Statistics and probability

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שני נושאים בפרק אחד, ושניהם נותנים נקודות קלות בבגרות אם השיטה מסודרת.

שלושת המדדים

xˉ\bar{x}

ממוצע — סכום חלקי כמות. מושפע מכל ערך, כולל חריגים.

MeMe

חציון — הערך האמצעי אחרי סידור. חסין לערכים חריגים.

MoMo

שכיח — הערך שחוזר הכי הרבה.

לפני שמחפשים חציון — מסדרים את הנתונים. וכשמספר הנתונים זוגי, החציון הוא ממוצע שני האמצעיים.

הסתברות

P=knP = \frac{k}{n}

כאשר kk הוא מספר המקרים הרצויים ו-nn הוא מספר המקרים האפשריים.

ההסתברות היא תמיד מספר בין 0 ל-1. אם יצאה גדולה מ-1 — יש טעות, בלי לבדוק כלום נוסף.

שתי מילים שקובעות הכול

×\times

«וגם» — שני אירועים שקורים יחד. מכפילים.

++

«או» — אחד או השני. מחברים.

שתי טיסות

ההסתברות לטוס לארצות הברית היא 15\frac{1}{5}, ולדובאי 17\frac{1}{7}.

15×17=135\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{35}

לטוס לשתיהן — «וגם»

15+17=1235\frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{12}{35}

לטוס לאחת מהן — «או»

שימו לב לכיוון: ה«וגם» יוצא קטן משניהם (קשה יותר ששניהם יקרו), וה«או» יוצא גדול משניהם. זו בדיקת היגיון מיידית.

שתי הטעויות של הפרק.

חציון של 9, 4, 7\text{חציון של } 9,\ 4,\ 7
קודם לסדר: 4, 7, 9\text{קודם לסדר: } 4,\ 7,\ 9

החציון הוא 7, ולא 4. בלי סידור אין חציון.

P=1.4P = 1.4
0≤P≤10 \leq P \leq 1

הסתברות לעולם אינה גדולה מ-1.

בנתונים 4, 5, 5, 6, 60 — הממוצע או החציון מייצג טוב יותר?

Show the answer and the solution

החציון (5). הממוצע 16 נגרר אחרי ה-60 החריג. ערך קיצוני מזיז ממוצע, לא חציון.

Exercises

Exercise 1

מהו הממוצע של 4, 6, 8, 10?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

28:4=728 : 4 = 7

סכום חלקי כמות

בין 4 ל-10 — הגיוני.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו החציון של 9, 4, 7?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

4, 7, 94,\ 7,\ 9

קודם מסדרים

77

האמצעי

בלי סידור אין חציון.

Check the answer on elev

Exercise 3

מהו החציון של 2, 4, 6, 10?

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

(4+6):2=5(4 + 6) : 2 = 5

מספר זוגי — ממוצע שני האמצעיים

החציון לא חייב להיות אחד הנתונים.

Check the answer on elev

Exercise 4

הסתברות לטוס לארה״ב 15\frac{1}{5}, לדובאי 17\frac{1}{7}. מהי ההסתברות לטוס לשתיהן? כתבו את המכנה.

Show the answer and the solution

Answer: 35

Worked solution:

15×17=135\frac{1}{5} \times \frac{1}{7} = \frac{1}{35}

«וגם» — כפל

התוצאה קטנה משתיהן — קשה יותר ששניהם יקרו.

Check the answer on elev

Exercise 5

איזו הסתברות אינה אפשרית?

  1. 11
  2. 1.41.4
  3. 00
  4. 0.750.75
Show the answer and the solution

Answer: B 1.41.4

Worked solution:

0≤P≤10 \leq P \leq 1

התחום

הסתברות גדולה מ-1 היא סימן ודאי לטעות.

Check the answer on elev

Exercise 6

חשבו את הממוצע של הציונים 4, 7, 9, 12, 8:

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

4+7+9+12+85=405=8\begin{aligned}\frac{4+7+9+12+8}{5} &= \frac{40}{5} \\ &= 8\end{aligned}

סכום חלקי כמות

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו החציון של 3, 9, 5, 7, 11?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

3,5,7,9,113, 5, \mathbf{7}, 9, 11

ממיינים — ולוקחים את האמצעי

החציון דורש מיון קודם. בלי מיון, ה-5 שבאמצע הרשימה מטעה.

Check the answer on elev

Exercise 8

ברשימה 2, 5, 5, 5, 8, 9 — מהו השכיח?

  1. 5
  2. 8
  3. 9
  4. 2
Show the answer and the solution

Answer: A 5

Worked solution:

5,5,55, 5, 5

הערך שמופיע הכי הרבה

Check the answer on elev

Exercise 9

ברשימה 3, 6, 8, 11:

הטווח הוא הגדול פחות הקטן: ____.

Show the answer and the solution

Answer: הטווח הוא הגדול פחות הקטן: 8.

Worked solution:

11−3=811 - 3 = 8

טווח — מרחק הקצוות

Check the answer on elev

Exercise 10

אם מוסיפים לרשימה ערך אחד גדול מאוד, הממוצע משתנה — אבל החציון כמעט לא זז.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

1,1,1,1,100\text{1,1,1,1,100}

ממוצע 20.8 — חציון 1

זו הסיבה שמדווחים שכר חציוני: עשיר אחד לא מזיז אותו.

Check the answer on elev

Exercise 11

בכיתה 25 תלמידים, והממוצע שלהם במבחן היה 72. חמישה תלמידים שהיו חולים נבחנו מאוחר יותר, והממוצע שלהם היה 84. מהו הממוצע של כל 30 התלמידים?

Show the answer and the solution

Answer: 74

Worked solution:

25⋅72=180025 \cdot 72 = 1800

סכום הציונים של הקבוצה הראשונה

5⋅84=4205 \cdot 84 = 420

סכום הציונים של הקבוצה השנייה

xˉ=1800+42030=222030=74\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{1800 + 420}{30} \\ &= \frac{2220}{30} \\ &= 74\end{aligned}

סכום כולל חלקי מספר כולל

לא מחשבים 72+842=78\frac{72 + 84}{2} = 78: בקבוצה הראשונה יש הרבה יותר תלמידים, ולכן היא «מושכת» את הממוצע אליה.

Check the answer on elev

Exercise 12

אלה הציונים של 10 תלמידים: 65, 80, 72, 90, 55, 80, 68, 95, 74, 80. מהו החציון?

Show the answer and the solution

Answer: 77

Worked solution:

55, 65, 68, 72, 74, 80, 80, 80, 90, 9555,\ 65,\ 68,\ 72,\ \mathbf{74},\ \mathbf{80},\ 80,\ 80,\ 90,\ 95

קודם מסדרים

Me=74+802=77\begin{aligned}Me &= \frac{74 + 80}{2} \\ &= 77\end{aligned}

10 נתונים — ממוצע של הנתון החמישי והנתון השישי

מספר הנתונים זוגי, ולכן יש שני אמצעיים. החציון 77 אינו אחד הציונים, וזה בסדר.

Check the answer on elev

Exercise 13

בקופסה 5 כדורים אדומים, 7 כדורים כחולים ו-8 כדורים ירוקים. מוציאים כדור אחד באקראי. מהי ההסתברות שהכדור אינו כחול?

Show the answer and the solution

Answer: 0.65

Worked solution:

n=5+7+8=20\begin{aligned}n &= 5 + 7 + 8 \\ &= 20\end{aligned}

כל המקרים האפשריים

k=5+8=13\begin{aligned}k &= 5 + 8 \\ &= 13\end{aligned}

המקרים הרצויים: אדום או ירוק

P=1320=0.65\begin{aligned}P &= \frac{13}{20} \\ &= 0.65\end{aligned}

רצויים חלקי אפשריים

אפשר גם בדרך המשלים: ההסתברות לכחול היא 720=0.35\frac{7}{20} = 0.35, ו-1−0.35=0.651 - 0.35 = 0.65.

Check the answer on elev

Exercise 14

במפעל שתי מכונות שפועלות באופן בלתי תלוי. ההסתברות שמכונה A תקינה היא 0.9, וההסתברות שמכונה B תקינה היא 0.8. מהי ההסתברות ששתי המכונות תקינות?

Show the answer and the solution

Answer: 0.72

Worked solution:

P=0.9×0.8P = 0.9 \times 0.8

«וגם» — מכפילים

=0.72= 0.72

התוצאה קטנה משתי ההסתברויות

קשה יותר ששתי המכונות יהיו תקינות מאשר שאחת מהן תהיה תקינה, ולכן התוצאה קטנה מ-0.8 ומ-0.9.

Check the answer on elev

Exercise 15

בשקית 4 סוכריות בטעם תות, 6 בטעם לימון ו-10 בטעם מנטה. מוציאים סוכרייה אחת באקראי. מהי ההסתברות שהיא בטעם תות או בטעם לימון?

  1. 0.060.06
  2. 0.50.5
  3. 0.20.2
  4. 0.30.3
Show the answer and the solution

Answer: B 0.50.5

Worked solution:

P(תות)=420 P(לימון)=620\begin{aligned}P(\text{תות}) &= \frac{4}{20} \\ \ P(\text{לימון}) &= \frac{6}{20}\end{aligned}

ההסתברות של כל טעם

420+620=1020=0.5\begin{aligned}\frac{4}{20} + \frac{6}{20} &= \frac{10}{20} \\ &= 0.5\end{aligned}

«או» — מחברים

סוכרייה אחת לא יכולה להיות גם תות וגם לימון, ולכן מחברים. התשובה 0.060.06 היא מכפלה — הטעות של «או».

Check the answer on elev

Exercise 16

מצאו את החציון של הנתונים 12, 5, 9, 3, 7. שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

5 נתונים⇒החציון הוא הנתון השלישי5 \text{ נתונים} \Rightarrow \text{החציון הוא הנתון השלישי}
12, 5, 9, 3, 712,\ 5,\ \mathbf{9},\ 3,\ 7
Me=7Me = 7
Show the answer and the solution

Answer: 12, 5, 9, 3, 712,\ 5,\ \mathbf{9},\ 3,\ 7 → 3, 5, 7, 9, 123,\ 5,\ \mathbf{7},\ 9,\ 12

Worked solution:

3, 5, 7, 9, 123,\ 5,\ 7,\ 9,\ 12

קודם מסדרים מהקטן לגדול

Me=7Me = 7

הנתון השלישי ברשימה המסודרת

השורה השנייה לוקחת את האמצעי של הרשימה כפי שנכתבה, בלי לסדר. בלי סידור אין חציון.

Check the answer on elev

Exercise 17

במרוץ ההסתברות שדני יגיע ראשון היא 0.2, וההסתברות שיוסי יגיע ראשון היא 0.3. מהי ההסתברות שאחד משניהם יגיע ראשון? שורה אחת בפתרון שגויה — מצאו אותה:

שניהם לא יכולים להגיע ראשונים יחד\text{שניהם לא יכולים להגיע ראשונים יחד}
P=0.2×0.3P = 0.2 \times 0.3
P=0.5P = 0.5
Show the answer and the solution

Answer: P=0.2×0.3P = 0.2 \times 0.3 → P=0.2+0.3P = 0.2 + 0.3

Worked solution:

P=0.2+0.3P = 0.2 + 0.3

«או» — מחברים

P=0.5P = 0.5

התוצאה גדולה משתי ההסתברויות

השאלה היא דני או יוסי, ולכן מחברים. המכפלה 0.06 קטנה משתיהן — זו התוצאה של «וגם», ובדיקת ההיגיון מגלה את הטעות.

Check the answer on elev

Exercise 18

הנתונים: 4, 9, 5, 9, 10, 3, 9, 7. השלימו:

השכיח הוא ____, החציון הוא ____, והממוצע הוא ____.

Show the answer and the solution

Answer: השכיח הוא 9, החציון הוא 8, והממוצע הוא 7.

Worked solution:

3, 4, 5, 7, 9, 9, 9, 103,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9,\ 9,\ 9,\ 10

מסדרים

Mo=9Mo = 9

9 מופיע שלוש פעמים

Me=7+92=8\begin{aligned}Me &= \frac{7 + 9}{2} \\ &= 8\end{aligned}

8 נתונים — ממוצע של הרביעי ושל החמישי

xˉ=568=7\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{56}{8} \\ &= 7\end{aligned}

סכום חלקי כמות

שלושה מדדים, שלוש תשובות שונות לאותם נתונים. כל מדד עונה על שאלה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 19

ההסתברות שיירד גשם ביום ראשון היא 0.3, וההסתברות שיירד גשם ביום שני היא 0.4. אין קשר בין שני הימים. השלימו:

ההסתברות שלא יירד גשם ביום ראשון היא ____, ושלא יירד גשם ביום שני היא ____. ההסתברות שלא יירד גשם באף אחד משני הימים היא ____.

Show the answer and the solution

Answer: ההסתברות שלא יירד גשם ביום ראשון היא 0.7, ושלא יירד גשם ביום שני היא 0.6. ההסתברות שלא יירד גשם באף אחד משני הימים היא 0.42.

Worked solution:

1−0.3=0.71 - 0.3 = 0.7

המשלים של גשם ביום ראשון

1−0.4=0.61 - 0.4 = 0.6

המשלים של גשם ביום שני

0.7×0.6=0.420.7 \times 0.6 = 0.42

יבש ביום ראשון «וגם» ביום שני — מכפילים

«באף אחד מהימים» פירושו יבש ביום הראשון וגם יבש ביום השני. לכן מכפילים את שתי ההסתברויות המשלימות.

Check the answer on elev

Exercise 20

מיינו את השאלות לפי הפעולה שמחשבת את ההסתברות.

  • מכפילים («וגם»)
  • מחברים («או»)
  • מוציאים כדור אחד מקופסה: הכדור אדום או כחול
  • מטילים מטבע וקובייה: «עץ» במטבע וגם מספר זוגי בקובייה
  • מטילים קובייה אחת: יוצא 1 או יוצא 2
  • מטילים קובייה פעמיים: 6 בשתי ההטלות
  • שני תלמידים נבחנים באופן בלתי תלוי: שניהם עוברים
Show the answer and the solution

Answer: מטילים קובייה פעמיים: 6 בשתי ההטלות — מכפילים («וגם») · מוציאים כדור אחד מקופסה: הכדור אדום או כחול — מחברים («או») · מטילים מטבע וקובייה: «עץ» במטבע וגם מספר זוגי בקובייה — מכפילים («וגם») · מטילים קובייה אחת: יוצא 1 או יוצא 2 — מחברים («או») · שני תלמידים נבחנים באופן בלתי תלוי: שניהם עוברים — מכפילים («וגם»)

Worked solution:

×\times

שני מאורעות שקורים יחד: שתי הטלות, מטבע וקובייה, שני תלמידים

++

תוצאה אחת מתוך כמה תוצאות שלא יכולות לקרות יחד: צבע של כדור אחד, מספר בהטלה אחת

שואלים: האם צריך ששני הדברים יקרו (וגם), או שמספיק שאחד מהם יקרה (או)?

Check the answer on elev

Exercise 21

בנתונים 2, 4, 4, 7, 9 מחליפים את 9 ב-30. מיינו את המדדים: אילו משתנים ואילו לא?

  • משתנה
  • לא משתנה
  • החציון
  • הטווח
  • הממוצע
  • השכיח
Show the answer and the solution

Answer: הממוצע — משתנה · החציון — לא משתנה · השכיח — לא משתנה · הטווח — משתנה

Worked solution:

xˉ:5.2→9.4, טווח:7→28\bar{x}: 5.2 \to 9.4,\ \text{טווח}: 7 \to 28

הממוצע והטווח משתמשים בערך הגדול — הם משתנים

Me=4 Mo=4\begin{aligned}Me &= 4 \\ \ Mo &= 4\end{aligned}

האמצעי והערך שחוזר לא זזים

ערך קיצוני מזיז את הממוצע ואת הטווח. החציון והשכיח לא מושפעים ממנו.

Check the answer on elev

Exercise 22

מיינו את המספרים: איזה מהם יכול להיות הסתברות?

  • הסתברות אפשרית
  • לא ייתכן
  • −0.2-0.2
  • 38\frac{3}{8}
  • 75\frac{7}{5}
  • 0.070.07
  • 1.051.05
  • 11
Show the answer and the solution

Answer: 0.070.07 — הסתברות אפשרית · 75\frac{7}{5} — לא ייתכן · −0.2-0.2 — לא ייתכן · 11 — הסתברות אפשרית · 38\frac{3}{8} — הסתברות אפשרית · 1.051.05 — לא ייתכן

Worked solution:

0≤P≤10 \leq P \leq 1

ההסתברות היא תמיד בין 0 ל-1

75=1.4>1 1.05>1 −0.2<0\begin{aligned}\frac{7}{5} &= 1.4 > 1 \\ \ 1.05 > 1 \\ \ -0.2 < 0\end{aligned}

מחוץ לתחום — לא ייתכן

הסתברות 1 היא מאורע ודאי, והיא אפשרית. שבר שהמונה שלו גדול מהמכנה גדול מ-1, ולכן אינו הסתברות.

Check the answer on elev

Exercise 23

מטילים קובייה רגילה פעם אחת. התאימו לכל מאורע את ההסתברות שלו.

  • יוצא מספר זוגי
  • יוצא מספר גדול מ-4
  • יוצא 6
  • יוצא מספר קטן מ-7
  • יוצא 7
  • 12\frac{1}{2}
  • 13\frac{1}{3}
  • 16\frac{1}{6}
  • 00
  • 11
Show the answer and the solution

Answer: יוצא מספר זוגי — 12\frac{1}{2} · יוצא מספר גדול מ-4 — 13\frac{1}{3} · יוצא 6 — 16\frac{1}{6} · יוצא מספר קטן מ-7 — 11 · יוצא 7 — 00

Worked solution:

36=12\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

זוגי: 2, 4, 6

26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

גדול מ-4: 5, 6

66=1 06=0\begin{aligned}\frac{6}{6} &= 1 \\ \ \frac{0}{6} &= 0\end{aligned}

כל התוצאות קטנות מ-7, ואף אחת אינה 7

בכל מאורע סופרים את המקרים הרצויים ומחלקים ב-6, מספר המקרים האפשריים.

Check the answer on elev

Exercise 24

הנתונים: 2, 2, 3, 5, 6, 24. סדרו את הערכים מהקטן לגדול.

  • החציון
  • הטווח
  • הממוצע
  • הנתון הגדול ביותר
  • השכיח
Show the answer and the solution

Answer: השכיח · החציון · הממוצע · הטווח · הנתון הגדול ביותר

Worked solution:

Mo=2Mo = 2

2 מופיע פעמיים

Me=3+52=4\begin{aligned}Me &= \frac{3 + 5}{2} \\ &= 4\end{aligned}

ממוצע של שני האמצעיים

xˉ=426=7\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{42}{6} \\ &= 7\end{aligned}

סכום חלקי כמות

24−2=2224 - 2 = 22

הטווח

2424

הנתון הגדול ביותר

הנתון החריג 24 מושך את הממוצע למעלה, הרחק מהחציון. הטווח קטן מהנתון הגדול ביותר, כי מחסירים ממנו את הקטן.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade