Set 5 — towards the bagrut

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

שאלות בנוסח הבגרות. כל שאלה מחולקת לסעיפים א, ב, ג, וכל סעיף הוא תרגיל. הסעיפים של אותה שאלה מתחילים באותו נתון.

כתבו כמו בבחינה: סימון המשתנה במילים, הפונקציה, התחום, הנגזרת, טבלת סימנים, ותשובה עם יחידות.

Exercises

Exercise 1

חנות בגדים בבאר שבע מוכרת 150150 חולצות בחודש, במחיר 8080 שקלים לחולצה. כל חולצה עולה לחנות 4040 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 55 חולצות למכירות. xx היא ההורדה בשקלים. א. מהי הפונקציה של הרווח החודשי?

  1. P(x)=(40−5x)(150+x)P(x) = (40 - 5x)(150 + x)
  2. P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x)
  3. P(x)=(40−x)(150+x)P(x) = (40 - x)(150 + x)
  4. P(x)=(80−x)(150+5x)P(x) = (80 - x)(150 + 5x)
Show the answer and the solution

Answer: B P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x)

Worked solution:

80−x−40=40−x80 - x - 40 = 40 - x

הרווח לחולצה

150+5x150 + 5x

מספר החולצות

P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x)

הרווח

הנכונה: P(x)=(40−x)(150+5x)P(x) = (40 - x)(150 + 5x). (80−x)(150+5x)(80 - x)(150 + 5x) היא ההכנסה. ב-(40−5x)(150+x)(40 - 5x)(150 + x) החליפו בין ההורדה לתוספת.

Check the answer on elev

Exercise 2

חנות בגדים מוכרת 150150 חולצות בחודש, במחיר 8080 שקלים לחולצה. כל חולצה עולה לחנות 4040 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 55 חולצות. ב. באיזה מחיר לחולצה הרווח החודשי הגדול ביותר?

Show the answer and the solution

Answer: 75

Worked solution:

P(x)=(40−x)(150+5x)0≤x≤40\begin{aligned}P(x) &= (40 - x)(150 + 5x) \\ \quad 0 \le x \le 40\end{aligned}

מסעיף א, עם התחום

P′(x)=−(150+5x)+5(40−x)=50−10x\begin{aligned}P'(x) &= -(150 + 5x) + 5(40 - x) \\ &= 50 - 10x\end{aligned}

כלל המכפלה

P′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

80−5=7580 - 5 = 75

המחיר

התשובה היא המחיר 7575, לא ההורדה 55.

Check the answer on elev

Exercise 3

חנות בגדים מוכרת 150150 חולצות בחודש, במחיר 8080 שקלים לחולצה. כל חולצה עולה לחנות 4040 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 55 חולצות. ג. מהו הרווח החודשי הגדול ביותר, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 6125

Worked solution:

x=5x = 5

מסעיף ב

P(5)=35⋅175=6125\begin{aligned}P(5) &= 35 \cdot 175 \\ &= 6125\end{aligned}

רווח לחולצה 3535, ו-175175 חולצות

P(0)=6000P(40)=0\begin{aligned}P(0) &= 6000 \\ \quad P(40) &= 0\end{aligned}

בקצוות: פחות

ההורדה מוסיפה 125125 שקלים לחודש לעומת P(0)=6000P(0) = 6000. 75⋅175=1312575 \cdot 175 = 13125 היא ההכנסה.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCDPETQ
AB = 14, BC = 10. AP = CT = x, AQ = CE = x.

במלבן ABCDABCD, AB=14AB = 14 ו-BC=10BC = 10. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AP=AQ=CT=CE=xAP = AQ = CT = CE = x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. א. מצאו את xx שעבורו שטח המקבילית הגדול ביותר.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

S(x)=140−x2−(14−x)(10−x)=24x−2x2\begin{aligned}S(x) &= 140 - x^2 - (14 - x)(10 - x) \\ &= 24x - 2x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x≤100 < x \le 10

תחום: QQ על ADAD, ולכן x≤10x \le 10

S′(x)=24−4x=0 ⇒ x=6\begin{aligned}S'(x) &= 24 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

בפינות AA ו-CC המשולשים שווי שוקיים, ושטח כל אחד x22\frac{x^2}{2}. יחד: x2x^2.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCDPETQ
AB = 14, BC = 10. AP = CT = x, AQ = CE = x.

במלבן ABCDABCD, AB=14AB = 14 ו-BC=10BC = 10. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AP=AQ=CT=CE=xAP = AQ = CT = CE = x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. ב. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

Show the answer and the solution

Answer: 72

Worked solution:

x=6x = 6

מסעיף א

S(6)=144−72=72\begin{aligned}S(6) &= 144 - 72 \\ &= 72\end{aligned}

מציבים

S(10)=240−200=40<72\begin{aligned}S(10) &= 240 - 200 \\ &= 40 < 72\end{aligned}

הקצה

מציבים ב-SS. בדיקה: המשולשים בפינות A,CA, C שטחם 1818 כל אחד, ובפינות B,DB, D שטחם 1616. 140−36−32=72140 - 36 - 32 = 72 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCDPETQ
AB = 14, BC = 10. AP = CT = x, AQ = CE = x.

במלבן ABCDABCD, AB=14AB = 14 ו-BC=10BC = 10. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AP=AQ=CT=CE=xAP = AQ = CT = CE = x, כמו בשרטוט. ג. הוכיחו או הפריכו: השטח הגדול ביותר של המקבילית PETQPETQ גדול מחצי משטח המלבן.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

Smax=72S_{max} = 72

מסעיף ב

12⋅140=70\tfrac{1}{2} \cdot 140 = 70

חצי משטח המלבן

72>7072 > 70

השוואה

הטענה נכונה, אבל בקושי: 7272 לעומת 7070. מי שמשווה לכל המלבן (140140) או שוכח את החצי, עונה על שאלה אחרת.

Check the answer on elev

Exercise 7

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=2x+5y = \sqrt{2x + 5}, ו-AA היא הנקודה (6, 0)(6,\,0). d(x)d(x) הוא המרחק APAP. א. מהי הנגזרת d′(x)d'(x)?

  1. x−6x2−12x+36\frac{x - 6}{\sqrt{x^2 - 12x + 36}}
  2. 2x−10x2−10x+41\frac{2x - 10}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}
  3. x−5x2−10x+41\frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}
  4. 12x2−10x+41\frac{1}{2\sqrt{x^2 - 10x + 41}}
Show the answer and the solution

Answer: C x−5x2−10x+41\frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}

Worked solution:

d(x)=(x−6)2+2x+5=x2−10x+41\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 6)^2 + 2x + 5} \\ &= \sqrt{x^2 - 10x + 41}\end{aligned}

נוסחת המרחק

d′(x)=2x−102x2−10x+41=x−5x2−10x+41\begin{aligned}d'(x) &= \frac{2x - 10}{2\sqrt{x^2 - 10x + 41}} \\ &= \frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}\end{aligned}

נגזרת של שורש, ומצמצמים ב-22

הנכונה: x−5x2−10x+41\frac{x - 5}{\sqrt{x^2 - 10x + 41}}. 2x−10…\frac{2x - 10}{\sqrt{\ldots}} שוכח את ה-22 במכנה. 12…\frac{1}{2\sqrt{\ldots}} שוכח את הנגזרת הפנימית.

Check the answer on elev

Exercise 8

המרחק מ-A(6, 0) לנקודה P על y = √(2x + 5)
AP-3-2-1012345678910-112345xy
P היא נקודה כללית על הגרף. הגרף מתחיל ב-x = −2.5.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=2x+5y = \sqrt{2x + 5}, ו-AA היא הנקודה (6, 0)(6,\,0), כמו בשרטוט. ב. מצאו את שיעור ה-xx של הנקודה PP הקרובה ביותר ל-AA.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

x≥−2.5x \ge -2.5

תחום: 2x+5≥02x + 5 \ge 0

d′(x)=0 ⇒ x=5\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

בתוך התחום

d′(4)<0,d′(6)>0d'(4) < 0 ,\quad d'(6) > 0

מ-−- ל-++: מינימום

המכנה x2−10x+41\sqrt{x^2 - 10x + 41} חיובי תמיד, ולכן הסימן נקבע לפי x−5x - 5 בלבד.

Check the answer on elev

Exercise 9

המרחק מ-A(6, 0) לנקודה P על y = √(2x + 5)
AP-3-2-1012345678910-112345xy
P היא נקודה כללית על הגרף. הגרף מתחיל ב-x = −2.5.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=2x+5y = \sqrt{2x + 5}, ו-AA היא הנקודה (6, 0)(6,\,0), כמו בשרטוט. ג. מהו המרחק הקטן ביותר בין AA לבין הגרף?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x=5x = 5

מסעיף ב

d(5)=25−50+41=16=4\begin{aligned}d(5) &= \sqrt{25 - 50 + 41} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים ב-dd

P=(5, 15)P = \left(5,\,\sqrt{15}\right)

הנקודה הקרובה ביותר

בדיקה: (5−6)2+(15)2=1+15=16(5 - 6)^2 + (\sqrt{15})^2 = 1 + 15 = 16 ✓. הנקודה (6, 17)(6,\,\sqrt{17}) שמעל AA רחוקה יותר: 17>4\sqrt{17} > 4.

Check the answer on elev

Exercise 10

הקטע AB על הישר x = k, כש-1 ≤ k ≤ 3
ABfg012340246810121416xy
A על f ו-B על g, באותו x. הקווים המקווקווים הם x = 1 ו-x = 3.

נתונות f(x)=−x2+8xf(x) = -x^2 + 8x ו-g(x)=x2g(x) = x^2. הישר x=kx = k חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, כאשר 1≤k≤31 \le k \le 3, כמו בשרטוט. מהו האורך הקטן ביותר של הקטע ABAB?

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

L(k)=f(k)−g(k)=−2k2+8k1≤k≤3\begin{aligned}L(k) &= f(k) - g(k) \\ &= -2k^2 + 8k \\ \quad 1 \le k \le 3\end{aligned}

תחום סגור

L′(k)=−4k+8=0 ⇒ k=2\begin{aligned}L'(k) &= -4k + 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 2\end{aligned}

שם מקסימום: L(2)=8L(2) = 8

L(1)=6L(3)=−18+24=6\begin{aligned}L(1) &= 6 \\ \quad L(3) &= -18 + 24 \\ &= 6\end{aligned}

הקצוות

min⁡=6\min = 6

בשני הקצוות

הנקודה החשודה נותנת את האורך הגדול ביותר. את הקטן ביותר מוצאים רק בקצוות, ולכן בתחום סגור בודקים אותם תמיד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade