A circle and a parabola · The parabola · Kita יב

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

מעגל ופרבולה $y^2 = 2px$ : מציבים את $y^2$ מהפרבולה במשוואת המעגל. נשארת משוואה ב- $x$ בלבד.

$y^2 = 4x$ והמעגל $x^2 + y^2 = 5$

\begin{aligned}x^2 + 4x &= 5 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ -5\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}x &= -5 : \ y^2 \\ &= -20\end{aligned}

נפסל: על הפרבולה $x \geq 0$

(1,\ 2) \ ; \ (1,\ -2)

כל פתרון של המשוואה ב- $x$ צריך בדיקה.

\begin{aligned}x &= 1 \\ \ -5 \Rightarrow 4 \ \text{נקודות}\end{aligned}

x = -5 \Rightarrow y^2 < 0

בפרבולה $y^2 = 2px$ רק $x \geq 0$ טוב.

מעגל משיק לפרבולה

מעגל שמרכזו על הציר משיק לפרבולה כשהמשוואה ב- $x$ נותנת שורש כפול, חיובי.

מה הרדיוס של המעגל שמרכזו $(3, 0)$ ומשיק ל- $y^2 = 4x$ ?

Show the answer and the solution

$(x - 3)^2 + 4x = R^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 9 - R^2 = 0$ . שורש כפול: $R^2 = 8$ , בנקודות $(1, \pm 2)$ .

המשיקות של מעגל ופרבולה היא גם המרחק הקצר ביותר מהמרכז לפרבולה.

Exercises

Exercise 1

כמה נקודות משותפות יש ל- $y^2 = 4x$ ול- $x^2 + y^2 = 5$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x^2 + 4x - 5 = 0

\begin{aligned}x &= 1 \Rightarrow y \\ &= \pm 2\end{aligned}

$x = -5$ נפסל

$2$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו שיעור ה- $x$ של נקודות החיתוך של $y^2 = 4x$ ו- $x^2 + y^2 = 5$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

x = 1

$1$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

הפתרון $x = -5$ של $x^2 + 4x - 5 = 0$ נותן שתי נקודות חיתוך של $y^2 = 4x$ ו- $x^2 + y^2 = 5$ .

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

y^2 = -20

לא נכון: הוא נפסל.

Check the answer on elev

Exercise 4

המעגל $(x - 3)^2 + y^2 = R^2$ משיק ל- $y^2 = 4x$ . מהו $R^2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

x^2 - 2x + 9 - R^2 = 0

\begin{aligned}\Delta &= 0 \Rightarrow R^2 \\ &= 8\end{aligned}

$8$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו שיעור ה- $x$ של הנקודה על $y^2 = 4x$ הקרובה ביותר ל- $(3, 0)$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}d^2 &= (x - 3)^2 + 4x \\ &= x^2 - 2x + 9\end{aligned}

x = 1 : \text{מינימום}

$1$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

כמה נקודות משותפות יש ל- $y^2 = 4x$ ולמעגל שמרכזו במוקד ועובר בקדקוד?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}(x - 1)^2 + 4x &= 1 \Rightarrow x^2 + 2x \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 0 \ ; \ x \\ &= -2 \ \text{נפסל}\end{aligned}

$1$ : רק הקדקוד.

Check the answer on elev

Exercise 7

מעגל שמרכזו בראשית עובר ב- $(4, 4)$ . מהו $R^2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

16 + 16

$32$ ; והוא חותך את $y^2 = 4x$ רק ב- $(4, \pm 4)$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

חשבו את המרחק בין שתי נקודות החיתוך של $y^2 = 2x$ ו- $x^2 + y^2 = 8$ .

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 + 2x - 8 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

y = \pm 2

$4$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

סדרו את השלבים של מציאת נקודות החיתוך של מעגל ופרבולה $y^2 = 2px$ .

מוצאים את $y$ מהפרבולה
מציבים את $y^2$ במשוואת המעגל
פוסלים $x < 0$
פותרים משוואה ריבועית ב- $x$

Show the answer and the solution

Answer: מציבים את $y^2$ במשוואת המעגל · פותרים משוואה ריבועית ב- $x$ · פוסלים $x < 0$ · מוצאים את $y$ מהפרבולה

Worked solution:

y^2 = 2px

הצבה, פתרון, בדיקה, $y$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

המעגל $(x - a)^2 + y^2 = a^2$ , $a > 0$ , עובר בקדקוד של $y^2 = 4x$ . בעבור אילו $a$ זו הנקודה המשותפת היחידה?

$a = 4$
$0 < a \leq 2$
בעבור כל $a$
$a > 2$

Show the answer and the solution

Answer: B $0 < a \leq 2$

Worked solution:

x^2 + (4 - 2a)x = 0

x = 2a - 4 \leq 0

$0 < a \leq 2$ .

Check the answer on elev

מעגל משיק לפרבולה

Exercises

Keep practising on elev