The linear function

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

כל ישר נקבע לגמרי בשני מספרים: mm ו-bb. שאר הפרק הוא רק דרכים שונות למצוא אותם.

y=mx+by = mx + b
m>0m > 0

הישר עולה.

m<0m < 0

הישר יורד.

m=0m = 0

קו אופקי.

bb

הגובה שבו הישר חותך את ציר ה-yy.

שיפוע משתי נקודות

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

נקודות חיתוך עם הצירים

y=0y = 0

חיתוך עם ציר ה-xx — מציבים אפס במקום yy ופותרים.

x=0x = 0

חיתוך עם ציר ה-yy — מציבים אפס במקום xx, והתוצאה היא בדיוק bb.

חיתוך בין שני ישרים

משווים בין שתי המשוואות, מוצאים xx, ומציבים כדי לקבל yy. התשובה היא נקודה — זוג, לא מספר בודד.

ישרים מקבילים אם ורק אם יש להם אותו mm. אם בפתרון המערכת ה-xx מתבטל ונשאר משהו שקרי — זה בדיוק המצב, ואין פתרון.

שתי הטעויות של הישר.

m=y2−y1x1−x2m = \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}
y2−y1x2−x1\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

אותו סדר חיסור למעלה ולמטה, אחרת הסימן מתהפך.

נקודת חיתוך=3\text{נקודת חיתוך} = 3
(3, 7)(3,\, 7)

נקודה היא זוג. חייבים להציב ולמצוא גם את ה-yy.

הישר y=−3x+7y = -3x + 7 — מהו השיפוע ומה החיתוך עם ציר ה-yy?

Show the answer and the solution

שיפוע −3-3 (יורד), וחיתוך ב-(0,7)(0, 7). את החיתוך עם ציר ה-xx מוצאים בהצבת y=0y = 0.

Exercises

Exercise 1

מהו שיפוע הישר העובר דרך (1, 3)(1,\, 3) ו-(4, 12)(4,\, 12)?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

m=12−34−1=3\begin{aligned}m &= \frac{12 - 3}{4 - 1} \\ &= 3\end{aligned}

הנוסחה

אותו סדר חיסור בשני הצדדים.

Check the answer on elev

Exercise 2

הישר y=3x−6y = 3x - 6 — איפה הוא חותך את ציר ה-xx?

  1. (0, 2)(0,\, 2)
  2. (0, −6)(0,\, -6)
  3. (2, 0)(2,\, 0)
  4. (−6, 0)(-6,\, 0)
Show the answer and the solution

Answer: C (2, 0)(2,\, 0)

Worked solution:

3x−6=03x - 6 = 0

מציבים y=0y = 0

x=2x = 2

פותרים

החיתוך עם ציר ה-yy הוא (0, −6)(0,\,-6) — שאלה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 3

איזה ישר מקביל ל-y=−2x+5y = -2x + 5?

  1. y=−2x−1y = -2x - 1
  2. y=−x+5y = -x + 5
  3. y=2x+5y = 2x + 5
  4. y=−2x+5y = -2x + 5
Show the answer and the solution

Answer: A y=−2x−1y = -2x - 1

Worked solution:

m1=m2=−2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ &= -2\end{aligned}

אותו שיפוע

b1≠b2b_1 \neq b_2

ו-bb שונה

האחרון הוא הישר עצמו.

Check the answer on elev

Exercise 4

מצאו את משוואת הישר ששיפועו 4 ועובר דרך (1, 6)(1,\, 6)

  1. y=4x−2y = 4x - 2
  2. y=4x+6y = 4x + 6
  3. y=4x+2y = 4x + 2
  4. y=x+6y = x + 6
Show the answer and the solution

Answer: C y=4x+2y = 4x + 2

Worked solution:

6=4⋅1+b6 = 4 \cdot 1 + b

מציבים

b=2b = 2

מוצאים

בדיקה: 4+2=64 + 2 = 6.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו ה-bb של הישר העובר דרך (0, −4)(0,\, -4)?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

x=0⇒y=b\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= b\end{aligned}

זו ההגדרה של bb

נקודה עם x=0x = 0 נותנת את bb ישירות.

Check the answer on elev

Exercise 6

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך (1,2)(1, 2) ו-(3,8)(3, 8):

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

m=8−23−1=3\begin{aligned}m &= \frac{8 - 2}{3 - 1} \\ &= 3\end{aligned}

הפרש גבהים חלקי הפרש מרחקים

Check the answer on elev

Exercise 7

לישר y=2x+3y = 2x + 3:

החיתוך עם ציר ה-y בגובה ____ , והערך של y כאשר x = 4 הוא ____.

Show the answer and the solution

Answer: החיתוך עם ציר ה-y בגובה 3 , והערך של y כאשר x = 4 הוא 11.

Worked solution:

y(0)=3y(4)=11\begin{aligned}y(0) &= 3 \\ \quad y(4) &= 11\end{aligned}

b — ואז הצבה

Check the answer on elev

Exercise 8

הישר y=−x+6y = -x + 6 הוא ישר יורד.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

m=−1<0m = -1 < 0

הסימן של השיפוע מכריע

Check the answer on elev

Exercise 9

איזה ישר עובר דרך הנקודה (0,5)(0, 5)?

  1. y=5xy = 5x
  2. y=2x+5y = 2x + 5
  3. y=x−5y = x - 5
  4. y=5x−2y = 5x - 2
Show the answer and the solution

Answer: B y=2x+5y = 2x + 5

Worked solution:

y(0)=b=5\begin{aligned}y(0) &= b \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה על ציר ה-y היא הקבוע

ב-x = 0 נשאר רק ה-b — ורק בישר השלישי הוא 5.

Check the answer on elev

Exercise 10

איפה הישר y=3x−9y = 3x - 9 חותך את ציר ה-x? (כתבו את ערך ה-x.)

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

3x−9=0  ⇒  x=3\begin{aligned}3x - 9 &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

מציבים y = 0

Check the answer on elev

Exercise 11

הישרים y=2x−5y = 2x - 5 ו-y=−x+7y = -x + 7 נחתכים בנקודה אחת. מהו ה-yy של נקודת החיתוך?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

2x−5=−x+72x - 5 = -x + 7

משווים בין שתי המשוואות

3x=12⇒x=4\begin{aligned}3x &= 12 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

פותרים ומוצאים את xx

y=2⋅4−5=3\begin{aligned}y &= 2 \cdot 4 - 5 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים באחד הישרים

נקודת החיתוך היא (4, 3)(4,\, 3). בדיקה בישר השני: −4+7=3-4 + 7 = 3.

Check the answer on elev

Exercise 12

מהי משוואת הישר העובר דרך הנקודות (2, 7)(2,\, 7) ו-(5, 1)(5,\, 1)?

  1. y=−2x+11y = -2x + 11
  2. y=−0.5x+8y = -0.5x + 8
  3. y=−2x+7y = -2x + 7
  4. y=2x+3y = 2x + 3
Show the answer and the solution

Answer: A y=−2x+11y = -2x + 11

Worked solution:

m=1−75−2=−63=−2\begin{aligned}m &= \frac{1 - 7}{5 - 2} \\ &= \frac{-6}{3} \\ &= -2\end{aligned}

קודם השיפוע — אותו סדר חיסור למעלה ולמטה

7=−2⋅2+b7 = -2 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה (2, 7)(2,\, 7)

b=11b = 11

מוצאים את bb

בדיקה בנקודה השנייה: −2⋅5+11=1-2 \cdot 5 + 11 = 1. את השיפוע −0.5-0.5 מקבל מי שמחלק את הפרש ה-xx בהפרש ה-yy — הפוך.

Check the answer on elev

Exercise 13

בתוכנית סלולר א משלמים 30 ש״ח לחודש ועוד 0.5 ש״ח לכל דקת שיחה. בתוכנית ב משלמים 80 ש״ח לחודש ועוד 0.1 ש״ח לכל דקה. אחרי כמה דקות שיחה בחודש שתי התוכניות עולות אותו מחיר?

Show the answer and the solution

Answer: 125

Worked solution:

y=0.5x+30  y=0.1x+80\begin{aligned}y &= 0.5x + 30 \ \\ \ y &= 0.1x + 80\end{aligned}

xx — דקות, yy — מחיר בש״ח. שני ישרים

0.5x+30=0.1x+800.5x + 30 = 0.1x + 80

אותו מחיר — משווים

0.4x=50⇒x=125\begin{aligned}0.4x &= 50 \Rightarrow x \\ &= 125\end{aligned}

פותרים

אחרי 125 דקות שתי התוכניות עולות 92.5 ש״ח. מעבר לזה תוכנית ב זולה יותר.

Check the answer on elev

Exercise 14

הישר y=−2x+8y = -2x + 8 ושני הצירים יוצרים משולש. מהו שטח המשולש?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

−2x+8=0⇒x=4\begin{aligned}-2x + 8 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: הנקודה (4, 0)(4,\, 0)

x=0⇒y=8\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 8\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: הנקודה (0, 8)(0,\, 8)

S=4⋅82=16\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 8}{2} \\ &= 16\end{aligned}

משולש ישר זווית — מכפלת הניצבים חלקי 2

שני הניצבים של המשולש יושבים על הצירים, ואורכם הוא המרחק של נקודות החיתוך מהראשית.

Check the answer on elev

Exercise 15

במיכל יש 600 ליטר מים, ובכל דקה יוצאים ממנו 25 ליטר. כמות המים במיכל אחרי xx דקות היא y=−25x+600y = -25x + 600. אחרי כמה דקות המיכל מתרוקן?

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

−25x+600=0-25x + 600 = 0

מיכל ריק — מציבים y=0y = 0

25x=600⇒x=24\begin{aligned}25x &= 600 \Rightarrow x \\ &= 24\end{aligned}

פותרים

זו נקודת החיתוך עם ציר ה-xx: (24, 0)(24,\, 0). ה-bb, כלומר 600, הוא הכמות בהתחלה.

Check the answer on elev

Exercise 16

מחפשים את משוואת הישר ששיפועו −3-3 ועובר דרך (2, 4)(2,\, 4). שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

y=−3x+by = -3x + b
4=−3⋅2+b4 = -3 \cdot 2 + b
4=−6+b4 = -6 + b
b=−2b = -2
y=−3x+10y = -3x + 10
Show the answer and the solution

Answer: b=−2b = -2 → b=10b = 10

Worked solution:

4=−6+b⇒b=4+6\begin{aligned}4 &= -6 + b \Rightarrow b \\ &= 4 + 6\end{aligned}

מעבירים את −6-6 לצד השני — והסימן מתהפך

b=10b = 10

ולא 4−64 - 6

בדיקה: −3⋅2+10=4-3 \cdot 2 + 10 = 4. עם b=−2b = -2 הישר היה עובר ב-(2, −8)(2,\, -8).

Check the answer on elev

Exercise 17

מחפשים את נקודת החיתוך של y=4x−3y = 4x - 3 ו-y=x+9y = x + 9. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

4x−3=x+94x - 3 = x + 9
4x−x=9−34x - x = 9 - 3
3x=123x = 12
x=4x = 4
y=4+9=13\begin{aligned}y &= 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 4x−x=9−34x - x = 9 - 3 → 4x−x=9+34x - x = 9 + 3

Worked solution:

−3→+3-3 \to +3

מעבירים את −3-3 אגף — והסימן מתהפך

3x=12⇒x=4\begin{aligned}3x &= 12 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

מכאן הכול נכון

(4, 13)(4,\, 13)

נקודת החיתוך

בדיקה בישר הראשון: 4⋅4−3=134 \cdot 4 - 3 = 13.

Check the answer on elev

Exercise 18

מחשבים את שיפוע הישר העובר דרך (1, 2)(1,\, 2) ו-(3, 10)(3,\, 10). שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

(x1, y1)=(1, 2)  (x2, y2)=(3, 10)\begin{aligned}(x_1,\, y_1) &= (1,\, 2) \ \\ \ (x_2,\, y_2) &= (3,\, 10)\end{aligned}
m=3−110−2m = \frac{3 - 1}{10 - 2}
m=82m = \frac{8}{2}
m=4m = 4
Show the answer and the solution

Answer: m=3−110−2m = \frac{3 - 1}{10 - 2} → m=10−23−1m = \frac{10 - 2}{3 - 1}

Worked solution:

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

הפרש ה-yy במונה, הפרש ה-xx במכנה

m=10−23−1=82=4\begin{aligned}m &= \frac{10 - 2}{3 - 1} \\ &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

בשורה השגויה המונה והמכנה התחלפו, והיא נותנת 14\frac{1}{4} במקום 4.

Check the answer on elev

Exercise 19

לישר y=−4x+12y = -4x + 12:

החיתוך עם ציר ה-x הוא ( ____ , 0 ), והחיתוך עם ציר ה-y הוא ( 0 , ____ ).

Show the answer and the solution

Answer: החיתוך עם ציר ה-x הוא ( 3 , 0 ), והחיתוך עם ציר ה-y הוא ( 0 , 12 ).

Worked solution:

−4x+12=0⇒x=3\begin{aligned}-4x + 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

ציר ה-xx: מציבים y=0y = 0

x=0⇒y=12\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 12\end{aligned}

ציר ה-yy: מציבים x=0x = 0, ויוצא בדיוק bb

שתי נקודות החיתוך הן (3, 0)(3,\, 0) ו-(0, 12)(0,\, 12).

Check the answer on elev

Exercise 20

מצאו את נקודת החיתוך של הישרים y=2x−1y = 2x - 1 ו-y=−3x+9y = -3x + 9.

נקודת החיתוך היא ( ____ , ____ ).

Show the answer and the solution

Answer: נקודת החיתוך היא ( 2 , 3 ).

Worked solution:

2x−1=−3x+92x - 1 = -3x + 9

משווים

5x=10⇒x=2\begin{aligned}5x &= 10 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

y=2⋅2−1=3\begin{aligned}y &= 2 \cdot 2 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים ומוצאים גם את yy

בדיקה בישר השני: −3⋅2+9=3-3 \cdot 2 + 9 = 3. התשובה היא זוג — (2, 3)(2,\, 3).

Check the answer on elev

Exercise 21

מיינו את הישרים: עולה או יורד?

  • עולה
  • יורד
  • y=−0.5x+4y = -0.5x + 4
  • y=−5x−2y = -5x - 2
  • y=13xy = \frac{1}{3}x
  • y=2x−7y = 2x - 7
  • y=3−xy = 3 - x
  • y=6+4xy = 6 + 4x
Show the answer and the solution

Answer: y=2x−7y = 2x - 7 — עולה · y=−0.5x+4y = -0.5x + 4 — יורד · y=3−xy = 3 - x — יורד · y=13xy = \frac{1}{3}x — עולה · y=−5x−2y = -5x - 2 — יורד · y=6+4xy = 6 + 4x — עולה

Worked solution:

m>0: 2, 13, 4m > 0: \ 2 ,\ \frac{1}{3} ,\ 4

שיפוע חיובי — הישר עולה

m<0: −0.5, −1, −5m < 0: \ -0.5 ,\ -1 ,\ -5

שיפוע שלילי — הישר יורד

רק הסימן של המקדם של xx מכריע, גם כשהוא כתוב אחרי המספר החופשי, כמו ב-y=3−xy = 3 - x. ה-bb לא משנה את הכיוון.

Check the answer on elev

Exercise 22

מיינו את הישרים: מקבילים לישר y=2x+3y = 2x + 3 או לא?

  • מקביל
  • לא מקביל
  • y=−2x+3y = -2x + 3
  • y=0.5x+3y = 0.5x + 3
  • y=2x−4y = 2x - 4
  • y=2xy = 2x
  • y=3x+2y = 3x + 2
  • y=7+2xy = 7 + 2x
Show the answer and the solution

Answer: y=2x−4y = 2x - 4 — מקביל · y=−2x+3y = -2x + 3 — לא מקביל · y=2xy = 2x — מקביל · y=3x+2y = 3x + 2 — לא מקביל · y=0.5x+3y = 0.5x + 3 — לא מקביל · y=7+2xy = 7 + 2x — מקביל

Worked solution:

m=2m = 2

מקבילים: אותו שיפוע ו-bb אחר

m=−2 3 0.5\begin{aligned}m &= -2 \\ \ 3 \\ \ 0.5\end{aligned}

שיפוע אחר — הישרים נחתכים

אותו bb לא עושה ישרים מקבילים: y=−2x+3y = -2x + 3 חותך את y=2x+3y = 2x + 3 בדיוק בנקודה (0, 3)(0,\, 3).

Check the answer on elev

Exercise 23

סדרו את שורות הפתרון שמוצא את נקודת החיתוך של y=x+2y = x + 2 ו-y=−x+6y = -x + 6.

  • 2x=42x = 4
  • x+2=−x+6x + 2 = -x + 6
  • x=2x = 2
  • y=2+2=4y = 2 + 2 = 4
  • נקודת החיתוך היא (2, 4)(2,\, 4)
Show the answer and the solution

Answer: x+2=−x+6x + 2 = -x + 6 · 2x=42x = 4 · x=2x = 2 · y=2+2=4y = 2 + 2 = 4 · נקודת החיתוך היא (2, 4)(2,\, 4)

Worked solution:

x+2=−x+6x + 2 = -x + 6

משווים בין שתי המשוואות

2x=4⇒x=2\begin{aligned}2x &= 4 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

y=4⇒(2, 4)y = 4 \Rightarrow (2,\, 4)

מציבים, ורושמים זוג

משווים, פותרים, מציבים — והתשובה היא נקודה, לא מספר בודד.

Check the answer on elev

Exercise 24

התאימו כל ישר לתיאור שלו

  • y=3y = 3
  • y=−2x+1y = -2x + 1
  • y=2x+1y = 2x + 1
  • y=2x−1y = 2x - 1
  • יורד, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1)
  • עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, −1)(0,\, -1)
  • עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1)
  • קו אופקי
Show the answer and the solution

Answer: y=3y = 3 — קו אופקי · y=−2x+1y = -2x + 1 — יורד, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1) · y=2x+1y = 2x + 1 — עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\, 1) · y=2x−1y = 2x - 1 — עולה, חותך את ציר ה-yy ב-(0, −1)(0,\, -1)

Worked solution:

m=0m = 0

y=3y = 3 — אין xx, קו אופקי

m<0  b=1\begin{aligned}m < 0 \ \\ \ b &= 1\end{aligned}

y=−2x+1y = -2x + 1 — יורד

m>0  b=±1\begin{aligned}m > 0 \ \\ \ b &= \pm 1\end{aligned}

שני הישרים העולים נבדלים רק ב-bb

mm קובע את הכיוון, ו-bb קובע איפה הישר חותך את ציר ה-yy.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade