Question 5 in exam format · The ln function and its study · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלה 5 בנויה כמו שאלה בבחינה: פונקציה אחת, וסעיפים שבאים זה אחרי זה. כל סעיף חוזר על הנתונים, ולכן אפשר לפתור אותו גם לבד. בכל זאת כדאי לעבוד לפי הסדר: סעיף מאוחר נשען לעתים קרובות על סעיף קודם.

Exercises

Exercise 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

כל $x$
$x \ne 0 \ , \ x \ne 2$
$x > 1$
$x \ne 1$

Show the answer and the solution

Answer: A כל $x$

Worked solution:

x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 \ge 1

המכנה לא מתאפס אף פעם

תחום ההגדרה הוא כל $x$ . התשובה $x \ne 1$ פוסלת את המקום שבו המונה מתאפס, ושם $f$ דווקא מוגדרת ושווה ל- $0$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$ . ב. מצאו את נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $x$ . מהו שיעור ה- $x$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}2x - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $(1, 0)$ . משמאל ל- $x = 1$ הפונקציה שלילית, ומימין לו חיובית, כי המכנה תמיד חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$ . ג. מצאו את האסימפטוטות של גרף הפונקציה המאונכות לצירים.

$x = 1$ ו- $y = 0$
$y = 0$ בלבד, משני הצדדים
אין אסימפטוטות
$y = 2$ בלבד

Show the answer and the solution

Answer: B $y = 0$ בלבד, משני הצדדים

Worked solution:

x \to \pm\infty : \ \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2} \to 0

החזקה במכנה גבוהה מהחזקה במונה

(x-1)^2 + 1 \ne 0

אין אסימפטוטה אנכית

רק $y = 0$ , גם כאשר $x \to +\infty$ וגם כאשר $x \to -\infty$ . אין אסימפטוטה אנכית, כי המכנה לא מתאפס.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$ . ד. הנגזרת היא $f'(x) = \frac{-2x(x - 2)}{\left(x^2 - 2x + 2\right)^2}$ . מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה. מהו שיעור ה- $x$ של נקודת המקסימום?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

x < 0 : f' < 0 \ ; \ 0 < x < 2 : f' > 0 \ ; \ x > 2 : f' < 0

$-2x(x-2)$ חיובי רק בין השורשים

המקסימום כאשר $x = 2$ , והמינימום כאשר $x = 0$ . המינוס לפני ה- $2x$ הופך את הסימן הרגיל של פרבולה: היא חיובית בין השורשים.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$ . ד. לפונקציה יש נקודת מקסימום כאשר $x = 2$ . מהו שיעור ה- $y$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}f(2) &= \frac{4 - 2}{4 - 4 + 2} \\ &= \frac{2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

נקודת המקסימום היא $(2, 1)$ . מציבים בפונקציה, לא בנגזרת.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$ . ד. לפונקציה יש נקודת מינימום כאשר $x = 0$ . מהו שיעור ה- $y$ שלה?

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

\begin{aligned}f(0) &= \frac{-2}{2} \\ &= -1\end{aligned}

נקודת המינימום היא $(0, -1)$ . היא בדיוק מול המקסימום $(2, 1)$ ביחס לנקודה $(1, 0)$ : הגרף סימטרי ביחס לנקודה הזאת.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$ . ה. איזו מבין הפונקציות היא פונקציה קדומה של $f$ ?

$\frac{1}{x^2 - 2x + 2}$
$\ln(2x - 2)$
$2\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)$
$\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)$

Show the answer and the solution

Answer: D $\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)$

Worked solution:

\left(x^2 - 2x + 2\right)' = 2x - 2

המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה

\int \frac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)| + C

g(x) > 0 \Rightarrow \ln|g(x)| = \ln g(x)

אין צורך בערך מוחלט

הפונקציה $\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)$ . בודקים בגזירה: הנגזרת שלה היא $\frac{2x-2}{x^2-2x+2}$ . עם המקדם $2$ הנגזרת הייתה גדולה פי $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$ . ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה- $x$ והישר $x = 3$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.609

Worked solution:

x \ge 1 : f(x) \ge 0

השטח מתחיל בנקודת החיתוך $x = 1$

\int_1^3 f(x)\,dx = \Big[\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)\Big]_1^3

\ln 5 - \ln 1 = \ln 5 \approx 1.609

השטח הוא $\ln 5 \approx 1.609$ . הגבול השמאלי הוא $x = 1$ , נקודת החיתוך עם הציר, כי השטח «מוגבל על ידי ציר ה- $x$ ».

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$ . ז. חשבו את סכום השטחים המוגבלים על ידי גרף הפונקציה, ציר ה- $x$ והישרים $x = -1$ ו- $x = 3$ . עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 3.219

Worked solution:

\begin{aligned}\int_{-1}^{1} f(x)\,dx &= \ln 1 - \ln 5 \\ &= -\ln 5\end{aligned}

בקטע הזה הגרף מתחת לציר: האינטגרל שלילי

\begin{aligned}S &= \ln 5 + \ln 5 \\ &= 2\ln 5 \approx 3.219\end{aligned}

שטח הוא תמיד חיובי: לוקחים ערך מוחלט לכל חלק

סכום השטחים הוא $2\ln 5 \approx 3.219$ . מי שמחשב אינטגרל אחד מ- $-1$ עד $3$ מקבל $0$ (סעיף ח): החלקים מעל הציר ומתחתיו מבטלים זה את זה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x - 2}{x^2 - 2x + 2}$ . ח. טענה: $\int_{-1}^{3} f(x)\,dx = 0$ . האם הטענה נכונה?

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}\Big[\ln\left(x^2 - 2x + 2\right)\Big]_{-1}^{3} &= \ln 5 - \ln 5 \\ &= 0\end{aligned}

$(-1)^2 + 2 + 2 = 5$ וגם $9 - 6 + 2 = 5$

הטענה נכונה, ובכל זאת השטח אינו $0$ . אינטגרל סופר שטח מתחת לציר בסימן מינוס, ולכן שני השטחים השווים מתבטלים.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev