Integrals that give ln, and areas

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בפרק על הפונקציה המעריכית ראיתם אינטגרלים כמו ∫exex+3 dx\int \frac{e^x}{e^x + 3}\,dx, שהתשובה שלהם היא ln⁡\ln. כאן נראה את הכלל הכללי שמאחוריהם, ונחשב שטחים מתחת לגרפים כמו y=1xy = \frac{1}{x}.

השטח מתחת ל-1x\frac{1}{x}

∫1b1x dx=ln⁡b\int_1^b \frac{1}{x}\,dx = \ln b

השטח מתחת ל-1x\frac{1}{x}, בין 11 ל-bb, הוא ln⁡b\ln b.

בין x=1x = 1 ל-x=bx = b השטח מתחת ל-y=1xy = \frac{1}{x} שווה בדיוק ל-11. מהו bb?

Show the answer and the solution

ln⁡b=1\ln b = 1, ולכן b=e≈2.718b = e \approx 2.718. זו דרך נוספת להכיר את המספר ee: הגבול שבו השטח מתחת ל-1x\frac{1}{x} מגיע ל-11.

∫1x dx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C

הפונקציה הקדומה של 1x\frac{1}{x}, עם ערך מוחלט.

למה ערך מוחלט? 1x\frac{1}{x} מוגדרת גם עבור x<0x < 0. שם ln⁡x\ln x לא מוגדר, אבל (ln⁡(−x))′=−1−x=1x\left(\ln(-x)\right)' = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}.

מונה שהוא הנגזרת של המכנה

לפי כלל השרשרת, (ln⁡f(x))′=f′(x)f(x)\left(\ln f(x)\right)' = \frac{f'(x)}{f(x)}. אם קוראים את השוויון הזה מימין לשמאל, מקבלים כלל לאינטגרל.

∫f′(x)f(x) dx=ln⁡∣f(x)∣+C\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C

כאשר המונה הוא הנגזרת של המכנה.

חשבו ∫2xx2+5 dx\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx

בודקים קודם: מהי הנגזרת של המכנה?

(x2+5)′=2x\left(x^2 + 5\right)' = 2x

המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה.

∫2xx2+5 dx=ln⁡(x2+5)+C\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx = \ln\left(x^2 + 5\right) + C

אין צורך בערך מוחלט: x2+5>0x^2 + 5 > 0 תמיד.

חשבו ∫xx2+1 dx\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx

כאן המונה הוא רק חצי מהנגזרת של המכנה.

(x2+1)′=2x\left(x^2 + 1\right)' = 2x

הנגזרת של המכנה היא 2x2x, והמונה הוא xx.

xx2+1=12⋅2xx2+1\frac{x}{x^2+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1}

מוציאים את המקדם 12\frac{1}{2} החוצה.

∫xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)+C\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C

בדיקה: גוזרים, ומקבלים 12⋅2xx2+1=xx2+1\frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \frac{x}{x^2+1}.

חשבו ∫ln⁡xx dx\int \frac{\ln x}{x}\,dx. רמז: מהי הנגזרת של ln⁡x\ln x?

Show the answer and the solution

הנגזרת של ln⁡x\ln x היא 1x\frac{1}{x}, ולכן הביטוי הוא ln⁡x\ln x כפול הנגזרת שלו. התשובה היא (ln⁡x)22+C\frac{(\ln x)^2}{2} + C. זה לא מקרה של מונה שהוא נגזרת המכנה: אין כאן מכנה שהוא פונקציה של xx חוץ מ-xx עצמו.

שטחים

השטח בין הגרף של y=2xx2+1y = \frac{2x}{x^2 + 1}, ציר ה-xx, והישר x=2x = 2

עבור x≥0x \ge 0 הגרף מעל ציר ה-xx, והוא חותך אותו ב-x=0x = 0.

S=∫022xx2+1 dxS = \int_0^2 \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx

הגבולות: מנקודת החיתוך עם הציר עד הישר.

=[ln⁡(x2+1)]02=ln⁡5−ln⁡1= \left[\ln\left(x^2 + 1\right)\right]_0^2 = \ln 5 - \ln 1

המונה הוא הנגזרת של המכנה.

=ln⁡5≈1.609= \ln 5 \approx 1.609

ln⁡1=0\ln 1 = 0.

שתי טעויות שחוזרות בבחינות.

∫12x+1 dx=ln⁡∣2x+1∣+C\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \ln|2x+1| + C
∫12x+1 dx=12ln⁡∣2x+1∣+C\int \frac{1}{2x+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln|2x+1| + C

הנגזרת של 2x+12x + 1 היא 22, והמונה הוא 11. חסר המקדם 12\frac{1}{2}.

∫1x2 dx=ln⁡(x2)+C\int \frac{1}{x^2}\,dx = \ln\left(x^2\right) + C
∫1x2 dx=−1x+C\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C

הכלל של ln⁡\ln דורש שהמונה יהיה הנגזרת של המכנה. כאן המונה 11, והנגזרת של x2x^2 היא 2x2x. משתמשים בכלל החזקה.

בודקים בגזירה. אחרי כל אינטגרל, גוזרים את התשובה. אם מקבלים את הביטוי שבתוך האינטגרל, התשובה נכונה.

Exercises

Exercise 1

חשבו ∫1e21x dx\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

∫1e21x dx=[ln⁡x]1e2\int_1^{e^2} \frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_1^{e^2}

הפונקציה הקדומה של 1x\frac{1}{x}

ln⁡e2−ln⁡1=2−0=2\begin{aligned}\ln e^2 - \ln 1 &= 2 - 0 \\ &= 2\end{aligned}

ln⁡e2=2\ln e^2 = 2

22. התשובה e2−1e^2 - 1 מתקבלת ממי שמחסר את הגבולות בלי להפעיל את ln⁡\ln.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהי פונקציה קדומה של f(x)=2xx2+3f(x) = \frac{2x}{x^2 + 3}?

  1. ln⁡(x2+3)+C\ln\left(x^2 + 3\right) + C
  2. 2ln⁡(x2+3)+C2\ln\left(x^2 + 3\right) + C
  3. 1x2+3+C\frac{1}{x^2 + 3} + C
  4. ln⁡(2x)+C\ln(2x) + C
Show the answer and the solution

Answer: A ln⁡(x2+3)+C\ln\left(x^2 + 3\right) + C

Worked solution:

(x2+3)′=2x\left(x^2 + 3\right)' = 2x

המונה הוא הנגזרת של המכנה

(ln⁡(x2+3))′=2xx2+3\left(\ln\left(x^2+3\right)\right)' = \frac{2x}{x^2+3}

בדיקה בגזירה

ln⁡(x2+3)+C\ln\left(x^2 + 3\right) + C. ה-22 שבמונה כבר "נבלע" בנגזרת של המכנה: מי שמוסיף 22 לפני ה-ln⁡\ln סופר אותו פעמיים.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהי פונקציה קדומה של f(x)=12x−1f(x) = \frac{1}{2x - 1}, עבור x>12x > \frac{1}{2}?

  1. ln⁡(2x−1)+C\ln(2x - 1) + C
  2. 12ln⁡(2x−1)+C\frac{1}{2}\ln(2x - 1) + C
  3. −1(2x−1)2+C-\frac{1}{(2x-1)^2} + C
  4. 2ln⁡(2x−1)+C2\ln(2x - 1) + C
Show the answer and the solution

Answer: B 12ln⁡(2x−1)+C\frac{1}{2}\ln(2x - 1) + C

Worked solution:

(2x−1)′=2(2x - 1)' = 2

הנגזרת של המכנה היא 22, והמונה הוא 11

12x−1=12⋅22x−1\frac{1}{2x-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x-1}

מוציאים 12\frac{1}{2}

(12ln⁡(2x−1))′=12⋅22x−1=12x−1\begin{aligned}\left(\frac{1}{2}\ln(2x-1)\right)' &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x-1} \\ &= \frac{1}{2x-1}\end{aligned}

בדיקה בגזירה

12ln⁡(2x−1)+C\frac{1}{2}\ln(2x - 1) + C. בלי 12\frac{1}{2} הנגזרת יוצאת גדולה פי 22.

Check the answer on elev

Exercise 4

חשבו ∫02xx2+1 dx\int_0^2 \frac{x}{x^2 + 1}\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.805

Worked solution:

∫xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)\int \frac{x}{x^2+1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)

המונה הוא חצי מהנגזרת של המכנה

12ln⁡5−12ln⁡1=12ln⁡5≈0.805\frac{1}{2}\ln 5 - \frac{1}{2}\ln 1 = \frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805

מציבים את הגבולות

12ln⁡5≈0.805\frac{1}{2}\ln 5 \approx 0.805. מי ששוכח את 12\frac{1}{2} מקבל ln⁡5≈1.609\ln 5 \approx 1.609, פי 22 מהתשובה.

Check the answer on elev

Exercise 5

חשבו ∫1eln⁡xx dx\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx.

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

((ln⁡x)22)′=2ln⁡x2⋅1x=ln⁡xx\begin{aligned}\left(\frac{(\ln x)^2}{2}\right)' &= \frac{2\ln x}{2} \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{\ln x}{x}\end{aligned}

פונקציה קדומה, ובדיקה בגזירה

(ln⁡e)22−(ln⁡1)22=12−0\frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{1}{2} - 0

מציבים את הגבולות

12\frac{1}{2}. זה לא מקרה של ln⁡\ln של המכנה: ln⁡x\ln x כפול הנגזרת שלו נותן חצי הריבוע של ln⁡x\ln x.

Check the answer on elev

Exercise 6

השטח שבין הגרף של y=1xy = \frac{1}{x}, ציר ה-xx, והישרים x=1x = 1 ו-x=ax = a (כאשר a>1a > 1) הוא 33. מצאו את aa. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 20.086

Worked solution:

∫1a1x dx=ln⁡a\int_1^a \frac{1}{x}\,dx = \ln a

השטח מתחת ל-1x\frac{1}{x}

ln⁡a=3⇒a=e3≈20.086\begin{aligned}\ln a &= 3 \Rightarrow a \\ &= e^3 \approx 20.086\end{aligned}

הפעולה ההפוכה של ln⁡\ln היא ee בחזקת

a=e3≈20.086a = e^3 \approx 20.086. התשובה a=3a = 3 מבלבלת בין השטח לבין הגבול.

Check the answer on elev

Exercise 7

1234567123xyx = 0(2, 1.5)(6, 0.5)

בסרטוט הגרף של y=3xy = \frac{3}{x}. חשבו את השטח שבין הגרף, ציר ה-xx, והישרים x=2x = 2 ו-x=6x = 6. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 3.296

Worked solution:

S=∫263x dx=3[ln⁡x]26\begin{aligned}S &= \int_2^6 \frac{3}{x}\,dx \\ &= 3\left[\ln x\right]_2^6\end{aligned}

הגרף מעל הציר בתחום

=3(ln⁡6−ln⁡2)=3ln⁡3≈3.296= 3(\ln 6 - \ln 2) = 3\ln 3 \approx 3.296

חוק המנה: ln⁡6−ln⁡2=ln⁡62\ln 6 - \ln 2 = \ln\frac{6}{2}

3ln⁡3≈3.2963\ln 3 \approx 3.296. הטעות הנפוצה: 3ln⁡(6−2)=3ln⁡43\ln(6 - 2) = 3\ln 4. ההפרש של שני ln⁡\ln הוא ln⁡\ln של המנה, לא של ההפרש.

Check the answer on elev

Exercise 8

הטענה: ∫1x2 dx=ln⁡(x2)+C\int \frac{1}{x^2}\,dx = \ln\left(x^2\right) + C.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

(ln⁡(x2))′=2xx2=2x\begin{aligned}\left(\ln\left(x^2\right)\right)' &= \frac{2x}{x^2} \\ &= \frac{2}{x}\end{aligned}

גוזרים את התשובה המוצעת

2x≠1x2\frac{2}{x} \ne \frac{1}{x^2}

לא קיבלנו את הביטוי שבאינטגרל

∫x−2 dx=−x−1+C\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C

כלל החזקה

לא נכון. הכלל של ln⁡\ln דורש שהמונה יהיה הנגזרת של המכנה. התשובה הנכונה היא −1x+C-\frac{1}{x} + C.

Check the answer on elev

Exercise 9

התאימו לכל פונקציה את הפונקציה הקדומה שלה (בלי +C+C).

  • 1x+4\frac{1}{x + 4}
  • 2xx2+4\frac{2x}{x^2 + 4}
  • 14x\frac{1}{4x}
  • 2x+4x2+4x+5\frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 5}
  • 14ln⁡∣x∣\frac{1}{4}\ln|x|
  • ln⁡(x2+4)\ln\left(x^2 + 4\right)
  • ln⁡(x2+4x+5)\ln\left(x^2 + 4x + 5\right)
  • ln⁡∣x+4∣\ln|x + 4|
Show the answer and the solution

Answer: 1x+4\frac{1}{x + 4} — ln⁡∣x+4∣\ln|x + 4| · 2xx2+4\frac{2x}{x^2 + 4} — ln⁡(x2+4)\ln\left(x^2 + 4\right) · 14x\frac{1}{4x} — 14ln⁡∣x∣\frac{1}{4}\ln|x| · 2x+4x2+4x+5\frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 5} — ln⁡(x2+4x+5)\ln\left(x^2 + 4x + 5\right)

Worked solution:

(x+4)′=1(x + 4)' = 1

המונה 11 הוא הנגזרת

14x=14⋅1x\frac{1}{4x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x}

מקדם קבוע יוצא החוצה

(x2+4x+5)′=2x+4\left(x^2 + 4x + 5\right)' = 2x + 4

שוב המונה הוא הנגזרת של המכנה

בכל מקרה גוזרים את המכנה ומשווים למונה. 14x\frac{1}{4x} איננו ln⁡∣4x∣\ln|4x| בלבד: (ln⁡∣4x∣)′=1x\left(\ln|4x|\right)' = \frac{1}{x}, פי 44 יותר מדי.

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו ∫352x−2x2−2x dx\int_3^5 \frac{2x - 2}{x^2 - 2x}\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.609

Worked solution:

(x2−2x)′=2x−2\left(x^2 - 2x\right)' = 2x - 2

המונה הוא הנגזרת של המכנה

[ln⁡∣x2−2x∣]35=ln⁡15−ln⁡3\left[\ln\left|x^2 - 2x\right|\right]_3^5 = \ln 15 - \ln 3

בתחום 3≤x≤53 \le x \le 5 המכנה חיובי

=ln⁡5≈1.609= \ln 5 \approx 1.609

חוק המנה

ln⁡5≈1.609\ln 5 \approx 1.609. שימו לב לגבולות: בין 00 ל-22 המכנה מתאפס, ולכן אי אפשר היה לבחור שם.

Check the answer on elev

Exercise 11

1234512345xyfgx = 0(1, 4)(4, 1)

בסרטוט הגרפים של y=4xy = \frac{4}{x} ושל y=5−xy = 5 - x. הם נחתכים בנקודות שבהן x=1x = 1 ו-x=4x = 4. חשבו את השטח הכלוא ביניהם. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.955

Worked solution:

4x=5−x⇒x2−5x+4=0⇒x=1 x=4\begin{aligned}\frac{4}{x} &= 5 - x \Rightarrow x^2 - 5x + 4 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

נקודות החיתוך

S=∫14(5−x−4x)dxS = \int_1^4 \left(5 - x - \frac{4}{x}\right)dx

בין 11 ל-44 הישר מעל ההיפרבולה

=[5x−x22−4ln⁡x]14=7.5−4ln⁡4= \left[5x - \frac{x^2}{2} - 4\ln x\right]_1^4 = 7.5 - 4\ln 4
=7.5−8ln⁡2≈1.955= 7.5 - 8\ln 2 \approx 1.955

7.5−8ln⁡2≈1.9557.5 - 8\ln 2 \approx 1.955. מחסירים את הגרף התחתון מהעליון. בסדר הפוך יוצא מספר שלילי.

Check the answer on elev

Exercise 12

הפונקציה FF היא פונקציה קדומה של f(x)=2xx2+1f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, והגרף שלה עובר בנקודה (0,3)(0, 3). חשבו את F(2)F(2). עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 4.609

Worked solution:

F(x)=ln⁡(x2+1)+CF(x) = \ln\left(x^2 + 1\right) + C

המונה הוא הנגזרת של המכנה

F(0)=ln⁡1+C=C=3\begin{aligned}F(0) &= \ln 1 + C \\ &= C \\ &= 3\end{aligned}

מציבים את הנקודה

F(2)=ln⁡5+3≈4.609F(2) = \ln 5 + 3 \approx 4.609

ln⁡5+3≈4.609\ln 5 + 3 \approx 4.609. בלי הנקודה הנתונה יש אינסוף פונקציות קדומות. מוצאים את CC לפני שמציבים x=2x = 2.

Check the answer on elev

Exercise 13

סדרו את שלבי החישוב של ∫012x+1x2+x+1 dx\int_0^1 \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}\,dx.

  • (x2+x+1)′=2x+1\left(x^2 + x + 1\right)' = 2x + 1: המונה הוא הנגזרת של המכנה
  • התוצאה: ln⁡3≈1.099\ln 3 \approx 1.099
  • מציבים את הגבולות: ln⁡3−ln⁡1\ln 3 - \ln 1
  • פונקציה קדומה: ln⁡(x2+x+1)\ln\left(x^2 + x + 1\right), בלי ערך מוחלט כי המכנה חיובי
Show the answer and the solution

Answer: (x2+x+1)′=2x+1\left(x^2 + x + 1\right)' = 2x + 1: המונה הוא הנגזרת של המכנה · פונקציה קדומה: ln⁡(x2+x+1)\ln\left(x^2 + x + 1\right), בלי ערך מוחלט כי המכנה חיובי · מציבים את הגבולות: ln⁡3−ln⁡1\ln 3 - \ln 1 · התוצאה: ln⁡3≈1.099\ln 3 \approx 1.099

Worked solution:

[ln⁡(x2+x+1)]01=ln⁡3\left[\ln\left(x^2+x+1\right)\right]_0^1 = \ln 3

בודקים את המונה, מוצאים קדומה, מציבים

בודקים קודם שהמונה הוא הנגזרת של המכנה. בלי הבדיקה הזאת, ה-ln⁡\ln הוא ניחוש.

Check the answer on elev

Exercise 14

הפונקציה ln⁡∣x∣\ln|x| היא פונקציה קדומה של 1x\frac{1}{x}. באיזה תחום?

  1. רק עבור x<0x < 0
  2. עבור x>0x > 0, וגם עבור x<0x < 0
  3. רק עבור x>0x > 0
  4. לכל xx
Show the answer and the solution

Answer: B עבור x>0x > 0, וגם עבור x<0x < 0

Worked solution:

x>0:(ln⁡x)′=1xx > 0 : \left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}
x<0:(ln⁡(−x))′=−1−x=1x\begin{aligned}x < 0 : \left(\ln(-x)\right)' &= \frac{-1}{-x} \\ &= \frac{1}{x}\end{aligned}

כלל השרשרת

x=0x = 0

ב-x=0x = 0 שתי הפונקציות לא מוגדרות

בכל אחד משני התחומים בנפרד. "לכל xx" שגוי, כי 1x\frac{1}{x} ו-ln⁡∣x∣\ln|x| לא מוגדרות ב-x=0x = 0.

Check the answer on elev

Exercise 15

חשבו ∫−3−11x dx\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: -1.099

Worked solution:

[ln⁡∣x∣]−3−1=ln⁡1−ln⁡3\left[\ln|x|\right]_{-3}^{-1} = \ln 1 - \ln 3

הערך המוחלט מאפשר להציב מספרים שליליים

=−ln⁡3≈−1.099= -\ln 3 \approx -1.099

−ln⁡3≈−1.099-\ln 3 \approx -1.099. התוצאה שלילית, כי בתחום הזה הגרף של 1x\frac{1}{x} מתחת לציר ה-xx. השטח עצמו הוא ln⁡3\ln 3.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade