Graphs of functions with ln

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבחינה מופיעות שתי שאלות גרפים. בראשונה נותנים פונקציה וארבעה גרפים, ושואלים איזה גרף מתאים לה. בשנייה נותנים את הגרף של הנגזרת, ושואלים מה הוא אומר על הפונקציה.

איזה גרף מתאים לפונקציה?

u(x)>0u(x) > 0

תחום ההגדרה: הגרף קיים רק איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln חיובי.

u(x)→0+u(x) \to 0^+

אסימפטוטה אנכית: איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln שואף ל-00, הגרף יורד ל-−∞-\infty.

ln⁡u=0  ⟺  u=1\begin{aligned}\ln u &= 0 \iff u \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln שווה ל-11.

ln⁡u>0  ⟺  u>1\ln u > 0 \iff u > 1

הסימן: הגרף מעל ציר ה-xx איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln גדול מ-11.

מהו הערך הגדול ביותר של f(x)=ln⁡(4−x2)f(x) = \ln\left(4 - x^2\right)? אפשר לענות בלי נגזרת.

Show the answer and the solution

4−x2≤44 - x^2 \le 4, והשוויון רק כאשר x=0x = 0. הפונקציה ln⁡\ln עולה, ולכן גם ln⁡(4−x2)≤ln⁡4\ln\left(4 - x^2\right) \le \ln 4. הערך הגדול ביותר הוא ln⁡4≈1.386\ln 4 \approx 1.386, כאשר x=0x = 0.

ln⁡\ln שומר על הסדר. איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מקבל מקסימום, גם ln⁡\ln שלו מקבל מקסימום, באותו xx.

לגרף II יש אסימפטוטה אופקית y=0y = 0 מימין. למה?

Show the answer and the solution

כאשר x→+∞x \to +\infty, גם ln⁡x\ln x וגם xx גדלים בלי גבול. אבל xx גדל הרבה יותר מהר מ-ln⁡x\ln x, ולכן המנה ln⁡xx\frac{\ln x}{x} שואפת ל-00.

הגרף של הנגזרת

איפה שהגרף של f′f' מעל ציר ה-xx, הפונקציה ff עולה. איפה שהוא מתחת לציר, ff יורדת.

איפה ש-f′f' חוצה את ציר ה-xx, ל-ff יש קיצון. ואיפה שלגרף של f′f' יש קיצון, ל-ff יש נקודת פיתול.

בין x=−1x = -1 ל-x=1x = 1 הגרף של f′f' עולה. מה זה אומר על הקעירות של ff בתחום הזה?

Show the answer and the solution

כאשר f′f' עולה, f′′>0f'' > 0, ולכן לגרף של ff יש קעירות כלפי מעלה. ובאמת f′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2f''(x) = \frac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}, וזה חיובי כאשר −1<x<1-1 < x < 1.

הטעות הנפוצה: לבלבל בין הסימן של f′f' לבין הכיוון שלה.

f′↘ ⇒ f↘f' \searrow \ \Rightarrow \ f \searrow
f′<0 ⇒ f↘f' < 0 \ \Rightarrow \ f \searrow

כאשר x>1x > 1 הגרף של f′f' יורד, אבל הוא עדיין מעל הציר: ff עדיין עולה, רק לאט יותר. מה שקובע עלייה וירידה הוא הסימן של f′f', ולא הכיוון שלה.

Exercises

Exercise 1

xyx = −3I
xyx = 3II
xyx = 3III
xyx = 0IV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=ln⁡(x+3)f(x) = \ln(x + 3)?

  1. גרף II
  2. גרף IV
  3. גרף III
  4. גרף I
Show the answer and the solution

Answer: D גרף I

Worked solution:

x+3>0⇒x>−3x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3

תחום ההגדרה: הגרף קיים רק מימין ל-x=−3x = -3. גרפים II ו-III נפסלים

ln⁡(x+3)=0⇒x+3=1⇒x=−2\begin{aligned}\ln(x+3) &= 0 \Rightarrow x + 3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה-xx הוא ב-(−2,0)(-2, 0). בגרף IV החיתוך הוא ב-(e−3,0)(e^{-3}, 0), כמעט ב-00

גרף I. גרף IV הוא ln⁡x+3\ln x + 3: הוספנו 33 אחרי ה-ln⁡\ln, וזו הזזה למעלה ולא שמאלה.

Check the answer on elev

Exercise 2

xyx = −1x = 1I
xyx = 0II
xyIII
xyIV

איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף IV
  4. גרף III
Show the answer and the solution

Answer: D גרף III

Worked solution:

x2+1>0x^2 + 1 > 0

הביטוי חיובי לכל xx: אין קירות. גרפים I ו-II נפסלים

x2+1≥1⇒ln⁡(x2+1)≥0x^2 + 1 \ge 1 \Rightarrow \ln\left(x^2+1\right) \ge 0

הגרף לא יורד מתחת לציר ה-xx. גרף IV נפסל

גרף III. מינימום (0,0)(0, 0), והגרף עולה לשני הצדדים. גרף IV הוא −ln⁡(x2+1)-\ln\left(x^2+1\right): הסימן שלו הפוך.

Check the answer on elev

Exercise 3

1234567−2−112xyx = 2(3, 0)

בסרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=ln⁡(x−a)f(x) = \ln(x - a), כאשר aa פרמטר. לגרף יש אסימפטוטה אנכית x=2x = 2. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x−a>0⇒x>ax - a > 0 \Rightarrow x > a

הקיר נמצא איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

a=2a = 2

לפי הסרטוט הקיר הוא x=2x = 2

a=2a = 2. הקיר הוא בדיוק הגבול של תחום ההגדרה, ולא המקום שבו הגרף חותך את ציר ה-xx (שם x=3x = 3).

Check the answer on elev

Exercise 4

123456−2−1123xyx = 0(e, 2)

בסרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=aln⁡xf(x) = a\ln x, כאשר aa פרמטר. הגרף עובר בנקודה (e,2)(e, 2). מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f(e)=aln⁡e=a⋅1=a\begin{aligned}f(e) &= a \ln e \\ &= a \cdot 1 \\ &= a\end{aligned}

מציבים x=ex = e, ו-ln⁡e=1\ln e = 1

a=2a = 2

הנקודה (e,2)(e, 2) על הגרף

a=2a = 2. בנקודה x=ex = e קוראים את הפרמטר ישר מהגרף, כי ln⁡e=1\ln e = 1.

Check the answer on elev

Exercise 5

1234567−2−11xyf'y = 1x = 02

בסרטוט הגרף של הנגזרת f′(x)f'(x) של פונקציה ff, שתחום ההגדרה שלה x>0x > 0. מה אפשר לומר על ff ב-x=2x = 2?

  1. ל-ff יש מקסימום ב-x=2x = 2
  2. ל-ff יש מינימום ב-x=2x = 2
  3. ל-ff אין שום דבר מיוחד ב-x=2x = 2
  4. ל-ff יש נקודת פיתול ב-x=2x = 2
Show the answer and the solution

Answer: B ל-ff יש מינימום ב-x=2x = 2

Worked solution:

0<x<2:f′(x)<00 < x < 2 : f'(x) < 0

משמאל ל-22 הגרף של f′f' מתחת לציר: ff יורדת

x>2:f′(x)>0x > 2 : f'(x) > 0

מימין ל-22 הגרף מעל הציר: ff עולה

מינימום. ירידה ואחריה עלייה. נקודת פיתול הייתה במקום שבו לגרף של f′f' יש קיצון, לא במקום שבו הוא חוצה את הציר.

Check the answer on elev

Exercise 6

1234567−2−11xyf'y = 1x = 02

בסרטוט הגרף של הנגזרת f′(x)f'(x) של פונקציה ff, שתחום ההגדרה שלה x>0x > 0. הטענה: הפונקציה ff יורדת בתחום 0<x<20 < x < 2.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

0<x<2:f′(x)<00 < x < 2 : f'(x) < 0

בתחום הזה הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx

נכון. אסור להתבלבל: הגרף של f′f' עולה בתחום הזה, אבל הוא שלילי, ולכן ff יורדת.

Check the answer on elev

Exercise 7

xyI
xyII
xyIII
xyx = 0IV

איזה מבין הגרפים הוא הגרף של הנגזרת של f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)?

  1. גרף I
  2. גרף III
  3. גרף IV
  4. גרף II
Show the answer and the solution

Answer: A גרף I

Worked solution:

f′(x)=2xx2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2+1}

כלל השרשרת: הנגזרת של הביטוי הפנימי חלקי הביטוי

x<0:f′<0 ; x>0:f′>0x < 0 : f' < 0 \ ; \ x > 0 : f' > 0

הסימן הוא הסימן של xx. גרפים II ו-III נפסלים

f′(0)=0f'(0) = 0

גרף IV (1x\frac{1}{x}) לא מוגדר ב-x=0x = 0, ולכן נפסל

גרף I. ff יורדת משמאל ל-00 ועולה מימין, ולכן f′f' שלילית משמאל וחיובית מימין.

Check the answer on elev

Exercise 8

−2−1123412xy

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡(x2−2x+2)f(x) = \ln\left(x^2 - 2x + 2\right). לפונקציה יש נקודת קיצון אחת. מהו שיעור ה-xx שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=2x−2x2−2x+2f'(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}

כלל השרשרת

f′(x)=0⇒2x−2=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow 2x - 2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

המכנה (x−1)2+1(x-1)^2 + 1 חיובי תמיד

f(1)=ln⁡1=0\begin{aligned}f(1) &= \ln 1 \\ &= 0\end{aligned}

נקודת המינימום היא (1,0)(1, 0)

x=1x = 1. אפשר גם בלי נגזרת: x2−2x+2=(x−1)2+1x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 קטן ביותר כאשר x=1x = 1, ו-ln⁡\ln שומר על הסדר.

Check the answer on elev

Exercise 9

−2−112345−2−112xyx = 5(4, 0)

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡(5−x)f(x) = \ln(5 - x). באיזה תחום f(x)>0f(x) > 0?

  1. x<4x < 4
  2. 4<x<54 < x < 5
  3. x>4x > 4
  4. x<5x < 5
Show the answer and the solution

Answer: A x<4x < 4

Worked solution:

5−x>0⇒x<55 - x > 0 \Rightarrow x < 5

תחום ההגדרה

ln⁡(5−x)>0  ⟺  5−x>1  ⟺  x<4\ln(5 - x) > 0 \iff 5 - x > 1 \iff x < 4

ln⁡u>0\ln u > 0 בדיוק כאשר u>1u > 1

x<4x < 4. התשובה x<5x < 5 היא תחום ההגדרה, ולא התחום שבו הפונקציה חיובית.

Check the answer on elev

Exercise 10

xyfgx = 0

בסרטוט הגרפים של f(x)=ln⁡(x2)f(x) = \ln\left(x^2\right) ושל g(x)=2ln⁡xg(x) = 2\ln x. הטענה: לשתי הפונקציות יש אותו גרף, כי ln⁡(x2)=2ln⁡x\ln\left(x^2\right) = 2\ln x.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

x2>0  ⟺  x≠0x^2 > 0 \iff x \ne 0

תחום ההגדרה של ff: כל xx חוץ מ-00

x>0x > 0

תחום ההגדרה של gg: רק xx חיובי

ln⁡(x2)=2ln⁡∣x∣\ln\left(x^2\right) = 2\ln|x|

הכלל הנכון, עם ערך מוחלט

לא נכון. עבור x>0x > 0 הגרפים מתלכדים, אבל ל-ff יש גם ענף משמאל לציר ה-yy. הכלל ln⁡(a2)=2ln⁡a\ln\left(a^2\right) = 2\ln a נכון רק עבור a>0a > 0.

Check the answer on elev

Exercise 11

התאימו לכל פונקציה את האסימפטוטה האנכית שלה.

  • f(x)=ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x - 1)
  • f(x)=ln⁡(x+2)f(x) = \ln(x + 2)
  • f(x)=ln⁡(3−x)f(x) = \ln(3 - x)
  • f(x)=ln⁡(2x)f(x) = \ln(2x)
  • x=−2x = -2
  • x=0x = 0
  • x=1x = 1
  • x=3x = 3
Show the answer and the solution

Answer: f(x)=ln⁡(x−1)f(x) = \ln(x - 1) — x=1x = 1 · f(x)=ln⁡(x+2)f(x) = \ln(x + 2) — x=−2x = -2 · f(x)=ln⁡(3−x)f(x) = \ln(3 - x) — x=3x = 3 · f(x)=ln⁡(2x)f(x) = \ln(2x) — x=0x = 0

Worked solution:

x−1=0⇒x=1\begin{aligned}x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בכל פונקציה: הקיר איפה שהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln מתאפס

3−x=0⇒x=3\begin{aligned}3 - x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

הקיר של ln⁡(3−x)\ln(3-x) הוא 33, והגרף משמאל לו

2x=0⇒x=0\begin{aligned}2x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המקדם 22 לא מזיז את הקיר

את הקיר מוצאים מהביטוי שבתוך ה-ln⁡\ln, ולא מהנקודה שבה הגרף חותך את ציר ה-xx.

Check the answer on elev

Exercise 12

−4−3−2−11234−11xyf'y = 0

בסרטוט הגרף של f′(x)=2xx2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, הנגזרת של f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right). ל-ff יש נקודת פיתול שבה x>0x > 0. מהו שיעור ה-xx שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′′(x)=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2(1−x2)(x2+1)2\begin{aligned}f''(x) &= \frac{2\left(x^2+1\right) - 2x \cdot 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\ &= \frac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\end{aligned}

כלל המנה

f′′(x)=0⇒x=±1\begin{aligned}f''(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 1\end{aligned}

המכנה חיובי

x>0⇒x=1x > 0 \Rightarrow x = 1

זו הנקודה הכי גבוהה של הגרף של f′f'

x=1x = 1. נקודת פיתול של ff היא קיצון של f′f': בסרטוט, הנקודה הכי גבוהה של הגרף.

Check the answer on elev

Exercise 13

xyy = 0x = 0

בסרטוט הגרף של f(x)=ln⁡xxf(x) = \frac{\ln x}{x}. ערך המקסימום שלה הוא 1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368. כמה פתרונות יש למשוואה ln⁡xx=0.2\frac{\ln x}{x} = 0.2?

  1. 00
  2. 22
  3. 11
  4. 33
Show the answer and the solution

Answer: B 22

Worked solution:

0<0.2<1e0 < 0.2 < \frac{1}{e}

הישר y=0.2y = 0.2 נמצא בין ציר ה-xx לבין המקסימום

1<x<e ; x>e1 < x < e \ ; \ x > e

הישר חותך את הגרף פעם אחת בעלייה ופעם אחת בירידה

שני פתרונות. מימין הגרף יורד אל 00 אבל לא מגיע אליו, ולכן הוא חוצה את y=0.2y = 0.2 בדרך.

Check the answer on elev

Exercise 14

121xy

בסרטוט הגרף של f(x)=xln⁡xf(x) = x\ln x. לפונקציה יש נקודת מינימום. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: -0.368

Worked solution:

f′(x)=ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1\begin{aligned}f'(x) &= \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \\ &= \ln x + 1\end{aligned}

כלל המכפלה

f′(x)=0⇒ln⁡x=−1⇒x=1e\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= \frac{1}{e}\end{aligned}
f(1e)=1e⋅(−1)=−1e≈−0.368\begin{aligned}f\left(\frac{1}{e}\right) &= \frac{1}{e} \cdot (-1) \\ &= -\frac{1}{e} \approx -0.368\end{aligned}

מציבים בפונקציה, ולא בנגזרת

−1e≈−0.368-\frac{1}{e} \approx -0.368. שיעור ה-xx הוא 1e≈0.368\frac{1}{e} \approx 0.368: אותו מספר בלי הסימן, ולכן קל להתבלבל ביניהם.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade