Question 4 in exam format

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 4 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

  1. x≥1x \ge 1
  2. x≠0x \ne 0
  3. כל xx
  4. x>0x > 0
Show the answer and the solution

Answer: D x>0x > 0

Worked solution:

ln⁡x: x>0\ln x : \ x > 0

הריבוע לא מרחיב את התחום

תחום ההגדרה הוא x>0x > 0. הריבוע מבטיח ש-ff לא שלילית, אבל לא עוזר ל-ln⁡\ln להיות מוגדר: קודם צריך ln⁡x\ln x, ורק אחר כך מעלים בריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ב. מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה. מהו שיעור ה-xx שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f′(x)=2ln⁡x⋅1x=2ln⁡xx\begin{aligned}f'(x) &= 2\ln x \cdot \frac{1}{x} \\ &= \frac{2\ln x}{x}\end{aligned}

כלל השרשרת: נגזרת של ריבוע, כפול הנגזרת של מה שבפנים

f′(x)=0⇒ln⁡x=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow \ln x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}
0<x<1:f′<0 ; x>1:f′>00 < x < 1 : f' < 0 \ ; \ x > 1 : f' > 0

מינימום, f(1)=0f(1) = 0

מינימום ב-(1,0)(1, 0). טעות נפוצה: לגזור (ln⁡x)2(\ln x)^2 כאילו היה ln⁡(x2)\ln\left(x^2\right) ולקבל 2x\frac{2}{x}, שלא מתאפסת אף פעם.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ג. טענה: f(x)≥0f(x) \ge 0 בכל תחום ההגדרה, ולכן נקודת הקיצון שמצאתם היא המינימום של ff בכל התחום. האם הטענה נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(ln⁡x)2≥0(\ln x)^2 \ge 0

ריבוע אינו שלילי

f(1)=0f(1) = 0

והערך 00 מתקבל

הטענה נכונה. ריבוע לא שלילי, והוא מגיע ל-00 רק כאשר ln⁡x=0\ln x = 0. זו הוכחה בלי נגזרת: לפעמים התבנית של הפונקציה אומרת הכול.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ד. הנגזרת השנייה היא f′′(x)=2(1−ln⁡x)x2f''(x) = \frac{2(1 - \ln x)}{x^2}. מהו שיעור ה-xx של נקודת הפיתול של ff? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 2.718

Worked solution:

1−ln⁡x=0⇒x=e≈2.718\begin{aligned}1 - \ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= e \approx 2.718\end{aligned}
x<e:f′′>0 ; x>e:f′′<0x < e : f'' > 0 \ ; \ x > e : f'' < 0

הסימן מתחלף: נקודת פיתול (e,1)(e, 1)

נקודת הפיתול היא (e,1)(e, 1): משמאל לה קעירות כלפי מעלה, ומימין לה קעירות כלפי מטה. הגרף עדיין עולה אחריה, אבל לאט יותר ויותר.

Check the answer on elev

Exercise 5

xyx = 0I
xyx = 0II
xyx = 0III
xyx = 0IV

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ה. איזה מבין הגרפים מתאר את הפונקציה ff?

  1. גרף IV
  2. גרף III
  3. גרף I
  4. גרף II
Show the answer and the solution

Answer: A גרף IV

Worked solution:

f≥0f \ge 0

גרפים I ו-III יורדים מתחת לציר ה-xx: נפסלים

f(1)=0f(1) = 0

בגרף II המינימום מתחת לציר: נפסל

גרף IV. שתי תכונות הספיקו: ff לא שלילית, והמינימום שלה על ציר ה-xx, ב-(1,0)(1, 0).

Check the answer on elev

Exercise 6

xyy = 0x = 0I
xyy = 0x = 0II
xyy = 0x = 0III
xyy = 0x = 0IV

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ו. איזה מבין הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′f'?

  1. גרף II
  2. גרף III
  3. גרף I
  4. גרף IV
Show the answer and the solution

Answer: A גרף II

Worked solution:

f′(1)=0f'(1) = 0

הנגזרת מתאפסת במינימום של ff: גרף I לא חותך את הציר, נפסל

0<x<1:f′<0 ; x>1:f′>00 < x < 1 : f' < 0 \ ; \ x > 1 : f' > 0

ff יורדת ואז עולה: בגרף IV הסימנים הפוכים, נפסל

f′(x)=0⇒x=1\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

בגרף III האפס נמצא ב-x=ex = e ולא ב-x=1x = 1: זה הגרף של f′′f''

גרף II. הקשר בין הגרפים: איפה ש-ff יורדת, f′f' מתחת לציר; איפה ש-ff עולה, f′f' מעליו; ובמינימום של ff, f′f' חותכת את הציר.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ז. לגרף של הנגזרת f′f' יש נקודת מקסימום. מהו שיעור ה-yy שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.736

Worked solution:

(f′)′=f′′=0⇒x=e\begin{aligned}(f')' &= f'' \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}

המקסימום של f′f' נמצא איפה ש-f′′f'' מחליפה סימן מחיובי לשלילי

f′(e)=2ln⁡ee=2e≈0.736\begin{aligned}f'(e) &= \frac{2\ln e}{e} \\ &= \frac{2}{e} \approx 0.736\end{aligned}

המקסימום של f′f' הוא (e,2e)\left(e, \frac{2}{e}\right), באותו xx של נקודת הפיתול של ff. שם ff עולה הכי מהר.

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ח. טענה: לגרף של הנגזרת f′f' יש אסימפטוטה אופקית y=0y = 0 כאשר x→+∞x \to +\infty. האם הטענה נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=2⋅ln⁡xxf'(x) = 2 \cdot \frac{\ln x}{x}
x→+∞: ln⁡xx→0x \to +\infty : \ \frac{\ln x}{x} \to 0

xx גדל מהר יותר מ-ln⁡x\ln x

הטענה נכונה. ff עצמה עולה בלי גבול, אבל השיפוע שלה הולך וקטן לכיוון 00. אסימפטוטה של f′f' לא אומרת שיש אסימפטוטה ל-ff.

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. ט. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=ex = e.

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

1≤x≤e:f′(x)≥01 \le x \le e : f'(x) \ge 0

השטח בין x=1x = 1, שם f′f' חותכת את הציר, לבין x=ex = e

∫1ef′(x) dx=f(e)−f(1)\int_1^e f'(x)\,dx = f(e) - f(1)

ff היא פונקציה קדומה של f′f'

(ln⁡e)2−(ln⁡1)2=1−0=1\begin{aligned}(\ln e)^2 - (\ln 1)^2 &= 1 - 0 \\ &= 1\end{aligned}

השטח הוא 11. אין צורך לחפש פונקציה קדומה ל-2ln⁡xx\frac{2\ln x}{x}: היא כבר נתונה, זו ff. השטח מתחיל ב-x=1x = 1, נקודת החיתוך של f′f' עם הציר, ולא ב-x=0x = 0.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה f(x)=(ln⁡x)2f(x) = (\ln x)^2. י. לנקודה שבה הגרף של f′f' מגיע למקסימום מתאימה, בגרף של ff:

  1. נקודת חיתוך עם ציר ה-xx
  2. נקודת מינימום
  3. נקודת מקסימום
  4. נקודת פיתול
Show the answer and the solution

Answer: D נקודת פיתול

Worked solution:

(f′)′=f′′(f')' = f''

קיצון של f′f' הוא מקום שבו f′′f'' מחליפה סימן

f′′:+→−f'' : + \to -

החלפת סימן של f′′f'' היא נקודת פיתול של ff

נקודת פיתול. קיצון של ff מתאים לחיתוך של f′f' עם ציר ה-xx, וקיצון של f′f' מתאים לנקודת פיתול של ff. מי שמחליף בין השניים טועה בשאלות גרפים רבות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade