Practice · Optimization problems · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים על כל הפרק: מספרים, גאומטריה, גרפים וכלכלה, בתחום פתוח ובתחום סגור. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $14$ . מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

Show the answer and the solution

Answer: 49

Worked solution:

\begin{aligned}P(x) &= x(14 - x) \\ \quad 0 < x < 14\end{aligned}

\begin{aligned}P'(x) &= 14 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

מקסימום

P(7) = 49

המכפלה

התשובה היא המכפלה $49$ , לא $x = 7$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

היקף המלבן ABCD הוא 32 ס״מ. AB = x.

היקף המלבן $ABCD$ הוא $32$ ס״מ, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 64

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= x(16 - x) \\ \quad 0 < x < 16\end{aligned}

חצי היקף $16$

\begin{aligned}S'(x) &= 16 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

מקסימום

S(8) = 64

ריבוע $8 \times 8$

חצי ההיקף הוא $16$ , לא $32$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

בפתרון של בעיית קיצון כתבתם את הגודל המבוקש כפונקציה של $x$ . מה השלב הבא?

סימון המשתנה
תחום ההגדרה של הבעיה
בדיקת סוג הקיצון
גזירה והשוואה לאפס

Show the answer and the solution

Answer: B תחום ההגדרה של הבעיה

Worked solution:

1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5

סימון, הבעה, תחום, גזירה, סוג ותשובה

הנכונה: תחום ההגדרה של הבעיה. התחום בא לפני הגזירה, כי הוא מחליט אילו פתרונות של $f'(x) = 0$ נשארים.

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט. לאורך הקיר $AD$ לא גודרים, ולרשותנו $120$ מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה (במ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 1800

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= x(120 - 2x) \\ \quad 0 < x < 60\end{aligned}

$BC = 120 - 2x$

\begin{aligned}S'(x) &= 120 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 30\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(30) &= 30 \cdot 60 \\ &= 1800\end{aligned}

השטח

שתי צלעות ניצבות לקיר ואחת מקבילה לו.

Check the answer on elev

Exercise 5

לטיול מאורגן לגליל יש $80$ מקומות באוטובוס, במחיר $100$ שקלים למקום, וכולם נמכרים. כל העלאה של $10$ שקלים במחיר מורידה $4$ משתתפים. מהי ההכנסה הגדולה ביותר, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 9000

Worked solution:

\begin{aligned}R(x) &= (100 + 10x)(80 - 4x) \\ \quad 0 \le x \le 20\end{aligned}

$x$ מספר ההעלאות

\begin{aligned}R'(x) &= 10(80 - 4x) - 4(100 + 10x) \\ &= 400 - 80x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}R(5) &= 150 \cdot 60 \\ &= 9000\end{aligned}

מחיר $150$ , $60$ משתתפים

אוטובוס מלא נותן רק $8000$ . ההכנסה הגדולה ביותר מתקבלת עם $20$ מקומות ריקים.

Check the answer on elev

Exercise 6

מלבן מתחת לגרף y = 48 − x²

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $y = 48 - x^2$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 256

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= 2x(48 - x^2) \\ &= 96x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{48}\end{aligned}

רוחב $2x$

\begin{aligned}S'(x) &= 96 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(4) &= 8 \cdot 32 \\ &= 256\end{aligned}

השטח

הרוחב $2x$ . מי שכותב $x(48 - x^2)$ מקבל $128$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו הערך הקטן ביותר של הביטוי $x - 6\sqrt{x}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -9

Worked solution:

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{3}{\sqrt{x}} \\ \quad x > 0\end{aligned}

נגזרת של שורש

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}f(9) &= 9 - 18 \\ &= -9\end{aligned}

הערך

הערך הקטן ביותר $-9$ ומתקבל ב- $x = 9$ . אל תבלבלו בין השניים.

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

גיליון 21 על 16, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון קרטון שממדיו $21$ ס״מ על $16$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ״ק)?

Show the answer and the solution

Answer: 450

Worked solution:

\begin{aligned}V(x) &= x(21 - 2x)(16 - 2x) \\ &= 4x^3 - 74x^2 + 336x \\ \quad 0 < x < 8\end{aligned}

התחום לפי הצלע הקצרה

\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 148x + 336 \\ &= 4(3x - 28)(x - 3)\end{aligned}

גזירה ופירוק

x = 3 \quad \left(x = \tfrac{28}{3} \notin (0, 8)\right)

מקסימום

\begin{aligned}V(3) &= 3 \cdot 15 \cdot 10 \\ &= 450\end{aligned}

הנפח

התחום פוסל את $\frac{28}{3}$ : שם $16 - 2x < 0$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

המרחק מ-A(2.5, 0) לנקודה P על y = √x

P היא נקודה כללית על הגרף.

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה $A(2.5,\,0)$ לבין הגרף $y = \sqrt{x}$ , כמו בשרטוט? כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 2.5)^2 + x} \\ &= \sqrt{x^2 - 4x + 6.25}\end{aligned}

נוסחת המרחק

d'(x) = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x + 6.25}}

נגזרת של שורש

\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}d(2) &= \sqrt{4 - 8 + 6.25} \\ &= \sqrt{2.25} \\ &= 1.5\end{aligned}

המרחק

הנקודה הקרובה ביותר $(2,\,\sqrt{2})$ . המרחק מ- $A$ לראשית הוא $2.5$ , יותר מ- $1.5$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

חנות מוכרת $100$ יחידות בשבוע, במחיר $45$ שקלים ליחידה. כל יחידה עולה לה $20$ שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה $10$ יחידות. אסור להוריד את המחיר ביותר מ- $5$ שקלים. מהו הרווח השבועי הגדול ביותר, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 3000

Worked solution:

\begin{aligned}P(x) &= (25 - x)(100 + 10x) \\ \quad 0 \le x \le 5\end{aligned}

תחום סגור

\begin{aligned}P'(x) &= 150 - 20x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7.5 \notin [0, 5]\end{aligned}

מחוץ לתחום

P'(x) > 0 \ \text{בכל התחום}

הרווח עולה

\begin{aligned}P(5) &= 20 \cdot 150 \\ &= 3000\end{aligned}

בקצה

ב- $x = 7.5$ הרווח היה גדול יותר, אבל ההורדה הזאת אסורה. בתחום סגור התשובה יכולה להיות בקצה.

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev