Set 4 — advanced · Special lines of the triangle · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות במבנה של הבגרות: שאלה עם שני סעיפים במערכת צירים, היקף דרך התיכון ליתר, שטח דרך חוצה הזווית, ואנכים אמצעיים של משולש ישר זווית עם קודקודים נתונים.

בשאלה עם סעיפים, כל סעיף משתמש בתוצאה של הקודם. טעות בסעיף א עוברת הלאה, ולכן בודקים אותו לפני שממשיכים: יחס $2:1$ , סכום הקטעים, פיתגורס.

Exercises

Exercise 1

נתון משולש $A(3,\,9)$ , $B(0,\,0)$ , $C(6,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ , $BE$ תיכון לצלע $AC$ , ו- $G$ נקודת המפגש שלהם. א. מצאו את $AG$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}D(3,\,0) \ \Rightarrow \ AD: \ x &= 3 \\ \quad AD &= 9\end{aligned}

אמצע $BC$ ; התיכון אנכי באורך $9$

\begin{aligned}AG &= \tfrac{2}{3} \cdot 9 \\ &= 6\end{aligned}

היחס $2:1$

$AG = 6$ , ולכן $G(3,\,3)$ . אפשר גם לחתוך עם $BE$ : $E(4.5,\,4.5)$ , $BE: y = x$ , וב- $x = 3$ מקבלים $y = 3$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 2

נתון משולש $A(3,\,9)$ , $B(0,\,0)$ , $C(6,\,0)$ . $AD$ תיכון לצלע $BC$ , $BE$ תיכון לצלע $AC$ , ו- $G$ נקודת המפגש שלהם. ב. מצאו את שיפוע התיכון $BE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

E\left(\frac{3 + 6}{2},\ \frac{9 + 0}{2}\right) = E(4.5,\,4.5)

אמצע $AC$

\begin{aligned}m_{BE} &= \frac{4.5 - 0}{4.5 - 0} \\ &= 1\end{aligned}

שיפוע דרך $B(0,\,0)$

$m = 1$ : התיכון $BE$ הוא הישר $y = x$ , והוא אכן עובר דרך $G(3,\,3)$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, ו- $BM$ תיכון ליתר $AC$ . נתון $BM = 6.5$ ו- $BC = 5$ . חשבו את היקף המשולש $ABC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 6.5 \\ &= 13\end{aligned}

התיכון ליתר שווה למחצית היתר

\begin{aligned}AB &= \sqrt{169 - 25} \\ &= 12\end{aligned}

משפט פיתגורס

\begin{aligned}P &= 5 + 12 + 13 \\ &= 30\end{aligned}

היקף

$30$ . $BM$ לא חלק מההיקף: הוא קטע בתוך המשולש.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש $ABC$ נתון $AB = 12$ , $AC = 18$ ו- $BC = 25$ . $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). מצאו את $BD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{12}{18} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}BD &= \frac{2}{5} \cdot 25 \\ &= 10\end{aligned}

שני חלקים מחמישה

$BD = 10$ ו- $DC = 15$ . מצמצמים את היחס לפני שמחלקים: $12:18 = 2:3$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

שטח המשולש $ABC$ הוא $60$ סמ״ר. $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ), $AB = 10$ ו- $AC = 15$ . מצאו את שטח המשולש $ABD$ בסמ״ר.

Show the answer and the solution

Answer: 24

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{10}{15} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

חוצה זווית מחלק את השטח ביחס הצלעות (הגבהים מ- $D$ אל השוקיים שווים)

\begin{aligned}S_{ABD} &= \frac{2}{5} \cdot 60 \\ &= 24\end{aligned}

שני חלקים מחמישה

$24$ סמ״ר. אפשר גם דרך משפט חוצה הזווית: $\frac{BD}{BC} = \frac{2}{5}$ , ואותו גובה מ- $A$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

$P$ נקודה הנמצאת על האנך האמצעי של $AB$ וגם על האנך האמצעי של $BC$ . הוכיחו או הפריכו: $PA = PC$ .

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

PA = PB

$P$ על האנך האמצעי של $AB$

PB = PC

$P$ על האנך האמצעי של $BC$

PA = PC

שניהם שווים ל- $PB$

הטענה נכונה. וזו בדיוק ההוכחה ששלושת האנכים האמצעיים נפגשים: מ- $PA = PC$ נובע ש- $P$ גם על האנך האמצעי של $AC$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $A(-2,\,0)$ , $B(4,\,0)$ , $C(4,\,8)$ מצאו את נקודת המפגש $O$ של האנכים האמצעיים ואת $OB$ .

$O($ ____ $,$ ____ $)$ , $OB =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $O($ 1 $,$ 4 $)$ , $OB =$ 5

Worked solution:

x = 1

האנך האמצעי של $AB$ : $AB$ אופקי, אמצעו $(1,\,0)$

y = 4

האנך האמצעי של $BC$ : $BC$ אנכי, אמצעו $(4,\,4)$

O(1,\,4)

חיתוך. וזה אמצע היתר $AC$ : $\angle B = 90^\circ$

\begin{aligned}OB &= \sqrt{(4 - 1)^2 + (0 - 4)^2} \\ &= 5\end{aligned}

מרחק בין נקודות

$O(1,\,4)$ ו- $OB = 5$ . בדיקה: $AC = \sqrt{36 + 64} = 10$ , ו- $OB = \frac{AC}{2}$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ , $AD$ חוצה את הזווית $A$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $\frac{BD}{DC} = \frac{2}{3}$ ו- $AB = 10$ . מהו $AC$ ?

$15$
$12$
$20$
$6$

Show the answer and the solution

Answer: A $15$

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \frac{BD}{DC} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית

\begin{aligned}\frac{10}{AC} &= \frac{2}{3} \ \Rightarrow \ AC \\ &= 15\end{aligned}

כפל בהצלבה

הנכונה: $15$ . $BD$ קטן מ- $DC$ , ולכן $AB$ קטן מ- $AC$ : התשובה חייבת להיות גדולה מ- $10$ . $6$ הופך את היחס.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ נפגשים התיכונים $AD$ ו- $BE$ בנקודה $G$ . נתון $GD = 2.5$ ו- $BG = 6$ . מצאו את $BE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\begin{aligned}BG &= \tfrac{2}{3} BE \ \Rightarrow \ BE \\ &= \tfrac{3}{2} \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

$BG$ הוא החלק ליד הקודקוד $B$ , שני שלישים מ- $BE$

$BE = 9$ . $GD = 2.5$ שייך לתיכון האחר, $AD = 7.5$ , והוא לא נחוץ כאן: כל תיכון מחולק בנפרד.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, $AB = 10$ הוא היתר, ו- $CM$ תיכון ליתר. תלמיד חישב את שטח המשולש. שורה אחת שגויה, מצאו אותה ותקנו.

AB = 10

\begin{aligned}CM &= \frac{AB}{2} \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot CM}{2} \\ &= 25\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $S = \frac{AB \cdot CM}{2} = 25$ → $S = \frac{AC \cdot BC}{2}$

Worked solution:

CM = 5

התיכון ליתר, נכון

CM \not\perp AB

אבל תיכון אינו גובה: $CM$ לא מאונך ליתר

S = \frac{AC \cdot BC}{2}

שטח משולש ישר זווית: מחצית מכפלת הניצבים, ואותם לא נתנו

השורה השלישית מציבה תיכון במקום גובה. עם הנתונים האלה בלבד אי אפשר לחשב את השטח: היתר לבדו לא קובע את המשולש.

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev