Set 5 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים כמו בשאלון: חקירה מלאה של פולינום, שני פרמטרים מנקודת קיצון, קריאת הגרף של f′f', וערכים גדול וקטן ביותר בקטע סגור. סעיפים של אותה שאלה חולקים את אותו פתיח.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: נגזרת מלאה, נקודות חשודות, סימנים משני הצדדים, גבהים מ-ff, וקצוות כשהתחום סגור.

Exercises

Exercise 1

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים.

עם ציר yy: (0,(0, ____ )) ; עם ציר xx: x=x= ____ (הקטן) ו-x=x= ____ (הגדול)

Show the answer and the solution

Answer: עם ציר yy: (0,(0, -4 )) ; עם ציר xx: x=x= 1 (הקטן) ו-x=x= 4 (הגדול)

Worked solution:

f(0)=−4f(0) = -4

ציר yy

x3−6x2+9x−4=(x−1)2(x−4)=0 ⇒ x=1 x=4\begin{aligned}x^3 - 6x^2 + 9x - 4 &= (x-1)^2(x-4) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 4\end{aligned}

ציר xx; בדיקה: f(1)=1−6+9−4=0f(1) = 1 - 6 + 9 - 4 = 0 ✓, f(4)=64−96+36−4=0f(4) = 64 - 96 + 36 - 4 = 0 ✓

הגורם (x−1)2(x-1)^2 אומר שהגרף נוגע בציר ב-x=1x = 1 ולא חוצה אותו: זו תהיה גם נקודת קיצון בסעיף ב.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. ב. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )) ; מינימום: (( ____ ,, ____ ))

Show the answer and the solution

Answer: מקסימום: (( 1 ,, 0 )) ; מינימום: (( 3 ,, -4 ))

Worked solution:

f′(x)=3x2−12x+9=3(x−1)(x−3)=0 ⇒ x=1 x=3\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12x + 9 \\ &= 3(x-1)(x-3) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 3\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(0)=9>0f′(2)=−3<0f′(4)=9>0\begin{aligned}f'(0) &= 9 > 0 \\ \quad f'(2) &= -3 < 0 \\ \quad f'(4) &= 9 > 0\end{aligned}

פלוס, מינוס, פלוס

f(1)=0f(3)=27−54+27−4=−4\begin{aligned}f(1) &= 0 \\ \quad f(3) &= 27 - 54 + 27 - 4 \\ &= -4\end{aligned}

הגבהים מ-ff

מקסימום (1, 0)(1,\,0), מינימום (3, −4)(3,\,-4). המקסימום יושב על ציר ה-xx, כמו שסעיף א רמז.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. ג. מהו תחום הירידה של הפונקציה?

  1. 1<x<31 < x < 3
  2. 1<x<41 < x < 4
  3. x<1x < 1 או x>3x > 3
  4. x<3x < 3
Show the answer and the solution

Answer: A 1<x<31 < x < 3

Worked solution:

f′(x)<0 ⇔ 3(x−1)(x−3)<0 ⇔ 1<x<3f'(x) < 0 \ \Leftrightarrow \ 3(x-1)(x-3) < 0 \ \Leftrightarrow \ 1 < x < 3

בין שתי הנקודות החשודות

הנכונה: 1<x<31 < x < 3. 1<x<41 < x < 4 ערבב את החיתוך עם ציר xx (x=4x = 4) עם הקיצון (x=3x = 3). תחומי עלייה וירידה נקבעים מ-f′f', לא מהשורשים של ff.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=x3−6x2+9x−4f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4. ד. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודת החיתוך שלו עם ציר ה-yy?

  1. y=9x−4y = 9x - 4
  2. y=−3x−4y = -3x - 4
  3. y=−4x+9y = -4x + 9
  4. y=9x+4y = 9x + 4
Show the answer and the solution

Answer: A y=9x−4y = 9x - 4

Worked solution:

x=0: f(0)=−4 ⇒ (0, −4)\begin{aligned}x &= 0: \ f(0) \\ &= -4 \ \Rightarrow \ (0,\,-4)\end{aligned}

נקודת ההשקה

f′(0)=9f'(0) = 9

השיפוע

y+4=9(x−0) ⇒ y=9x−4\begin{aligned}y + 4 &= 9(x - 0) \ \Rightarrow \ y \\ &= 9x - 4\end{aligned}

משוואת המשיק

הנכונה: y=9x−4y = 9x - 4. כשנקודת ההשקה על ציר ה-yy, המספר החופשי של המשיק הוא הגובה שלה. «y=−3x−4y = -3x - 4» לקח את f′(2)f'(2) במקום f′(0)f'(0).

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה f(x)=ax3+bx2f(x) = ax^3 + bx^2. לפונקציה נקודת קיצון ב-(2, 4)(2,\,4). א. מצאו את aa ואת bb.

a=a= ____ , b=b= ____

Show the answer and the solution

Answer: a=a= -1 , b=b= 3

Worked solution:

f′(x)=3ax2+2bx ⇒ f′(2)=12a+4b=0 ⇒ b=−3a\begin{aligned}f'(x) &= 3ax^2 + 2bx \ \Rightarrow \ f'(2) \\ &= 12a + 4b \\ &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= -3a\end{aligned}

קיצון ב-x=2x = 2

f(2)=8a+4b=4\begin{aligned}f(2) &= 8a + 4b \\ &= 4\end{aligned}

הנקודה על הגרף

8a−12a=4 ⇒ a=−1b=3\begin{aligned}8a - 12a &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= -1 \\ \quad b &= 3\end{aligned}

מציבים

f(x)=−x3+3x2: f′(2)=−12+12=0 f(2)=−8+12=4 ✓\begin{aligned}f(x) &= -x^3 + 3x^2: \ f'(2) \\ &= -12 + 12 \\ &= 0 \\ \ f(2) &= -8 + 12 \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה

נקודת קיצון עם שני שיעורים היא שני תנאים: f′(2)=0f'(2) = 0 ו-f(2)=4f(2) = 4.

Check the answer on elev

Exercise 6

נתונה f(x)=ax3+bx2f(x) = ax^3 + bx^2 עם aa ו-bb שמצאתם, כלומר f(x)=−x3+3x2f(x) = -x^3 + 3x^2. ב. מהי נקודת הקיצון השנייה של הפונקציה, ומה סוגה?

  1. (0, 0)(0,\,0) — מינימום
  2. (0, 0)(0,\,0) — מקסימום
  3. אין נקודת קיצון שנייה
  4. (−2, 20)(-2,\,20) — מינימום
Show the answer and the solution

Answer: A (0, 0)(0,\,0) — מינימום

Worked solution:

f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}f'(x) &= -3x^2 + 6x \\ &= -3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

נקודות חשודות

f′(−1)=−9<0f′(1)=3>0\begin{aligned}f'(-1) &= -9 < 0 \\ \quad f'(1) &= 3 > 0\end{aligned}

סביב 00: ממינוס לפלוס

f(0)=0f(0) = 0

מינימום (0, 0)(0,\,0)

הנכונה: (0, 0)(0,\,0) — מינימום. ואז (2, 4)(2,\,4) הוא מקסימום: f′(3)=−9<0f'(3) = -9 < 0. הנקודה (−2, 20)(-2,\,20) על הגרף, אבל f′(−2)=−24≠0f'(-2) = -24 \ne 0.

Check the answer on elev

Exercise 7

הגרף של f′
-5-4-3-2-10123-5-4-3-2-1123456f′(x)x

בשרטוט נתון הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff: פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−3x = -3 וב-x=1x = 1. א. מהם שיעורי ה-xx של נקודות הקיצון של ff, ומה סוגן?

  1. מקסימום ב-x=−3x = -3 בלבד
  2. מקסימום ב-x=−3x = -3 ומינימום ב-x=1x = 1
  3. מינימום ב-x=−1x = -1
  4. מינימום ב-x=−3x = -3 ומקסימום ב-x=1x = 1
Show the answer and the solution

Answer: B מקסימום ב-x=−3x = -3 ומינימום ב-x=1x = 1

Worked solution:

x<−3: f′>0−3<x<1: f′<0x>1: f′>0x < -3: \ f' > 0 \qquad -3 < x < 1: \ f' < 0 \qquad x > 1: \ f' > 0

הפרבולה פונה כלפי מעלה: מעל, מתחת, מעל

x=−3: +→− ⇒ max⁡x=1: −→+ ⇒ min⁡\begin{aligned}x &= -3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max \qquad x \\ &= 1: \ - \to + \ \Rightarrow \ \min\end{aligned}

לפי החלפת הסימן

הנכונה: מקסימום ב-x=−3x = -3 ומינימום ב-x=1x = 1. «מינימום ב-x=−1x = -1» קרא את הקודקוד של f′f' כאילו הוא של ff.

Check the answer on elev

Exercise 8

הגרף של f′
-5-4-3-2-10123-5-4-3-2-1123456f′(x)x

באותו שרטוט של f′f' (פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−3x = -3 וב-x=1x = 1). ב. בתחום x>1x > 1 הפונקציה ff:

  1. עולה
  2. עולה ואז יורדת
  3. אי אפשר לדעת בלי הגרף של ff
  4. יורדת
Show the answer and the solution

Answer: A עולה

Worked solution:

x>1: f′(x)>0x > 1: \ f'(x) > 0

הפרבולה מעל הציר מימין לשורש 11

f′>0 ⇒ f עולהf' > 0 \ \Rightarrow \ f \ \text{עולה}

בכל התחום x>1x > 1

הנכונה: עולה. הגרף של f′f' מספיק לגמרי: הסימן שלו הוא כל מה שצריך לדעת על הכיוון של ff.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגרף של f′
-5-4-3-2-10123-5-4-3-2-1123456f′(x)x

באותו שרטוט של f′f' (פרבולה שחותכת את הציר ב-x=−3x = -3 וב-x=1x = 1, וקודקודה ב-x=−1x = -1). ג. הוכיחו או הפריכו: ל-ff יש נקודת קיצון ב-x=−1x = -1.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f′(−1)=−4≠0f'(-1) = -4 \ne 0

בקודקוד f′f' שלילית, לא אפס

−3<x<1: f′<0-3 < x < 1: \ f' < 0

ff יורדת לאורך כל הקטע, גם ב-x=−1x = -1

הטענה לא נכונה. ב-x=−1x = -1 הנגזרת בשיא השליליות שלה: ff יורדת שם הכי מהר, ולא מתהפכת. קיצון של ff נמצא רק איפה ש-f′f' חוצה את הציר.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=x3−3x2+1f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 בקטע −1≤x≤4-1 \le x \le 4. מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של הפונקציה בקטע.

הערך הגדול ביותר: ____ , מתקבל ב-x=x= ____ ; הערך הקטן ביותר: ____

Show the answer and the solution

Answer: הערך הגדול ביותר: 17 , מתקבל ב-x=x= 4 ; הערך הקטן ביותר: -3

Worked solution:

f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 6x \\ &= 3x(x-2) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שתי חשודות, שתיהן בקטע

f(0)=1f(2)=8−12+1=−3\begin{aligned}f(0) &= 1 \\ \quad f(2) &= 8 - 12 + 1 \\ &= -3\end{aligned}

בחשודות

f(−1)=−1−3+1=−3f(4)=64−48+1=17\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 1 \\ &= -3 \\ \quad f(4) &= 64 - 48 + 1 \\ &= 17\end{aligned}

בקצוות

max⁡=17 (x=4)min⁡=−3 (x=−1, x=2)\begin{aligned}\max &= 17 \ (x = 4) \qquad \min \\ &= -3 \ (x = -1 ,\ x = 2)\end{aligned}

הגדול ביותר בקצה; הקטן ביותר מתקבל פעמיים

הערך הקטן ביותר, −3-3, מתקבל גם בקצה x=−1x = -1 וגם במינימום הפנימי x=2x = 2. זה מותר: הערך אחד, והמקומות שניים. והמקסימום המקומי (0, 1)(0,\,1) אינו הגדול ביותר בקטע.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade