Basic geometry and trigonometry

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הגאומטריה של 3 יחידות מרוכזת כמעט כולה במשולש ישר הזווית — ושם יש שני כלים.

פיתגורס

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

כאשר cc הוא היתר — הצלע שמול הזווית הישרה, והארוכה ביותר. שני האחרים הם הניצבים.

לזהות את היתר לפני שמציבים: הוא תמיד מול הזווית הישרה. הצבה הפוכה נותנת שורש ממספר שלילי — וזה הסימן שמשהו התחלף.

שלושת היחסים

נסמן: aa — הניצב שמול הזווית α\alpha, bb — הניצב שלידה, ו-cc — היתר.

sin⁡α=ac\sin \alpha = \frac{a}{c}

סינוס — הניצב שמול הזווית, חלקי היתר.

cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}

קוסינוס — הניצב שליד הזווית, חלקי היתר.

tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}

טנגנס — מול חלקי ליד, בלי יתר בכלל.

איזה יחס לבחור? לפי מה שנתון ומה שמבקשים. אם היתר לא מופיע בשאלה — כמעט תמיד טנגנס.

למצוא צלע

במשולש ישר זווית הזווית 30°30° והיתר 10. מהו הניצב שמולה?

sin⁡30°=a10\sin 30° = \frac{a}{10}

הניצב שמול הזווית, חלקי היתר

0.5=a100.5 = \frac{a}{10}

סינוס של 30 הוא חצי

a=5a = 5

כופלים

שטחים

S=a⋅bS = a \cdot b

מלבן.

S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}

משולש — ובישר זווית, מכפלת הניצבים חלקי 2.

S=(a+b)⋅h2S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

טרפז.

S=πr2S = \pi r^2

עיגול.

שתי הטעויות של הפרק.

c2=a2−b2c^2 = a^2 - b^2
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

היתר הוא הסכום. מחסרים רק כשמחפשים ניצב חסר.

מצב מעלות במחשבון\text{מצב מעלות במחשבון}
DEGDEG

מחשבון במצב רדיאנים ייתן תשובות שגויות לגמרי. לבדוק לפני המבחן.

מהו שטח משולש שבסיסו 12 והגובה אליו 7?

Show the answer and the solution

42: 12⋅72\frac{12 \cdot 7}{2}. הגובה חייב להיות זה שנמדד אל אותו בסיס — לא צלע אחרת.

Exercises

Exercise 1

במשולש ישר זווית הניצבים 6 ו-8. מהו היתר?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

36+64=10036 + 64 = 100

פיתגורס

c=10c = 10

שורש

היתר תמיד הארוך ביותר.

Check the answer on elev

Exercise 2

היתר 13 וניצב אחד 5. מהו הניצב השני?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

169−25=144169 - 25 = 144

מחסרים — מחפשים ניצב

b=12b = 12

שורש

מחסרים רק כשמחפשים ניצב חסר.

Check the answer on elev

Exercise 3

זווית 30°30° והיתר 10. מהו הניצב שמול הזווית?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

sin⁡30°=0.5\sin 30° = 0.5

מול חלקי יתר

a=10×0.5=5\begin{aligned}a &= 10 \times 0.5 \\ &= 5\end{aligned}

כופלים

מול ויתר — סינוס.

Check the answer on elev

Exercise 4

בשאלה נתונים שני ניצבים ומבקשים זווית. איזה יחס?

  1. קוסינוס
  2. טנגנס
  3. סינוס
  4. פיתגורס
Show the answer and the solution

Answer: B טנגנס

Worked solution:

tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}

שני ניצבים, בלי יתר

אם היתר לא מופיע בשאלה — כמעט תמיד טנגנס.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו שטח משולש ישר זווית שניצביו 6 ו-8?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24

מכפלת הניצבים חלקי 2

כל ניצב הוא הגובה אל השני.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש ישר-זווית הניצבים 6 ו-8. מצאו את היתר.

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

62+82=100=102\begin{aligned}6^2 + 8^2 &= 100 \\ &= 10^2\end{aligned}

פיתגורס

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו שטח המשולש ישר-הזווית שניצביו 6 ו-8?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24

הניצבים הם בסיס וגובה

במשולש ישר-זווית לא צריך לחפש גובה — הניצבים כבר מאונכים זה לזה.

Check the answer on elev

Exercise 8

משולש ישר-זווית עם צלעות 6, 8, 10:

ההיקף הוא ____.

Show the answer and the solution

Answer: ההיקף הוא 24.

Worked solution:

6+8+10=246 + 8 + 10 = 24

סכום הצלעות

Check the answer on elev

Exercise 9

משולש שצלעותיו 7, 24, 25 הוא ישר-זווית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

72+242=2527^2 + 24^2 = 25^2

המשפט ההפוך

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש ישר-זווית — איזו צלע היא היתר?

  1. כל צלע יכולה להיות
  2. אחת משתי היוצאות מהזווית הישרה
  3. הקצרה ביותר
  4. זו שמול הזווית הישרה
Show the answer and the solution

Answer: D זו שמול הזווית הישרה

Worked solution:

מול 90∘\text{מול } 90^\circ

מול הזווית הגדולה — הצלע הגדולה

והארוכה ביותר

Check the answer on elev

Exercise 11

במשולש ישר זווית היתר 12 ס״מ, והזווית α=50°\alpha = 50°. מהו אורך הניצב שליד הזווית α\alpha, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 7.71

Worked solution:

cos⁡50°=b12\cos 50° = \frac{b}{12}

הניצב שליד הזווית, חלקי היתר — קוסינוס

b=12⋅cos⁡50°≈12⋅0.6428b = 12 \cdot \cos 50° \approx 12 \cdot 0.6428

כופלים

b≈7.71b \approx 7.71

מעגלים

נתון היתר, ומבקשים את הניצב שליד — קוסינוס. הניצב יוצא קצר מהיתר, כמו שצריך.

Check the answer on elev

Exercise 12

במשולש ישר זווית היתר 15, והניצב שמול הזווית α\alpha הוא 9. מהי הזווית α\alpha, במעלות? (עגלו למספר שלם של מעלות)

Show the answer and the solution

Answer: 37

Worked solution:

sin⁡α=915=0.6\begin{aligned}\sin \alpha &= \frac{9}{15} \\ &= 0.6\end{aligned}

מול ויתר — סינוס

α=sin⁡−1(0.6)≈36.87°\alpha = \sin^{-1}(0.6) \approx 36.87°

במחשבון, במצב DEG

α≈37°\alpha \approx 37°

מעגלים

כשמבקשים זווית, מחשבים קודם את היחס, ואז לוחצים על הפונקציה ההפוכה במחשבון.

Check the answer on elev

Exercise 13

רמפה לכיסא גלגלים באורך 8 מטר עולה בזווית של 12°12° מעל הקרקע. לאיזה גובה היא מגיעה, במטרים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 1.66

Worked solution:

sin⁡12°=h8\sin 12° = \frac{h}{8}

הרמפה היא היתר, והגובה מול הזווית — סינוס

h=8⋅sin⁡12°≈8⋅0.2079h = 8 \cdot \sin 12° \approx 8 \cdot 0.2079

כופלים

h≈1.66h \approx 1.66

מעגלים

הגובה והקרקע יוצרים זווית ישרה, ולכן הרמפה היא היתר של משולש ישר זווית.

Check the answer on elev

Exercise 14

גינה בצורת מלבן היא באורך 12 מטר וברוחב 8 מטר. באמצע הגינה בריכה עגולה ברדיוס 2 מטר, וכל השאר דשא. מהו שטח הדשא, במ״ר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Show the answer and the solution

Answer: 83.43

Worked solution:

Sמלבן=12⋅8=96\begin{aligned}S_{\text{מלבן}} &= 12 \cdot 8 \\ &= 96\end{aligned}

שטח הגינה כולה

Sעיגול=π⋅22=4π≈12.57\begin{aligned}S_{\text{עיגול}} &= \pi \cdot 2^2 \\ &= 4\pi \approx 12.57\end{aligned}

שטח הבריכה

96−4π≈83.4396 - 4\pi \approx 83.43

מחסרים

שטח של צורה עם חור: השטח הגדול פחות השטח של החור.

Check the answer on elev

Exercise 15

במלבן צלע אחת 9 ס״מ והאלכסון 15 ס״מ. מהו שטח המלבן, בסמ״ר?

  1. 67.567.5
  2. 135135
  3. 108108
  4. 5454
Show the answer and the solution

Answer: C 108108

Worked solution:

b2=152−92=225−81=144\begin{aligned}b^2 &= 15^2 - 9^2 \\ &= 225 - 81 \\ &= 144\end{aligned}

האלכסון הוא יתר במשולש ישר זווית — מחסרים

b=12b = 12

הצלע השנייה

S=9⋅12=108\begin{aligned}S &= 9 \cdot 12 \\ &= 108\end{aligned}

שטח המלבן

האלכסון איננו צלע של המלבן: קודם פיתגורס, ורק אז השטח.

Check the answer on elev

Exercise 16

במשולש ישר זווית היתר 26 וניצב אחד 10. מחפשים את הניצב השני. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

c=26  a=10\begin{aligned}c &= 26 \ \\ \ a &= 10\end{aligned}
b2=262+102b^2 = 26^2 + 10^2
b2=676−100=576\begin{aligned}b^2 &= 676 - 100 \\ &= 576\end{aligned}
b=24b = 24
Show the answer and the solution

Answer: b2=262+102b^2 = 26^2 + 10^2 → b2=262−102b^2 = 26^2 - 10^2

Worked solution:

a2+b2=c2⇒b2=c2−a2\begin{aligned}a^2 + b^2 &= c^2 \Rightarrow b^2 \\ &= c^2 - a^2\end{aligned}

מחפשים ניצב — מחסרים

b2=676−100=576⇒b=24\begin{aligned}b^2 &= 676 - 100 \\ &= 576 \Rightarrow b \\ &= 24\end{aligned}

מכאן הכול נכון

בשורה השגויה הניצב היה יוצא ארוך מהיתר — וזה בלתי אפשרי. בדיקה: 100+576=676100 + 576 = 676.

Check the answer on elev

Exercise 17

במשולש ישר זווית היתר 20 והזווית α=35°\alpha = 35°. מחפשים את הניצב שליד הזווית. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

c=20  α=35°\begin{aligned}c &= 20 \ \\ \ \alpha &= 35°\end{aligned}
sin⁡35°=b20\sin 35° = \frac{b}{20}
b=20⋅cos⁡35°b = 20 \cdot \cos 35°
b≈16.38b \approx 16.38
Show the answer and the solution

Answer: sin⁡35°=b20\sin 35° = \frac{b}{20} → cos⁡35°=b20\cos 35° = \frac{b}{20}

Worked solution:

cos⁡α=bc\cos \alpha = \frac{b}{c}

הניצב שליד הזווית, חלקי היתר — קוסינוס

b=20⋅cos⁡35°≈16.38b = 20 \cdot \cos 35° \approx 16.38

כופלים ומעגלים

סינוס הוא הניצב שמול הזווית חלקי היתר. עם סינוס היה יוצא 11.4711.47 — הניצב השני.

Check the answer on elev

Exercise 18

במשולש ישר זווית הניצב שמול הזווית α\alpha הוא 6, הניצב שלידה 8, והיתר 10.

sin⁡α=\sin \alpha = ____ , cos⁡α=\cos \alpha = ____ , tan⁡α=\tan \alpha = ____

Show the answer and the solution

Answer: sin⁡α=\sin \alpha = 0.6 , cos⁡α=\cos \alpha = 0.8 , tan⁡α=\tan \alpha = 0.75

Worked solution:

sin⁡α=610=0.6\begin{aligned}\sin \alpha &= \frac{6}{10} \\ &= 0.6\end{aligned}

מול חלקי יתר

cos⁡α=810=0.8\begin{aligned}\cos \alpha &= \frac{8}{10} \\ &= 0.8\end{aligned}

ליד חלקי יתר

tan⁡α=68=0.75\begin{aligned}\tan \alpha &= \frac{6}{8} \\ &= 0.75\end{aligned}

מול חלקי ליד

סינוס וקוסינוס תמיד קטנים מ-1, כי היתר הוא הצלע הארוכה ביותר. לטנגנס אין הגבלה כזו.

Check the answer on elev

Exercise 19

טרפז שבסיסיו 4 ס״מ ו-10 ס״מ וגובהו 6 ס״מ, ומשולש שבסיסו 10 ס״מ והגובה אליו 7 ס״מ.

שטח הטרפז הוא ____ סמ״ר, ושטח המשולש הוא ____ סמ״ר.

Show the answer and the solution

Answer: שטח הטרפז הוא 42 סמ״ר, ושטח המשולש הוא 35 סמ״ר.

Worked solution:

S=(4+10)⋅62=42\begin{aligned}S &= \frac{(4 + 10) \cdot 6}{2} \\ &= 42\end{aligned}

טרפז — סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 2

S=10⋅72=35\begin{aligned}S &= \frac{10 \cdot 7}{2} \\ &= 35\end{aligned}

משולש — בסיס כפול הגובה, חלקי 2

בשתי הנוסחאות מחלקים ב-2, ובשתיהן הגובה מאונך לבסיס.

Check the answer on elev

Exercise 20

במשולש ישר זווית, aa הוא הניצב שמול הזווית α\alpha, bb הניצב שלידה ו-cc היתר. β\beta היא הזווית החדה השנייה. מיינו: כל יחס הוא סינוס או קוסינוס של הזווית הרשומה לידו?

  • סינוס
  • קוסינוס
  • ac\frac{a}{c} — עבור α\alpha
  • ac\frac{a}{c} — עבור β\beta
  • bc\frac{b}{c} — עבור α\alpha
  • bc\frac{b}{c} — עבור β\beta
Show the answer and the solution

Answer: ac\frac{a}{c} — עבור α\alpha — סינוס · bc\frac{b}{c} — עבור α\alpha — קוסינוס · bc\frac{b}{c} — עבור β\beta — סינוס · ac\frac{a}{c} — עבור β\beta — קוסינוס

Worked solution:

sin⁡α=ac  cos⁡α=bc\begin{aligned}\sin \alpha &= \frac{a}{c} \ \\ \ \cos \alpha &= \frac{b}{c}\end{aligned}

עבור α\alpha: aa מול, bb ליד

sin⁡β=bc  cos⁡β=ac\begin{aligned}\sin \beta &= \frac{b}{c} \ \\ \ \cos \beta &= \frac{a}{c}\end{aligned}

עבור β\beta התפקידים מתחלפים: bb מול, aa ליד

«מול» ו«ליד» תלויים בזווית שבוחרים. אותו יחס הוא סינוס של זווית אחת וקוסינוס של השנייה.

Check the answer on elev

Exercise 21

מיינו את שלשות הצלעות: האם המשולש ישר זווית?

  • ישר זווית
  • לא ישר זווית
  • 20, 21, 2920,\ 21,\ 29
  • 4, 5, 64,\ 5,\ 6
  • 5, 6, 85,\ 6,\ 8
  • 6, 8, 106,\ 8,\ 10
  • 8, 15, 178,\ 15,\ 17
  • 9, 12, 169,\ 12,\ 16
Show the answer and the solution

Answer: 8, 15, 178,\ 15,\ 17 — ישר זווית · 4, 5, 64,\ 5,\ 6 — לא ישר זווית · 20, 21, 2920,\ 21,\ 29 — ישר זווית · 9, 12, 169,\ 12,\ 16 — לא ישר זווית · 6, 8, 106,\ 8,\ 10 — ישר זווית · 5, 6, 85,\ 6,\ 8 — לא ישר זווית

Worked solution:

64+225=289  400+441=841  36+64=100\begin{aligned}64 + 225 &= 289 \ \\ \ 400 + 441 &= 841 \ \\ \ 36 + 64 &= 100\end{aligned}

שוויון — ישר זווית

16+25≠36 , 81+144≠256 , 25+36≠6416 + 25 \neq 36 \ , \ 81 + 144 \neq 256 \ , \ 25 + 36 \neq 64

אין שוויון — לא ישר זווית

בודקים אם ריבוע הצלע הארוכה שווה לסכום הריבועים של שתי האחרות.

Check the answer on elev

Exercise 22

במשולש ישר זווית הניצבים 7 ו-24, ומבקשים את הזווית α\alpha שמול הניצב 7. סדרו את שלבי הפתרון.

  • α≈16.3°\alpha \approx 16.3°
  • בוחרים טנגנס: tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b}
  • במחשבון, במצב DEG: α=tan⁡−1(724)\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right)
  • מציבים: tan⁡α=724\tan \alpha = \frac{7}{24}
  • נתונים שני ניצבים, בלי יתר
Show the answer and the solution

Answer: נתונים שני ניצבים, בלי יתר · בוחרים טנגנס: tan⁡α=ab\tan \alpha = \frac{a}{b} · מציבים: tan⁡α=724\tan \alpha = \frac{7}{24} · במחשבון, במצב DEG: α=tan⁡−1(724)\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right) · α≈16.3°\alpha \approx 16.3°

Worked solution:

tan⁡α=724\tan \alpha = \frac{7}{24}

מזהים מה נתון ובוחרים את היחס

α=tan⁡−1(724)≈16.3°\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{7}{24}\right) \approx 16.3°

פונקציה הפוכה במחשבון

קודם מזהים מה נתון, אחר כך בוחרים יחס, מציבים, ורק בסוף המחשבון.

Check the answer on elev

Exercise 23

התאימו כל צורה לשטח שלה

  • מלבן 4 על 6
  • משולש שבסיסו 6 והגובה אליו 4
  • טרפז שבסיסיו 4 ו-8 וגובהו 6
  • עיגול ברדיוס 2
  • 1212
  • 2424
  • 3636
  • 4π4\pi
Show the answer and the solution

Answer: מלבן 4 על 6 — 2424 · משולש שבסיסו 6 והגובה אליו 4 — 1212 · טרפז שבסיסיו 4 ו-8 וגובהו 6 — 3636 · עיגול ברדיוס 2 — 4π4\pi

Worked solution:

4⋅6=244 \cdot 6 = 24

מלבן

6⋅42=12\frac{6 \cdot 4}{2} = 12

משולש

(4+8)⋅62=36\frac{(4 + 8) \cdot 6}{2} = 36

טרפז

π⋅22=4π\pi \cdot 2^2 = 4\pi

עיגול

למשולש ולמלבן אותם מספרים, אבל במשולש מחלקים ב-2.

Check the answer on elev

Exercise 24

במשולש ישר זווית יכול להיות sin⁡α=1.2\sin \alpha = 1.2.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

a<c⇒ac<1a < c \Rightarrow \frac{a}{c} < 1

ניצב קצר מהיתר

תוצאה גדולה מ-1 בסינוס או בקוסינוס היא סימן שהיתר הוצב במקום הלא נכון.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade