Percentages and financial problems

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

זה הפרק השימושי ביותר במסלול, והוא גם החוזר ביותר בבגרות. הכול נשען על מושג אחד: מקדם ההכפלה.

×1.2\times 1.2

התייקרות ב-20%.

×0.8\times 0.8

הנחה של 20%.

×1.05\times 1.05

ריבית של 5%.

שינויים רצופים

כששני שינויים באים זה אחרי זה — מכפילים את המקדמים. אף פעם לא מחברים אחוזים.

למה לא מחברים

מחיר עלה ב-20% ואז ירד ב-20%. מה קרה בסך הכול?

1.2×0.8=0.961.2 \times 0.8 = 0.96

מכפילים את שני המקדמים

ירידה של 4%\text{ירידה של 4\%}

ולא חזרה למחיר המקורי

הסיבה: ההנחה של 20% חושבה על מחיר גדול יותר. האחוזים לא מתבטלים כי הם נמדדים מבסיסים שונים.

ריבית דריבית

כסף בבנק לכמה שנים: כל שנה מכפילה שוב באותו מקדם. ולכן —

S=S0⋅(1+p)nS = S_0 \cdot (1 + p)^n

כאשר S0S_0 הוא הסכום ההתחלתי, pp הריבית כשבר עשרוני, ו-nn מספר השנים.

למצוא את המחיר המקורי מתוך המחיר אחרי שינוי: מחלקים במקדם. אחרי הנחה של 20% שילמו 160 — המקורי הוא 160:0.8=200160 : 0.8 = 200.

הטעות המובילה של האחוזים.

+20% ואז−20%⇒חזרה למקור+20\% \ \text{ואז} -20\% \Rightarrow \text{חזרה למקור}
×1.2×0.8=0.96\times 1.2 \times 0.8 = 0.96

ירידה של 4%. האחוזים נמדדים מבסיסים שונים ולכן לא מתבטלים.

מחיר עלה ב-20% ואז ירד ב-20%. האם חזר למקור?

Show the answer and the solution

לא — נשארים על 96%: 1.2×0.8=0.961.2 \times 0.8 = 0.96. הירידה נמדדה ממחיר גבוה יותר, ולכן היא גדולה יותר בשקלים.

אחרי הנחה של 25% שילמו 150 ₪. מה היה המחיר המקורי?

Show the answer and the solution

200 ₪: שילמו 75%, ולכן 0.75x=1500.75x = 150. מוסיפים 25% ל-150 — וטועים.

Exercises

Exercise 1

מוצר ב-200 ש״ח מקבל הנחה של 20%. מהו המחיר החדש?

Show the answer and the solution

Answer: 160

Worked solution:

200×0.8=160200 \times 0.8 = 160

מקדם ההנחה

שני שלבים בפעולה אחת.

Check the answer on elev

Exercise 2

אחרי הנחה של 20% שילמו 160 ש״ח. מהו המחיר המקורי?

Show the answer and the solution

Answer: 200

Worked solution:

160:0.8=200160 : 0.8 = 200

הכיוון ההפוך — חילוק

מהמחיר החדש למקורי — מחלקים במקדם.

Check the answer on elev

Exercise 3

מחיר עלה ב-20% ואז ירד ב-20%. בכמה אחוזים הוא ירד בסך הכול?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

1.2×0.8=0.961.2 \times 0.8 = 0.96

מכפילים מקדמים

ירידה של 4%\text{ירידה של 4\%}

לא חזרה למקור

האחוזים נמדדים מבסיסים שונים.

Check the answer on elev

Exercise 4

1000 ש״ח בריבית 5% לשנתיים. כמה יהיה בסוף? (עגלו לשקל)

Show the answer and the solution

Answer: 1103

Worked solution:

1000×1.0521000 \times 1.05^2

ריבית דריבית

=1102.5≈1103= 1102.5 \approx 1103

מחשבים

לא 1000×1.11000 \times 1.1 — השנה השנייה מחושבת על סכום גדול יותר.

Check the answer on elev

Exercise 5

מוצר נקנה ב-150 ונמכר ב-180. מהו אחוז הרווח?

Show the answer and the solution

Answer: 20

Worked solution:

30150=0.2\frac{30}{150} = 0.2

הרווח חלקי מחיר הקנייה

=20%= 20\%

באחוזים

הבסיס הוא תמיד מחיר הקנייה.

Check the answer on elev

Exercise 6

חשבו: 15% מתוך 240 שקלים.

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

240⋅0.15=36240 \cdot 0.15 = 36

אחוז — כפל ב-0.15

Check the answer on elev

Exercise 7

חולצה עולה 150 שקלים וקיבלה הנחה של 20%. מה המחיר החדש?

Show the answer and the solution

Answer: 120

Worked solution:

150⋅0.8=120150 \cdot 0.8 = 120

הדרך המהירה: כפל ב-0.8

הנחה של 20% משאירה 80% — כפל אחד במקום שני שלבים.

Check the answer on elev

Exercise 8

מחיר של 90 שקלים עלה ב-10%:

התוספת ____ שקלים, והמחיר החדש ____ שקלים.

Show the answer and the solution

Answer: התוספת 9 שקלים, והמחיר החדש 99 שקלים.

Worked solution:

90⋅1.1=9990 \cdot 1.1 = 99

עלייה — כפל ב-1.1

Check the answer on elev

Exercise 9

בכיתה 120 תלמידים, ומהם 30 שמאליים. כמה אחוזים זה?

  1. 30%
  2. 25%
  3. 20%
  4. 40%
Show the answer and the solution

Answer: B 25%

Worked solution:

30120=14=25%\begin{aligned}\frac{30}{120} &= \frac{1}{4} \\ &= 25\%\end{aligned}

החלק מתוך השלם

Check the answer on elev

Exercise 10

שתי הנחות רצופות של 50% מוזילות את המוצר ב-100% — כלומר הוא חינם.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

0.5⋅0.5=0.250.5 \cdot 0.5 = 0.25

הנחות מוכפלות, לא מחוברות

Check the answer on elev

Exercise 11

הפקידו 8000 ש״ח בתוכנית חיסכון בריבית דריבית של 3% לשנה. כמה כסף יהיה בתוכנית אחרי 4 שנים? (עגלו לשקל)

Show the answer and the solution

Answer: 9004

Worked solution:

8000⋅1.0348000 \cdot 1.03^4

ארבע שנים — מכפילים ארבע פעמים במקדם 1.03

=9004.07≈9004= 9004.07 \approx 9004

מחשבים ומעגלים לשקל

הריבית של כל שנה מחושבת על הסכום שהצטבר עד אז, ולכן הרווח (1004 ש״ח) גדול מ-4⋅240=9604 \cdot 240 = 960 ש״ח.

Check the answer on elev

Exercise 12

מכונית נקנתה ב-120000 ש״ח. בכל שנה ערכה יורד ב-15% מהערך שהיה לה בתחילת השנה. מה יהיה ערך המכונית אחרי 3 שנים (בש״ח)?

Show the answer and the solution

Answer: 73695

Worked solution:

1−0.15=0.851 - 0.15 = 0.85

ירידה של 15% — מקדם 0.85

120000⋅0.853120000 \cdot 0.85^3

שלוש שנים — שלוש הכפלות

=73695= 73695

הערך אחרי 3 שנים

זו אותה נוסחה של ריבית דריבית, עם מקדם קטן מ-1. לא מורידים 3⋅15%=45%3 \cdot 15\% = 45\% — כל ירידה נמדדת מערך קטן יותר.

Check the answer on elev

Exercise 13

מחיר של מעיל היה 400 ש״ח. בתחילת החורף המחיר עלה ב-15%, ובסוף העונה המחיר החדש ירד ב-30%. מהו המחיר הסופי של המעיל (בש״ח)?

Show the answer and the solution

Answer: 322

Worked solution:

1.15⋅0.7=0.8051.15 \cdot 0.7 = 0.805

מכפילים את שני המקדמים

400⋅0.805=322400 \cdot 0.805 = 322

מחילים את המקדם הכולל על המחיר

המחיר הסופי הוא 80.5% מהמקורי, כלומר ירידה כוללת של 19.5% — לא 15%.

Check the answer on elev

Exercise 14

אחרי הנחה של 35% שילמה דנה על מחשב נייד 2600 ש״ח. מה היה מחיר המחשב לפני ההנחה (בש״ח)?

Show the answer and the solution

Answer: 4000

Worked solution:

1−0.35=0.651 - 0.35 = 0.65

דנה שילמה 65% מהמחיר המקורי

0.65x=26000.65x = 2600

המשוואה

x=2600:0.65=4000\begin{aligned}x &= 2600 : 0.65 \\ &= 4000\end{aligned}

מחלקים במקדם

מהמחיר אחרי השינוי אל המחיר המקורי — מחלקים במקדם. הוספה של 35% ל-2600 נותנת 3510, וזו טעות.

Check the answer on elev

Exercise 15

סכום כסף הופקד בריבית דריבית של 10% לשנה. אחרי כמה שנים שלמות הסכום בחשבון יהיה לראשונה גדול פי 1.6 לפחות מהסכום ההתחלתי?

  1. 4 שנים
  2. 6 שנים
  3. 3 שנים
  4. 5 שנים
Show the answer and the solution

Answer: D 5 שנים

Worked solution:

1.14=1.4641<1.61.1^4 = 1.4641 < 1.6

אחרי 4 שנים — עדיין פחות מפי 1.6

1.15=1.61051≥1.61.1^5 = 1.61051 \geq 1.6

אחרי 5 שנים — עוברים את פי 1.6

הסכום ההתחלתי לא משנה: בודקים רק את המקדם 1.1n1.1^n. מי שמחבר 10% בכל שנה מגיע ל-60% רק אחרי 6 שנים — אבל הריבית דריבית מגיעה לשם כבר אחרי 5.

Check the answer on elev

Exercise 16

מחיר של 500 ש״ח עלה ב-10%, ואחר כך המחיר החדש עלה עוד ב-20%. שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

מקדם ראשון: 1.1\text{מקדם ראשון: } 1.1
מקדם שני: 1.2\text{מקדם שני: } 1.2
מקדם כולל: 1.1+1.2−1=1.3\text{מקדם כולל: } 1.1 + 1.2 - 1 = 1.3
500⋅1.32=660500 \cdot 1.32 = 660
Show the answer and the solution

Answer: מקדם כולל: 1.1+1.2−1=1.3\text{מקדם כולל: } 1.1 + 1.2 - 1 = 1.3 → מקדם כולל: 1.1⋅1.2=1.32\text{מקדם כולל: } 1.1 \cdot 1.2 = 1.32

Worked solution:

1.1⋅1.2=1.321.1 \cdot 1.2 = 1.32

שינויים רצופים — מכפילים מקדמים

500⋅1.32=660500 \cdot 1.32 = 660

המחיר הסופי

חיבור האחוזים (10% ועוד 20%) מתעלם מכך שה-20% נמדדים מהמחיר שכבר עלה. העלייה הכוללת היא 32%, לא 30%.

Check the answer on elev

Exercise 17

אחרי הנחה של 20% שילמו על מעיל 240 ש״ח. מה היה המחיר המקורי? שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

שילמו 80% מהמחיר המקורי\text{שילמו } 80\% \text{ מהמחיר המקורי}
0.8x=2400.8x = 240
x=240⋅1.2=288\begin{aligned}x &= 240 \cdot 1.2 \\ &= 288\end{aligned}
בדיקה: 300⋅0.8=240\text{בדיקה: } 300 \cdot 0.8 = 240
Show the answer and the solution

Answer: x=240⋅1.2=288x = 240 \cdot 1.2 = 288 → x=240:0.8=300x = 240 : 0.8 = 300

Worked solution:

0.8x=2400.8x = 240

המחיר ששילמו הוא 80% מהמקורי

x=240:0.8=300\begin{aligned}x &= 240 : 0.8 \\ &= 300\end{aligned}

מחלקים במקדם

הוספה של 20% ל-240 היא הטעות הקלאסית: ה-20% של ההנחה נמדדו מהמחיר המקורי, לא מ-240. הבדיקה בשורה האחרונה מראה שהמחיר המקורי הוא 300.

Check the answer on elev

Exercise 18

סוחר קנה טלפון ב-1200 ש״ח ומכר אותו ב-1500 ש״ח. מהו אחוז הרווח? שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

1500−1200=3001500 - 1200 = 300
3001500=0.2\frac{300}{1500} = 0.2
אחוז הרווח: 25%\text{אחוז הרווח: } 25\%
Show the answer and the solution

Answer: 3001500=0.2\frac{300}{1500} = 0.2 → 3001200=0.25\frac{300}{1200} = 0.25

Worked solution:

1500−1200=3001500 - 1200 = 300

הרווח בשקלים

3001200=0.25=25%\begin{aligned}\frac{300}{1200} &= 0.25 \\ &= 25\%\end{aligned}

מחלקים במחיר הקנייה

אחוז הרווח נמדד תמיד ביחס למחיר הקנייה, כלומר למחיר שלפני השינוי. חלוקה במחיר המכירה נותנת 20%, וזו טעות.

Check the answer on elev

Exercise 19

הפקידו 2000 ש״ח בבנק בריבית דריבית של 5% לשנה. השלימו:

אחרי שנה אחת יהיו בחשבון ____ ש״ח, ואחרי שנתיים ____ ש״ח.

Show the answer and the solution

Answer: אחרי שנה אחת יהיו בחשבון 2100 ש״ח, ואחרי שנתיים 2205 ש״ח.

Worked solution:

2000⋅1.05=21002000 \cdot 1.05 = 2100

השנה הראשונה

2100⋅1.05=22052100 \cdot 1.05 = 2205

השנה השנייה — הריבית על 2100, לא על 2000

בשנה השנייה הריבית היא 105 ש״ח ולא 100: היא מחושבת על הסכום שכבר גדל. זה ההבדל בין ריבית דריבית לריבית רגילה.

Check the answer on elev

Exercise 20

המחיר של כרטיס נסיעה עלה מ-80 ש״ח ל-92 ש״ח. השלימו:

המחיר עלה ב-____ ש״ח, שהם ____% מהמחיר המקורי.

Show the answer and the solution

Answer: המחיר עלה ב-12 ש״ח, שהם 15% מהמחיר המקורי.

Worked solution:

92−80=1292 - 80 = 12

השינוי בשקלים

1280=0.15=15%\begin{aligned}\frac{12}{80} &= 0.15 \\ &= 15\%\end{aligned}

השינוי חלקי המחיר המקורי

אחוז השינוי נמדד מהמחיר שלפני השינוי. אפשר לבדוק גם במקדם: 9280=1.15\frac{92}{80} = 1.15.

Check the answer on elev

Exercise 21

כל מקדם הכפלה מתאר שינוי של מחיר. מיינו את המקדמים לפי סוג השינוי.

  • התייקרות
  • הוזלה
  • ×0.6\times 0.6
  • ×0.93\times 0.93
  • ×0.99\times 0.99
  • ×1.07\times 1.07
  • ×1.5\times 1.5
  • ×2\times 2
Show the answer and the solution

Answer: ×1.07\times 1.07 — התייקרות · ×0.93\times 0.93 — הוזלה · ×1.5\times 1.5 — התייקרות · ×0.6\times 0.6 — הוזלה · ×2\times 2 — התייקרות · ×0.99\times 0.99 — הוזלה

Worked solution:

מקדם>1\text{מקדם} > 1

מקדם גדול מ-1 — התייקרות: 1.07 הוא 7%, 1.5 הוא 50%, 2 הוא 100%

מקדם<1\text{מקדם} < 1

מקדם קטן מ-1 — הוזלה: 0.93 הוא 7%, 0.6 הוא 40%, 0.99 הוא 1%

משווים את המקדם ל-1. המרחק מ-1 הוא אחוז השינוי.

Check the answer on elev

Exercise 22

בכל שורה שני שינויים רצופים של אותו מחיר. מיינו לפי המחיר הסופי, בהשוואה למחיר המקורי.

  • גבוה מהמקורי
  • נמוך מהמקורי
  • ירידה של 10% ואז עלייה של 10%
  • ירידה של 20% ואז עלייה של 30%
  • ירידה של 50% ואז עלייה של 80%
  • עלייה של 20% ואז ירידה של 20%
  • עלייה של 40% ואז ירידה של 25%
  • עלייה של 50% ואז ירידה של 30%
Show the answer and the solution

Answer: עלייה של 20% ואז ירידה של 20% — נמוך מהמקורי · עלייה של 50% ואז ירידה של 30% — גבוה מהמקורי · ירידה של 10% ואז עלייה של 10% — נמוך מהמקורי · עלייה של 40% ואז ירידה של 25% — גבוה מהמקורי · ירידה של 20% ואז עלייה של 30% — גבוה מהמקורי · ירידה של 50% ואז עלייה של 80% — נמוך מהמקורי

Worked solution:

1.5⋅0.7=1.05 1.4⋅0.75=1.05 0.8⋅1.3=1.04\begin{aligned}1.5 \cdot 0.7 &= 1.05 \\ \ 1.4 \cdot 0.75 &= 1.05 \\ \ 0.8 \cdot 1.3 &= 1.04\end{aligned}

מקדם כולל גדול מ-1 — גבוה מהמקורי

1.2⋅0.8=0.96 0.9⋅1.1=0.99 0.5⋅1.8=0.9\begin{aligned}1.2 \cdot 0.8 &= 0.96 \\ \ 0.9 \cdot 1.1 &= 0.99 \\ \ 0.5 \cdot 1.8 &= 0.9\end{aligned}

מקדם כולל קטן מ-1 — נמוך מהמקורי

לא משווים את האחוזים — מכפילים את המקדמים ומשווים את התוצאה ל-1. ירידה של 50% ואז עלייה של 80% עדיין משאירה את המחיר נמוך.

Check the answer on elev

Exercise 23

לכל אחד מהשינויים הבאים מתחילים מסכום של 1000 ש״ח. סדרו את השינויים מהסכום הסופי הקטן ביותר לגדול ביותר.

  • הנחה של 20%
  • עלייה של 20% ואז ירידה של 20%
  • ריבית דריבית של 5% לשנה, במשך שנתיים
  • שתי הנחות רצופות של 10%
  • שתי עליות רצופות של 10%
Show the answer and the solution

Answer: הנחה של 20% · שתי הנחות רצופות של 10% · עלייה של 20% ואז ירידה של 20% · ריבית דריבית של 5% לשנה, במשך שנתיים · שתי עליות רצופות של 10%

Worked solution:

1000⋅0.8=8001000 \cdot 0.8 = 800

הנחה של 20%

1000⋅0.92=8101000 \cdot 0.9^2 = 810

שתי הנחות של 10%

1000⋅1.2⋅0.8=9601000 \cdot 1.2 \cdot 0.8 = 960

עלייה ואז ירידה

1000⋅1.052=1102.51000 \cdot 1.05^2 = 1102.5

ריבית דריבית

1000⋅1.12=12101000 \cdot 1.1^2 = 1210

שתי עליות של 10%

שתי הנחות של 10% אינן הנחה של 20%: ההנחה השנייה קטנה יותר, כי היא נמדדת ממחיר נמוך יותר.

Check the answer on elev

Exercise 24

התאימו לכל שינוי את מקדם ההכפלה שלו.

  • הנחה של 30%
  • התייקרות של 30%
  • הנחה של 3%
  • התייקרות של 3%
  • 0.70.7
  • 0.970.97
  • 1.031.03
  • 1.31.3
Show the answer and the solution

Answer: הנחה של 30% — 0.70.7 · התייקרות של 30% — 1.31.3 · הנחה של 3% — 0.970.97 · התייקרות של 3% — 1.031.03

Worked solution:

1−0.3=0.7 1+0.3=1.3\begin{aligned}1 - 0.3 &= 0.7 \\ \ 1 + 0.3 &= 1.3\end{aligned}

30% — מורידים מ-1 או מוסיפים ל-1

1−0.03=0.97 1+0.03=1.03\begin{aligned}1 - 0.03 &= 0.97 \\ \ 1 + 0.03 &= 1.03\end{aligned}

3% הם 0.03, לא 0.3

התייקרות מוסיפה את האחוז ל-1, והנחה מורידה אותו מ-1. שימו לב ש-3% הם 0.030.03.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade