Factoring and algebraic fractions · Algebraic technique, equations and inequalities · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ב-4 יחידות כמעט כל תרגיל אלגברי מתחיל באותו צעד: פירוק לגורמים. בלעדיו אי אפשר לצמצם, לפתור משוואה ריבועית או אי-שוויון, ולא למצוא תחום הגדרה. לפני הכללים, הסתכלו על הלבנים: מה נמצא בשתי הערמות?

שלוש דרכי פירוק

ab + ac = a(b + c)

גורם משותף — תמיד בודקים אותו ראשון.

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

הפרש ריבועים — מזהים לפי המינוס בין שני ריבועים.

x^2 + bx + c = (x+p)(x+q)

טרינום — מחפשים שני מספרים שמכפלתם $c$ וסכומם $b$ .

פרקו לגורמים: $5x^2 - 20x$

Show the answer and the solution

הגורם המשותף הוא $5x$ : $5x^2 - 20x = 5x(x - 4)$ . בדיקה בפתיחת סוגריים: $5x \cdot x - 5x \cdot 4$ ✓

סדר עבודה קבוע: קודם גורם משותף, ורק אחר כך זהות או טרינום. ב- $2x^2 - 8$ מוציאים $2$ ומקבלים $2(x^2 - 4)$ , ורק אז הפרש ריבועים: $2(x-2)(x+2)$ .

טרינום — שני מספרים, מכפלה וסכום

פירוק מלא, שלב אחרי שלב

פרקו לגורמים: $3x^2 - 12x + 12$ .

3(x^2 - 4x + 4)

קודם גורם משותף $3$

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2

זהות: $a^2 - 2ab + b^2$ עם $a = x$ , $b = 2$

3(x - 2)^2

הפירוק המלא

3(x^2 - 4x + 4) = 3x^2 - 12x + 12

בדיקה בפתיחת סוגריים ✓

פרקו לגורמים: $x^2 + 2x - 15$

Show the answer and the solution

מכפלה $-15$ , סכום $2$ : המספרים הם $5$ ו- $-3$ . לכן $(x + 5)(x - 3)$ . בדיקה: $5 \cdot (-3) = -15$ ו- $5 + (-3) = 2$ ✓

שברים אלגבריים

מצמצמים רק גורמים של כפל, לעולם לא איברים של סכום. לכן חייבים לפרק את המונה ואת המכנה לפני שנוגעים בשבר. ולפני הצמצום רושמים את תחום ההגדרה: המכנה המקורי אסור שיתאפס.

צמצום שבר אלגברי

צמצמו: $\dfrac{x^2 - 2x}{x^2 - 4}$ , ורשמו את תחום ההגדרה.

x^2 - 4 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 2 ,\ x \neq -2

תחום ההגדרה, מהמכנה המקורי

\frac{x(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)}

גורם משותף במונה, הפרש ריבועים במכנה

= \frac{x}{x + 2}

מצמצמים את הגורם $x - 2$

\begin{aligned}x &= 3: \ \frac{9 - 6}{9 - 4} \\ &= \frac{3}{5} \\ \quad \frac{3}{5}\end{aligned}

בדיקה במספר ✓

חיבור שברים אלגבריים

חשבו: $\dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{1}{x}$ .

x \neq 2 ,\ x \neq 0

תחום ההגדרה

\frac{3x}{x(x - 2)} - \frac{x - 2}{x(x - 2)}

מכנה משותף $x(x - 2)$ : מרחיבים כל שבר

= \frac{3x - (x - 2)}{x(x - 2)} = \frac{2x + 2}{x(x - 2)}

המינוס חל על כל המונה $x - 2$

שלוש הטעויות של הפרק.

\frac{x + 3}{3} = x

\text{לא ניתן לצמצום}

המונה הוא סכום ואין בו גורם משותף עם $3$ . בדיקה: $x = 3$ נותן $2 \neq 3$ .

(x - 2)^2 = x^2 - 4

(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4

ריבוע של הפרש אינו הפרש ריבועים. האיבר האמצעי $-2 \cdot x \cdot 2$ אינו רשות.

\frac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3

\begin{aligned}\frac{x^2 - 9}{x - 3} &= x + 3 \\ \ x \neq 3\end{aligned}

הצמצום נכון, אבל תחום ההגדרה נקבע לפי המכנה לפני הצמצום.

Exercises

Exercise 1

פרקו לגורמים באופן מלא: $2x^2 - 8$

$(2x-4)(x+2)$
$2(x-4)(x+2)$
$2(x-2)(x+2)$
$2(x^2-8)$

Show the answer and the solution

Answer: C $2(x-2)(x+2)$

Worked solution:

2(x^2 - 4)

קודם גורם משותף

2(x-2)(x+2)

ואז הפרש ריבועים

תמיד גורם משותף ראשון.

Check the answer on elev

Exercise 2

פתחו: $(x - 5)^2$

$x^2 - 10x - 25$
$x^2 + 25$
$x^2 - 25$
$x^2 - 10x + 25$

Show the answer and the solution

Answer: D $x^2 - 10x + 25$

Worked solution:

a^2 - 2ab + b^2

הזהות

x^2 - 10x + 25

מציבים

האיבר האמצעי הוא פי שניים המכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 3

איך מפרקים את $x^2 - 9$ ?

$(x-9)(x+1)$
אי אפשר לפרק
$(x-3)(x+3)$
$(x-3)^2$

Show the answer and the solution

Answer: C $(x-3)(x+3)$

Worked solution:

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

הפרש ריבועים

Check the answer on elev

Exercise 4

פרקו לגורמים: $x^2 - 7x + 12$

$(x - 2)(x - 6)$
$(x - 12)(x + 1)$
$(x + 3)(x + 4)$
$(x - 3)(x - 4)$

Show the answer and the solution

Answer: D $(x - 3)(x - 4)$

Worked solution:

\begin{aligned}(-3) \cdot (-4) &= 12 \\ \quad (-3) + (-4) &= -7\end{aligned}

מכפלה $c$ , סכום $b$

(x - 3)(x - 4)

הפירוק

הנכונה: $(x - 3)(x - 4)$ . ב- $(x + 3)(x + 4)$ הסכום הוא $+7$ , סימן הפוך. ב- $(x - 2)(x - 6)$ המכפלה נכונה אבל הסכום $-8$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

פתחו לפי הזהות: $(x + 4)^2$ =

x בריבוע ועוד ____x ועוד ____.

Show the answer and the solution

Answer: x בריבוע ועוד 8x ועוד 16.

Worked solution:

(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16

האיבר האמצעי — כפליים המכפלה

Check the answer on elev

Exercise 6

שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

(a + b)^2

= a^2 + b^2

Show the answer and the solution

Answer: $= a^2 + b^2$ → $= a^2 + 2ab + b^2$

Worked solution:

(3+4)^2 = 49 \ne 9 + 16

האיבר האמצעי איננו רשות

הבדיקה המספרית הורגת את הטעות מיד: 49 מול 25.

Check the answer on elev

Exercise 7

צמצמו: $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$

$x + 3$
לא ניתן לצמצום
$x - 3$
$x^2 - 3$

Show the answer and the solution

Answer: C $x - 3$

Worked solution:

\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}

הפרש ריבועים

x - 3

מצמצמים

x \neq -3

תחום הגדרה

רק אחרי הפירוק יש גורם משותף.

Check the answer on elev

Exercise 8

בשבר $\frac{x+1}{x^2 - 4}$ , כמה ערכים של $x$ אסורים?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

x^2 - 4 = 0

מאפסים את המכנה

\begin{aligned}x &= 2 \ \\ \ x &= -2\end{aligned}

שני ערכים

שניהם מאפסים את המכנה.

Check the answer on elev

Exercise 9

צמצמו: $\dfrac{x^2 + 6x + 9}{x^2 - 9}$ . השלימו את המונה ואת המכנה של השבר המצומצם.

המונה: $x +$ ____ , המכנה: $x -$ ____

Show the answer and the solution

Answer: המונה: $x +$ 3 , המכנה: $x -$ 3

Worked solution:

x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

זהות במונה

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

הפרש ריבועים במכנה

\frac{(x + 3)^2}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x + 3}{x - 3}

מצמצמים $x + 3$ פעם אחת

x \neq 3 ,\ x \neq -3

תחום ההגדרה

מצמצמים גורם $x + 3$ אחד: במונה הוא מופיע פעמיים, ואחד נשאר. תחום ההגדרה נקבע לפי המכנה המקורי.

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו את $(x + 3)^2$ עבור $x = 2$ :

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

\begin{aligned}(2+3)^2 &= 5^2 \\ &= 25\end{aligned}

קודם הסוגריים

Check the answer on elev

שלוש דרכי פירוק

טרינום — שני מספרים, מכפלה וסכום

שברים אלגבריים

Exercises

Keep practising on elev