Question 3 in exam format · The ln function and its study · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 3 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x + a}{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. א. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x = 1$ . מצאו את $a$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\ln x + a) \cdot 1}{x^2} \\ &= \frac{1 - \ln x - a}{x^2}\end{aligned}

כלל המנה

\begin{aligned}f'(1) &= 0 \Rightarrow 1 - 0 - a \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 1\end{aligned}

$\ln 1 = 0$

$a = 1$ . בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: מציבים את $x = 1$ בנגזרת, לא בפונקציה. הצבה בפונקציה נותנת $f(1) = a$ , ואי אפשר למצוא מזה את $a$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x + a}{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x = 1$ , ולכן $a = 1$ , כלומר $f(x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ . ב. מהו תחום ההגדרה של $f$ ?

$x > \frac{1}{e}$
$x > 0$
כל $x$
$x \ne 0$

Show the answer and the solution

Answer: B $x > 0$

Worked solution:

\ln x : \ x > 0

x \ne 0

המכנה כבר מכוסה: $x > 0$ אומר גם $x \ne 0$

תחום ההגדרה הוא $x > 0$ . התשובה $x > \frac{1}{e}$ מבלבלת בין המקום שבו $f$ חיובית לבין המקום שבו היא מוגדרת.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x + a}{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x = 1$ , ולכן $a = 1$ , כלומר $f(x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ . ג. מצאו את האסימפטוטות של גרף הפונקציה המאונכות לצירים.

$x = 0$ בלבד
$x = 0$ ו- $y = 1$
$y = 0$ בלבד
$x = 0$ ו- $y = 0$

Show the answer and the solution

Answer: D $x = 0$ ו- $y = 0$

Worked solution:

x \to 0^+ : \ \ln x + 1 \to -\infty \ , \ x \to 0^+ \Rightarrow f \to -\infty

מונה שלילי גדול חלקי מספר חיובי קטן

x \to +\infty : \ \frac{\ln x}{x} \to 0 \ , \ \frac{1}{x} \to 0 \Rightarrow f \to 0

$x$ גדל מהר יותר מ- $\ln x$

שתי אסימפטוטות: $x = 0$ (הגרף יורד ל- $-\infty$ ) ו- $y = 0$ כאשר $x \to +\infty$ . התשובה $y = 1$ מתבלבלת עם ערך המקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x + a}{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x = 1$ , ולכן $a = 1$ , כלומר $f(x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ . ד. מצאו את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $x$ . מהו שיעור ה- $x$ שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.368

Worked solution:

\begin{aligned}\ln x + 1 &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= -1\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

\begin{aligned}x &= e^{-1} \\ &= \frac{1}{e} \approx 0.368\end{aligned}

הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $\left(\frac{1}{e}, 0\right)$ . עם ציר ה- $y$ אין חיתוך: $x = 0$ לא בתחום.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x + a}{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x = 1$ , ולכן $a = 1$ , כלומר $f(x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ . ה. מהו סוג נקודת הקיצון שבה $x = 1$ ?

נקודת פיתול
מקסימום
מינימום
אין שם נקודת קיצון

Show the answer and the solution

Answer: B מקסימום

Worked solution:

f'(x) = \frac{-\ln x}{x^2}

מציבים $a = 1$ בנגזרת של סעיף א

0 < x < 1 : \ln x < 0 \Rightarrow f' > 0 \ ; \ x > 1 : f' < 0

מעלייה לירידה

מקסימום. המינוס שלפני $\ln x$ הופך את הסימן: כאשר $x < 1$ , $\ln x$ שלילי, ולכן $f'$ חיובית.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x + a}{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x = 1$ , ולכן $a = 1$ , כלומר $f(x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ . ה. מהו שיעור ה- $y$ של נקודת הקיצון?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}f(1) &= \frac{\ln 1 + 1}{1} \\ &= 1\end{aligned}

נקודת המקסימום היא $(1, 1)$ . זה גם הערך הגדול ביותר של $f$ בכל התחום.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x + a}{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x = 1$ , ולכן $a = 1$ , כלומר $f(x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ . ו. הנגזרת השנייה היא $f''(x) = \frac{2\ln x - 1}{x^3}$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת הפיתול. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.649

Worked solution:

\begin{aligned}2\ln x - 1 &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

\begin{aligned}x &= e^{\frac{1}{2}} \\ &= \sqrt{e} \approx 1.649\end{aligned}

x < \sqrt{e} : f'' < 0 \ ; \ x > \sqrt{e} : f'' > 0

הסימן מתחלף: זו נקודת פיתול

נקודת הפיתול נמצאת כאשר $x = \sqrt{e}$ . טעות נפוצה: לכתוב $x = \frac{1}{2}$ , כלומר לשכוח לחזור מ- $\ln x$ אל $x$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x + a}{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x = 1$ , ולכן $a = 1$ , כלומר $f(x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ . ז. טענה: כאשר $x > \sqrt{e}$ יש לגרף קעירות כלפי מעלה. האם הטענה נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

x > \sqrt{e} \Rightarrow 2\ln x - 1 > 0 \ , \ x^3 > 0

f''(x) > 0

קעירות כלפי מעלה

הטענה נכונה. הגרף יורד אחרי המקסימום, ובכל זאת יש לו קעירות כלפי מעלה מימין לנקודת הפיתול: הוא יורד ומתיישר לאט לכיוון האסימפטוטה $y = 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x + a}{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x = 1$ , ולכן $a = 1$ , כלומר $f(x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ . ח. כמה פתרונות יש למשוואה $f(x) = \frac{1}{2}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

0 < x < 1 : \ f \nearrow \ , \ -\infty \to 1

הגרף עולה וחוצה את $y = \frac{1}{2}$ פעם אחת

x > 1 : \ f \searrow \ , \ 1 \to 0^+

הגרף יורד מ- $1$ לכיוון $0$ , ועובר שוב ב- $\frac{1}{2}$

שני פתרונות, אחד מכל צד של המקסימום. הסיבה: $0 < \frac{1}{2} < 1$ . עבור $k \ge 1$ או $k \le 0$ התמונה שונה (סעיף ט).

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{\ln x + a}{x}$ , כאשר $a$ פרמטר. ידוע שלפונקציה יש נקודת קיצון כאשר $x = 1$ , ולכן $a = 1$ , כלומר $f(x) = \frac{\ln x + 1}{x}$ . ט. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x) = k$ פתרון אחד בדיוק?

$k = 1$ בלבד
$k \le 0$ או $k = 1$
$k > 1$
$0 < k < 1$

Show the answer and the solution

Answer: B $k \le 0$ או $k = 1$

Worked solution:

k = 1

הישר נוגע במקסימום: פתרון אחד

k \le 0

משמאל הגרף עובר דרך כל הערכים עד $1$ ; מימין הוא נשאר חיובי ולא מגיע ל- $k$

0 < k < 1 : \ 2 \ ; \ k > 1 : \ 0

$k \le 0$ או $k = 1$ . רבים שוכחים את $k \le 0$ : האסימפטוטה $y = 0$ מימין אומרת שהגרף לא מגיע ל- $0$ בצד הזה, ולכן ל- $k = 0$ יש רק הפתרון $x = \frac{1}{e}$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev