Set 5 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שתי שאלות בנוסח הבגרות, מחולקות לסעיפים: פרבולה וישר בגרף, ושבר אלגברי שמצמצמים ואז פותרים. ועוד שלוש שאלות קצרות: משוואה אי-רציונלית, דו-ריבועית, ושורשים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, וכולם על אותם נתונים.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: הצעד, החישוב, והבדיקה. סעיף שנשען על סעיף קודם — הפנו אליו: «לפי סעיף א, נקודות המפגש הן...».

Exercises

Exercise 1

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. א. מצאו את נקודות המפגש של שני הגרפים. רשמו קודם את הנקודה עם ה-xx הקטן.

( ____ , ____ ) ו-( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: ( -1 , 0 ) ו-( 4 , 5 )

Worked solution:

x2−2x−3=x+1 ⇒ x2−3x−4=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= x + 1 \ \Rightarrow \ x^2 - 3x - 4 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים אגף

(x−4)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=4\begin{aligned}(x - 4)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

מפרקים

x=−1 ⇒ y=0x=4 ⇒ y=5\begin{aligned}x &= -1 \ \Rightarrow \ y \\ &= 0 \\ \qquad x &= 4 \ \Rightarrow \ y \\ &= 5\end{aligned}

מציבים בישר

הגרף מאשר: (−1, 0)(-1,\,0) על ציר ה-xx, ו-(4, 5)(4,\,5) למעלה מימין. תשובה שלא מתאימה לגרף היא סימן לטעות סימן.

Check the answer on elev

Exercise 2

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. ב. עבור אילו ערכי xx מתקיים f(x)<g(x)f(x) < g(x)?

  1. −1<x<3-1 < x < 3
  2. x<−1x < -1 או x>4x > 4
  3. x<4x < 4
  4. −1<x<4-1 < x < 4
Show the answer and the solution

Answer: D −1<x<4-1 < x < 4

Worked solution:

x=−1 x=4\begin{aligned}x &= -1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

נקודות המפגש, לפי סעיף א

−1<x<4-1 < x < 4

הישר מעל הפרבולה בין המפגשים

x=0: f(0)=−3<g(0)=1\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= -3 < g(0) \\ &= 1\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: −1<x<4-1 < x < 4. −1<x<3-1 < x < 3 עונה על «איפה ff שלילית», שאלה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 3

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. ג. עבור אילו ערכי xx מתקיים f(x)<0f(x) < 0?

  1. x<3x < 3
  2. x<−1x < -1 או x>3x > 3
  3. −1<x<3-1 < x < 3
  4. −1<x<4-1 < x < 4
Show the answer and the solution

Answer: C −1<x<3-1 < x < 3

Worked solution:

x2−2x−3=(x−3)(x+1)=0 ⇒ x=−1 x=3\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= (x - 3)(x + 1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

חיתוך ff עם ציר ה-xx

−1<x<3-1 < x < 3

פתוחה כלפי מעלה: שלילית בין השורשים

הנכונה: −1<x<3-1 < x < 3. הפעם משווים את ff לציר ה-xx, לא ל-gg: השורשים −1-1 ו-33, ולא נקודות המפגש −1-1 ו-44.

Check the answer on elev

Exercise 4

f(x) = x² − 2x − 3 (כחול) ו-g(x) = x + 1 (כתום)

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3 ו-g(x)=x+1g(x) = x + 1, המשורטטות בגרף. ד. עבור איזה ערך של kk לישר y=ky = k ולפרבולה ff יש נקודה משותפת אחת בדיוק?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

x2−2x−3=k ⇒ x2−2x−(3+k)=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= k \ \Rightarrow \ x^2 - 2x - (3 + k) \\ &= 0\end{aligned}

משווים

4+4(3+k)=0 ⇒ 16+4k=0 ⇒ k=−4\begin{aligned}4 + 4(3 + k) &= 0 \ \Rightarrow \ 16 + 4k \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -4\end{aligned}

פתרון אחד: דיסקרימיננטה אפס

f(1)=1−2−3=−4\begin{aligned}f(1) &= 1 - 2 - 3 \\ &= -4\end{aligned}

בדיקה: זה ערך הקודקוד, ב-x=1x = 1 ✓

ישר אופקי פוגש פרבולה בנקודה אחת רק כשהוא עובר בקודקוד. מתחת לקודקוד אין מפגש, מעליו שניים.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתון הביטוי x2−16x2−8x+16\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}. א. איזה ערך של xx אסור?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x2−8x+16=(x−4)2x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2

המכנה: ריבוע של הפרש

(x−4)2≠0 ⇒ x≠4(x - 4)^2 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 4

ערך אחד אסור

המכנה הוא ריבוע מושלם, ולכן יש לו שורש אחד בלבד. מי שענה ±4\pm 4 קרא אותו כהפרש ריבועים.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתון הביטוי x2−16x2−8x+16\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}. ב. צמצמו את הביטוי.

  1. x+4(x−4)2\dfrac{x + 4}{(x - 4)^2}
  2. −16−8x+16\dfrac{-16}{-8x + 16}
  3. x−4x+4\dfrac{x - 4}{x + 4}
  4. x+4x−4\dfrac{x + 4}{x - 4}
Show the answer and the solution

Answer: D x+4x−4\dfrac{x + 4}{x - 4}

Worked solution:

x2−16=(x−4)(x+4)x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)

הפרש ריבועים במונה

(x−4)(x+4)(x−4)2=x+4x−4\frac{(x - 4)(x + 4)}{(x - 4)^2} = \frac{x + 4}{x - 4}

מצמצמים גורם x−4x - 4 אחד

הנכונה: x+4x−4\frac{x + 4}{x - 4}. −16−8x+16\frac{-16}{-8x + 16} «צמצמה» את x2x^2, איבר של סכום. בדיקה ב-x=0x = 0: −1616=−1\frac{-16}{16} = -1 ו-4−4=−1\frac{4}{-4} = -1 ✓

Check the answer on elev

Exercise 7

נתון הביטוי x2−16x2−8x+16\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}. ג. פתרו: x2−16x2−8x+16=3\dfrac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16} = 3

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

x+4x−4=3\frac{x + 4}{x - 4} = 3

לפי סעיף ב

x+4=3(x−4) ⇒ x+4=3x−12 ⇒ x=8\begin{aligned}x + 4 &= 3(x - 4) \ \Rightarrow \ x + 4 \\ &= 3x - 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

כופלים ב-x−4x - 4, מותר כי x≠4x \neq 4

64−1664−64+16=4816=3\begin{aligned}\frac{64 - 16}{64 - 64 + 16} &= \frac{48}{16} \\ &= 3\end{aligned}

בדיקה בביטוי המקורי ✓

x=8x = 8 בתחום (סעיף א). הצמצום מסעיף ב הפך משוואה ריבועית למשוואה ממעלה ראשונה.

Check the answer on elev

Exercise 8

פתרו: x+10=x−2\sqrt{x + 10} = x - 2

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

x+10=x2−4x+4x + 10 = x^2 - 4x + 4

מעלים בריבוע: (x−2)2(x - 2)^2 לפי הזהות

x2−5x−6=0 ⇒ (x−6)(x+1)=0\begin{aligned}x^2 - 5x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 6)(x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

מועמדים 66 ו-−1-1

x=6: 16=4=6−2 ✓x=−1: 9=3≠−3\begin{aligned}x &= 6: \ \sqrt{16} \\ &= 4 \\ &= 6 - 2 \ \checkmark \qquad x \\ &= -1: \ \sqrt{9} \\ &= 3 \neq -3\end{aligned}

בדיקה: x=−1x = -1 נפסל

אגף ימין x−2x - 2 חייב להיות אי-שלילי: x≥2x \geq 2. זה פוסל את x=−1x = -1 עוד לפני ההצבה, אבל ההצבה היא מה שכותבים בבחינה.

Check the answer on elev

Exercise 9

פתרו: x4−17x2+16=0x^4 - 17x^2 + 16 = 0

  1. x=±2x = \pm 2 או x=±8x = \pm 8
  2. x=±4x = \pm 4
  3. x=±1x = \pm 1 או x=±4x = \pm 4
  4. x=1x = 1 או x=16x = 16
Show the answer and the solution

Answer: C x=±1x = \pm 1 או x=±4x = \pm 4

Worked solution:

t=x2: t2−17t+16=0 ⇒ (t−1)(t−16)=0\begin{aligned}t &= x^2: \ t^2 - 17t + 16 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (t - 1)(t - 16) \\ &= 0\end{aligned}

הצבה ופירוק: מכפלה 1616, סכום 1717

x2=1 ⇒ x=±1x2=16 ⇒ x=±4\begin{aligned}x^2 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 1 \qquad x^2 \\ &= 16 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 4\end{aligned}

חוזרים ל-xx

x=4: 256−272+16=0\begin{aligned}x &= 4: \ 256 - 272 + 16 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה ✓

הנכונה: x=±1x = \pm 1 או x=±4x = \pm 4. «±2\pm 2 או ±8\pm 8» חילקה את tt ב-22 במקום להוציא שורש.

Check the answer on elev

Exercise 10

חשבו: 12⋅2732\dfrac{\sqrt{12} \cdot \sqrt{27}}{3^2}

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

12⋅27=324=18\begin{aligned}\sqrt{12} \cdot \sqrt{27} &= \sqrt{324} \\ &= 18\end{aligned}

שורש של מכפלה: 12⋅27=324=18212 \cdot 27 = 324 = 18^2

189=2\frac{18}{9} = 2

מחלקים ב-32=93^2 = 9

או דרך הוצאת גורמים: 23⋅33=6⋅3=182\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18. שתי הדרכים, אותה תשובה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade