחה g(x)=ln⁡x−axg(x) = \ln x - ax, כאשר a>0a > 0. מצאו את aa שבשבילו ערך המקסימום של gg הוא 00. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.368

Worked solution:

g′(x)=1x−a=0⇒x=1a\begin{aligned}g'(x) &= \frac{1}{x} - a \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{a}\end{aligned}
g(1a)=−ln⁡a−1=0\begin{aligned}g\left(\frac{1}{a}\right) &= -\ln a - 1 \\ &= 0\end{aligned}
ln⁡a=−1⇒a=1e≈0.368\begin{aligned}\ln a &= -1 \Rightarrow a \\ &= \frac{1}{e} \approx 0.368\end{aligned}

1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368. שימו לב לסימן: ln⁡1a=−ln⁡a\ln\frac{1}{a} = -\ln a. מי שמאבד את המינוס מקבל a=ea = e.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade