Set 3 — challenging · Special lines of the triangle · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות שמשלבות שניים או שלושה משפטים: התיכון ליתר ואז פיתגורס ואז שטח, חוצה זווית עם היתר, שליש השטח של נקודת מפגש התיכונים, והמשולש שווה השוקיים שבו ארבעת הקווים מתלכדים.

כתבו את שם המשפט בכל שלב, גם כשהחישוב קצר. בשאלת הוכחה, הנימוק הוא התשובה.

Exercises

Exercise 1

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CM$ תיכון ליתר $AB$ . נתון $CM = 10$ ו- $AC = 16$ . חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 96

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot CM \\ &= 20\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}BC &= \sqrt{20^2 - 16^2} \\ &= \sqrt{144} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}S &= \frac{16 \cdot 12}{2} \\ &= 96\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית

$96$ . שלושה משפטים בשלושה שלבים. השטח לא מחושב עם $CM$ : תיכון אינו גובה.

Check the answer on elev

Exercise 2

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, $AB = 15$ ו- $BC = 20$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $DC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12.5

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{225 + 400} \\ &= 25\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{15}{25} \\ &= \frac{3}{5}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}DC &= \frac{5}{8} \cdot 20 \\ &= 12.5\end{aligned}

חמישה חלקים משמונה

$DC = 12.5$ ו- $BD = 7.5$ . שאלו $DC$ , החלק הגדול, ליד היתר.

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $A(2,\,7)$ , $B(-1,\,1)$ , $C(8,\,1)$ מצאו את נקודת מפגש התיכונים $G$ .

$G($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: $G($ 3 $,$ 3 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}D(3.5,\,1) \ \Rightarrow \ m_{AD} &= \frac{1 - 7}{3.5 - 2} \\ &= -4 \ \Rightarrow \ y \\ &= -4x + 15\end{aligned}

התיכון מ- $A$ לאמצע $BC$

\begin{aligned}E(5,\,4) \ \Rightarrow \ m_{BE} &= \frac{4 - 1}{5 + 1} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ y \\ &= \tfrac{1}{2}x + 1.5\end{aligned}

התיכון מ- $B$ לאמצע $AC$

\begin{aligned}-4x + 15 &= \tfrac{1}{2}x + 1.5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ y &= 3\end{aligned}

חיתוך

$G(3,\,3)$ . בדיקה: ממוצע הקודקודים $\frac{2 - 1 + 8}{3} = 3$ ו- $\frac{7 + 1 + 1}{3} = 3$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונות $A(2,\,2)$ ו- $B(8,\,6)$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך של האנך האמצעי של $AB$ עם ציר ה- $y$ .

Show the answer and the solution

Answer: 11.5

Worked solution:

M(5,\,4)

אמצע הקטע

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{6 - 2}{8 - 2} \\ &= \frac{2}{3} \ \Rightarrow \ m_{\perp} \\ &= -\frac{3}{2}\end{aligned}

שיפוע מאונך

\begin{aligned}y - 4 &= -\tfrac{3}{2}(x - 5) \ \Rightarrow \ y \\ &= -\tfrac{3}{2}x + 11.5\end{aligned}

משוואת האנך האמצעי

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 11.5\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $y$

$11.5$ . השיפוע $-\frac{3}{2}$ הוא הנגדי וההופכי של $\frac{2}{3}$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

הוכיחו או הפריכו: במשולש ישר זווית, נקודת מפגש התיכונים ונקודת מפגש האנכים האמצעיים מתלכדות.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

O = M

מפגש האנכים האמצעיים הוא אמצע היתר $M$

CG = \tfrac{2}{3} CM

מפגש התיכונים $G$ נמצא על התיכון $CM$ , בשני שלישים מהדרך מ- $C$

G \neq M

$G$ בתוך המשולש, $M$ על היתר

הטענה לא נכונה. $G$ נמצא על התיכון ליתר, אבל בשני שלישים ממנו, ולא בקצהו. בכל משולש ישר זווית הן שונות.

Check the answer on elev

Exercise 6

שטח המשולש $ABC$ הוא $36$ סמ״ר, ו- $G$ נקודת מפגש התיכונים. $AD$ תיכון. מצאו את שטח המשולש $BGC$ בסמ״ר.

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\frac{GD}{AD} = \frac{1}{3}

נקודת מפגש התיכונים: $GD$ שליש מהתיכון

\begin{aligned}\frac{h_G}{h_A} &= \frac{GD}{AD} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

הגובה מ- $G$ אל $BC$ הוא שליש מהגובה מ- $A$ (משולשים דומים, או תאלס)

\begin{aligned}S_{BGC} &= \frac{BC \cdot h_G}{2} \\ &= \frac{1}{3} S_{ABC} \\ &= 12\end{aligned}

אותו בסיס $BC$ , גובה שליש

$12$ סמ״ר. שלושת המשולשים $BGC$ , $AGC$ ו- $AGB$ שווי שטח, שליש כל אחד: זו הסיבה ש- $G$ היא נקודת האיזון.

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $A(0,\,6)$ , $B(0,\,0)$ , $C(6,\,0)$ , $O$ נקודת המפגש של האנכים האמצעיים. מצאו את $OB$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 4.24

Worked solution:

O(3,\,3)

משולש ישר זווית: $O$ אמצע היתר $AC$

\begin{aligned}OB &= \sqrt{9 + 9} \\ &= \sqrt{18} \\ &= 3\sqrt{2} \approx 4.24\end{aligned}

מרחק מהראשית

$OB = 3\sqrt{2} \approx 4.24$ . התשובה המדויקת היא $3\sqrt{2}$ ; העיגול רק כי השאלה ביקשה.

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ נתון $AB = 7$ , $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מהו $BD$ ?

$5.25$
$\frac{28}{3}$
$6$
$6.75$

Show the answer and the solution

Answer: A $5.25$

Worked solution:

\frac{BD}{DC} = \frac{7}{9}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{7}{16} \cdot 12 \\ &= 5.25\end{aligned}

שבעה חלקים מ- $16$

הנכונה: $5.25$ . $6.75$ הוא $DC$ ; $6$ מניח תיכון; $\frac{28}{3}$ משווה את $BD$ לכל הצלע: $\frac{7}{9} \cdot 12$ . כשמתלבטים: $BD + DC$ חייב לתת $12$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ נתון $AB = AC = 13$ ו- $BC = 10$ . $AD$ הגובה לבסיס, ו- $G$ נקודת מפגש התיכונים. מצאו את $AG$ .

Show the answer and the solution

Answer: 8

Worked solution:

BD = 5

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון

\begin{aligned}AD &= \sqrt{169 - 25} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 12 \\ &= 8\end{aligned}

$AD$ תיכון, ו- $G$ מחלקת אותו ביחס $2:1$

$AG = 8$ . המפתח: הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים הוא גם תיכון, ולכן $G$ נמצאת עליו.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $M$ אמצע היתר $AB$ . הוכיחו: $\angle MCB = \angle MBC$ .

$\angle ACB = 90^\circ$
$AM = MB$

$\angle MCB = \angle MBC$

Show the answer and the solution

$CM$ תיכון ליתר — $M$ אמצע $AB$ , ו- $AB$ היתר
$CM = \frac{AB}{2}$ — במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר
$MB = \frac{AB}{2}$ — $M$ אמצע $AB$
$CM = MB$ — שניהם שווים למחצית $AB$
$\angle MCB = \angle MBC$ — במשולש $MCB$ מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות (משולש שווה שוקיים)

Worked solution:

\begin{aligned}CM &= MB \\ &= \frac{AB}{2}\end{aligned}

התיכון ליתר, ואמצע היתר

\Rightarrow \ \angle MCB = \angle MBC

זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים $MCB$

המשפט על התיכון ליתר יוצר שני משולשים שווי שוקיים, $MCB$ ו- $MCA$ . זה הכלי לכל שאלת זוויות עם אמצע היתר.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev