Set 4 — advanced

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות שמחברות שני רעיונות: משיק לפונקציה מורכבת, משיקים אופקיים, שלושה פרמטרים, קריאת סקיצה, קטע סגור, שגיאה בחקירה, ושטח שהמשיק יוצר עם הצירים.

כל תנאי בשאלה הוא משוואה אחת. ספרו את הנעלמים, ספרו את התנאים, ורק אז התחילו לפתור.

Exercises

Exercise 1

המשיק לגרף f(x)=(2x−1)3f(x) = (2x - 1)^3 בנקודה שבה x=1x = 1 חותך את ציר ה-yy. מהו שיעור ה-yy של נקודת החיתוך?

Show the answer and the solution

Answer: -5

Worked solution:

f(1)=13=1 ⇒ (1, 1)\begin{aligned}f(1) &= 1^3 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ (1,\,1)\end{aligned}

נקודת ההשקה

f′(x)=3(2x−1)2⋅2 ⇒ f′(1)=6\begin{aligned}f'(x) &= 3(2x-1)^2 \cdot 2 \ \Rightarrow \ f'(1) \\ &= 6\end{aligned}

השיפוע, בשני שלבים

y−1=6(x−1) ⇒ y=6x−5\begin{aligned}y - 1 &= 6(x - 1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 6x - 5\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0 ⇒ y=−5\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -5\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy

בלי הכפל ב-22 השיפוע יוצא 33, המשיק y=3x−2y = 3x - 2, והחיתוך −2-2. שלב אחד חסר משנה את כל התשובה.

Check the answer on elev

Exercise 2

באילו נקודות המשיק לגרף f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 הוא אופקי?

  1. (0, 2)(0,\,2) ו-(2, −2)(2,\,-2)
  2. (1, 0)(1,\,0)
  3. (0, 0)(0,\,0) ו-(2, 0)(2,\,0)
  4. (0, 2)(0,\,2) בלבד
Show the answer and the solution

Answer: A (0, 2)(0,\,2) ו-(2, −2)(2,\,-2)

Worked solution:

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

משיק אופקי: שיפוע אפס

f(0)=2f(2)=8−12+2=−2\begin{aligned}f(0) &= 2 \\ \quad f(2) &= 8 - 12 + 2 \\ &= -2\end{aligned}

הגבהים מ-ff

הנכונה: (0, 2)(0,\,2) ו-(2, −2)(2,\,-2). «(0, 0)(0,\,0) ו-(2, 0)(2,\,0)» כתב את ערכי f′f' במקום הגבהים. «(1, 0)(1,\,0)» הוא נקודה על הגרף, אבל שם f′(1)=−3f'(1) = -3.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=ax2+bxf(x) = ax^2 + bx. שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x=1x = 1 הוא 55, ו-f(1)=3f(1) = 3. מצאו את aa.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

f′(x)=2ax+b ⇒ 2a+b=5\begin{aligned}f'(x) &= 2ax + b \ \Rightarrow \ 2a + b \\ &= 5\end{aligned}

השיפוע ב-x=1x = 1

f(1)=a+b=3\begin{aligned}f(1) &= a + b \\ &= 3\end{aligned}

הגובה ב-x=1x = 1

(2a+b)−(a+b)=5−3 ⇒ a=2b=1\begin{aligned}(2a + b) - (a + b) &= 5 - 3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2 \\ \quad b &= 1\end{aligned}

מחסרים

f(x)=2x2+x: f′(1)=5 f(1)=3 ✓\begin{aligned}f(x) &= 2x^2 + x: \ f'(1) \\ &= 5 \\ \ f(1) &= 3 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

תנאי אחד על f′f' ותנאי אחד על ff, מאותה נקודה. אין לבלבל ביניהם: f′(1)=5f'(1) = 5 אינו אומר f(1)=5f(1) = 5.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c. לפונקציה נקודות קיצון ב-x=−2x = -2 וב-x=2x = 2, והגרף עובר בנקודה (0, 5)(0,\,5). מצאו את aa, bb ו-cc.

a=a= ____ , b=b= ____ , c=c= ____

Show the answer and the solution

Answer: a=a= 0 , b=b= -12 , c=c= 5

Worked solution:

f′(x)=3x2+2ax+bf'(x) = 3x^2 + 2ax + b

גוזרים

f′(−2)=12−4a+b=0f′(2)=12+4a+b=0\begin{aligned}f'(-2) &= 12 - 4a + b \\ &= 0 \\ \quad f'(2) &= 12 + 4a + b \\ &= 0\end{aligned}

שני קיצונים

8a=0 ⇒ a=0b=−12\begin{aligned}8a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 0 \\ \quad b &= -12\end{aligned}

מחסרים ומציבים

f(0)=c=5\begin{aligned}f(0) &= c \\ &= 5\end{aligned}

הנקודה (0, 5)(0,\,5)

f(x)=x3−12x+5: f′(x)=3x2−12=3(x−2)(x+2) ✓\begin{aligned}f(x) &= x^3 - 12x + 5: \ f'(x) \\ &= 3x^2 - 12 \\ &= 3(x-2)(x+2) \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

a=0a = 0 היא תשובה לגיטימית: קיצונים סימטריים סביב 00 אומרים שאין איבר x2x^2. שלושה נעלמים, שלושה תנאים, ואף אחד לא מיותר.

Check the answer on elev

Exercise 5

סקיצה של f
-4-3-2-10123-15-10-5510xy

בשרטוט נתונה סקיצה של ff, עם נקודת מינימום ב-x=−2x = -2 ונקודת מקסימום ב-x=1x = 1. מה נכון לגבי f′f'?

  1. f′(x)>0f'(x) > 0 לכל xx
  2. f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר −2<x<1-2 < x < 1
  3. f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר x>1x > 1
  4. f′(−2)>0f'(-2) > 0
Show the answer and the solution

Answer: B f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר −2<x<1-2 < x < 1

Worked solution:

−2<x<1: f עולה ⇒ f′>0-2 < x < 1: \ f \ \text{עולה} \ \Rightarrow \ f' > 0

מהמינימום למקסימום

x>1: f יורדת ⇒ f′<0x > 1: \ f \ \text{יורדת} \ \Rightarrow \ f' < 0

אחרי המקסימום

f′(−2)=0f'(-2) = 0

בקיצון המשיק אופקי

הנכונה: f′(x)>0f'(x) > 0 כאשר −2<x<1-2 < x < 1. f′f' חיובית איפה ש-ff עולה, ובנקודות הקיצון עצמן היא אפס, לא חיובית.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2 בקטע −1≤x≤3-1 \le x \le 3. א. מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע?

Show the answer and the solution

Answer: -16

Worked solution:

f′(x)=4x3−16x=4x(x−2)(x+2)=0 ⇒ x=0 x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 4x^3 - 16x \\ &= 4x(x-2)(x+2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= \pm 2\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות; x=−2x = -2 מחוץ לקטע

f(0)=0f(2)=16−32=−16\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= 16 - 32 \\ &= -16\end{aligned}

החשודות שבקטע

f(−1)=1−8=−7f(3)=81−72=9\begin{aligned}f(-1) &= 1 - 8 \\ &= -7 \\ \quad f(3) &= 81 - 72 \\ &= 9\end{aligned}

הקצוות

min⁡=−16 (x=2)\min = -16 \ (x = 2)

בנקודה פנימית

ארבעה מועמדים: שתי חשודות בקטע ושני קצוות. x=−2x = -2 הייתה נותנת גם −16-16, אבל היא מחוץ לקטע.

Check the answer on elev

Exercise 7

נתונה f(x)=x4−8x2f(x) = x^4 - 8x^2 בקטע −1≤x≤3-1 \le x \le 3. ב. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בקטע?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

f(0)=0f(2)=−16f(−1)=−7f(3)=9\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= -16 \\ \quad f(-1) &= -7 \\ \quad f(3) &= 9\end{aligned}

אותם ארבעה מועמדים

max⁡=9 (x=3)\max = 9 \ (x = 3)

בקצה הימני

x=0x = 0 הוא מקסימום מקומי (f′f' עוברת מפלוס למינוס), אבל הערך 00 שם קטן מ-99 בקצה. מקומי ומוחלט הם שני דברים.

Check the answer on elev

Exercise 8

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=x3+xf(x) = x^3 + x אין נקודות קיצון.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

f′(x)=3x2+1f'(x) = 3x^2 + 1

גוזרים

3x2+1≥1>03x^2 + 1 \ge 1 > 0

הנגזרת חיובית לכל xx

הטענה נכונה. ל-f′(x)=0f'(x) = 0 אין פתרון, ולכן אין אף נקודה חשודה. ff עולה בכל התחום.

Check the answer on elev

Exercise 9

מוצאים את נקודות הקיצון של f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

f′(x)=3x2−12f'(x) = 3x^2 - 12
3x2−12=0⇒x=2\begin{aligned}3x^2 - 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}
f(2)=8−24=−16\begin{aligned}f(2) &= 8 - 24 \\ &= -16\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 3x2−12=0⇒x=23x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = 2 → 3x2−12=0⇒x=2 או x=−23x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = 2 \ \text{או} \ x = -2

Worked solution:

x2=4 ⇒ x=±2\begin{aligned}x^2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

למשוואה ריבועית שני פתרונות

f(−2)=−8+24=16\begin{aligned}f(-2) &= -8 + 24 \\ &= 16\end{aligned}

הקיצון שאבד: מקסימום (−2, 16)(-2,\,16)

השורה השנייה איבדה את x=−2x = -2, ואיתו את המקסימום. x2=4x^2 = 4 הוא שני מספרים.

Check the answer on elev

Exercise 10

המשיק לגרף f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 בנקודה שבה x=3x = 3 יוצר עם שני הצירים משולש. מהו שטח המשולש?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

f(3)=9−12+7=4f′(3)=2⋅3−4=2\begin{aligned}f(3) &= 9 - 12 + 7 \\ &= 4 \\ \quad f'(3) &= 2 \cdot 3 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

נקודה ושיפוע

y−4=2(x−3) ⇒ y=2x−2\begin{aligned}y - 4 &= 2(x - 3) \ \Rightarrow \ y \\ &= 2x - 2\end{aligned}

משוואת המשיק

x=0⇒y=−2y=0⇒x=1\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= -2 \qquad y \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם שני הצירים

S=1⋅22=1\begin{aligned}S &= \frac{1 \cdot 2}{2} \\ &= 1\end{aligned}

ניצבים 11 ו-22

אורכי הניצבים הם מרחקים, ולכן חיוביים: 22 ולא −2-2. אחרי משוואת המשיק, השאלה היא גאומטריה אנליטית רגילה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade