Set 4 — advanced

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות מתקדמות: מרחק שבו יש שלוש נקודות חשודות, משולש מתחת לפרבולה, מחיר שהביקוש תלוי בו, משולש שווה שוקיים עם שורש, ותחום סגור.

כשיש כמה נקודות חשודות, חשבו את הערך בכל אחת, ובתחום סגור גם בקצוות. התשובה היא הגדול או הקטן מביניהם.

Exercises

Exercise 1

המרחק מ-A(0, 4.25) לנקודה P על y = x²

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה A(0, 4.25)A(0,\,4.25) לבין הגרף y=x2y = x^2, כמו בשרטוט?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

d(x)=x2+(x2−4.25)2=x4−7.5x2+18.0625\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{x^2 + (x^2 - 4.25)^2} \\ &= \sqrt{x^4 - 7.5x^2 + 18.0625}\end{aligned}

נקודה על הגרף: (x, x2)(x,\,x^2)

d′(x)=4x3−15x2x4−7.5x2+18.0625d'(x) = \frac{4x^3 - 15x}{2\sqrt{x^4 - 7.5x^2 + 18.0625}}

נגזרת של שורש

x(4x2−15)=0 ⇒ x=0 x2=3.75\begin{aligned}x(4x^2 - 15) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x^2 &= 3.75\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות

d(0)=4.25d=3.75+0.25=2 ב-x2=3.75\begin{aligned}d(0) &= 4.25 \\ \quad d &= \sqrt{3.75 + 0.25} \\ &= 2 \ \text{ב-} x^2 \\ &= 3.75\end{aligned}

משווים

ב-x=0x = 0 המרחק 4.254.25: שם יש מקסימום מקומי, לא מינימום. המרחק הקטן ביותר 22.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABCDEFGH
AD הוא הקיר. AB = EF = GH = CD = x, ושתי הגדרות EF ו-GH מחלקות את החלקה לשלוש חלקות.

גודרים חלקה צמודה לקיר, ומחלקים אותה בשתי גדרות לשלוש חלקות, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים. לרשותנו 160160 מ׳ גדר. מהו השטח הכולל הגדול ביותר (במ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 1600

Worked solution:

4x+BC=160 ⇒ BC=160−4x\begin{aligned}4x + BC &= 160 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 160 - 4x\end{aligned}

ארבע גדרות ניצבות לקיר

S(x)=x(160−4x)0<x<40\begin{aligned}S(x) &= x(160 - 4x) \\ \quad 0 < x < 40\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=160−8x=0 ⇒ x=20\begin{aligned}S'(x) &= 160 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

מקסימום

S(20)=20⋅80=1600\begin{aligned}S(20) &= 20 \cdot 80 \\ &= 1600\end{aligned}

השטח

שתי צלעות קצה ועוד שתי גדרות מחלקות: ארבע פעמים xx. מי שסופר שלוש מקבל BC=160−3xBC = 160 - 3x.

Check the answer on elev

Exercise 3

המשולש OAP, והנקודה P על y = 9 − x²

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=9−x2y = 9 - x^2 ברביע הראשון. AA היא ההיטל של PP על ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש OAPOAP? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 5.2

Worked solution:

S(x)=12x(9−x2)=4.5x−0.5x30<x<3\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2} x(9 - x^2) \\ &= 4.5x - 0.5x^3 \\ \quad 0 < x < 3\end{aligned}

משולש ישר זווית: ניצבים xx ו-9−x29 - x^2

S′(x)=4.5−1.5x2=0 ⇒ x=3\begin{aligned}S'(x) &= 4.5 - 1.5x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(3)=123⋅6=33≈5.20\begin{aligned}S(\sqrt{3}) &= \tfrac{1}{2}\sqrt{3} \cdot 6 \\ &= 3\sqrt{3} \approx 5.20\end{aligned}

השטח

במשולש ישר זווית השטח הוא חצי מכפלת הניצבים. מי ששוכח את החצי מקבל 10.3910.39.

Check the answer on elev

Exercise 4

חנות מוכרת מוצר במחיר pp שקלים, וכמות המכירות היא 300−5p300 - 5p יחידות בשבוע. כל יחידה עולה לחנות 2020 שקלים. א. באיזה מחיר הרווח השבועי הגדול ביותר?

Show the answer and the solution

Answer: 40

Worked solution:

P(p)=(p−20)(300−5p)20≤p≤60\begin{aligned}P(p) &= (p - 20)(300 - 5p) \\ \quad 20 \le p \le 60\end{aligned}

רווח ליחידה כפול כמות. הכמות אי-שלילית

P′(p)=(300−5p)−5(p−20)=400−10p\begin{aligned}P'(p) &= (300 - 5p) - 5(p - 20) \\ &= 400 - 10p\end{aligned}

כלל המכפלה

P′(p)=0 ⇒ p=40\begin{aligned}P'(p) &= 0 \ \Rightarrow \ p \\ &= 40\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

כאן המשתנה הוא המחיר עצמו, לא ההורדה. התחום: לא מוכרים מתחת לעלות, והכמות לא שלילית.

Check the answer on elev

Exercise 5

חנות מוכרת מוצר במחיר pp שקלים, וכמות המכירות היא 300−5p300 - 5p יחידות בשבוע. כל יחידה עולה לחנות 2020 שקלים. ב. מהו הרווח השבועי הגדול ביותר, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 2000

Worked solution:

p=40p = 40

מסעיף א

P(40)=20⋅100=2000\begin{aligned}P(40) &= 20 \cdot 100 \\ &= 2000\end{aligned}

רווח ליחידה 2020, ו-100100 יחידות

ההכנסה היא 40⋅100=400040 \cdot 100 = 4000. הרווח קטן ממנה, כי מחסרים את העלות.

Check the answer on elev

Exercise 6

BCAD
AB = AC = 10, BD = DC = x, ו-AD הגובה לבסיס.

במשולש שווה שוקיים ABCABC השוקיים AB=AC=10AB = AC = 10, והבסיס BC=2xBC = 2x, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

AD=100−x2AD = \sqrt{100 - x^2}

הגובה לבסיס חוצה אותו; משפט פיתגורס במשולש ADCADC

S(x)=12⋅2x⋅100−x2=x100−x20<x<10\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot \sqrt{100 - x^2} \\ &= x\sqrt{100 - x^2} \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=100−2x2100−x2=0 ⇒ x=52\begin{aligned}S'(x) &= \frac{100 - 2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\sqrt{2}\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S=52⋅50=50\begin{aligned}S &= 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{50} \\ &= 50\end{aligned}

השטח

במקסימום הזווית AA ישרה: BC=102BC = 10\sqrt{2}, בדיוק לפי משפט פיתגורס. הבסיס הוא 2x2x, לא xx.

Check the answer on elev

Exercise 7

ידוע ש-x+y=6x + y = 6 ו-1≤x≤51 \le x \le 5. מהו הערך הגדול ביותר של x3+y3x^3 + y^3?

Show the answer and the solution

Answer: 126

Worked solution:

f(x)=x3+(6−x)3=18x2−108x+216\begin{aligned}f(x) &= x^3 + (6 - x)^3 \\ &= 18x^2 - 108x + 216\end{aligned}

מסלקים את yy ופותחים

f′(x)=36x−108=0 ⇒ x=3\begin{aligned}f'(x) &= 36x - 108 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתוך התחום

f(3)=54f(1)=1+125=126f(5)=125+1=126\begin{aligned}f(3) &= 54 \\ \quad f(1) &= 1 + 125 \\ &= 126 \\ \quad f(5) &= 125 + 1 \\ &= 126\end{aligned}

הנקודה החשודה והקצוות

max⁡=126\max = 126

בשני הקצוות

הנקודה החשודה x=3x = 3 היא מינימום. הערך הגדול ביותר בקצוות. מי שעונה 5454 לא השווה לקצוות.

Check the answer on elev

Exercise 8

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=xy = \sqrt{x}. מהו המרחק d(x)d(x) בין PP לבין הנקודה A(3, 0)A(3,\,0)?

  1. x2−6x+9\sqrt{x^2 - 6x + 9}
  2. x2−5x+9\sqrt{x^2 - 5x + 9}
  3. x−3+xx - 3 + \sqrt{x}
  4. x2+x+9\sqrt{x^2 + x + 9}
Show the answer and the solution

Answer: B x2−5x+9\sqrt{x^2 - 5x + 9}

Worked solution:

P=(x, x)P = \left(x,\,\sqrt{x}\right)

נקודה על הגרף

d2=(x−3)2+(x)2=x2−6x+9+x\begin{aligned}d^2 &= (x - 3)^2 + \left(\sqrt{x}\right)^2 \\ &= x^2 - 6x + 9 + x\end{aligned}

נוסחת המרחק

d(x)=x2−5x+9d(x) = \sqrt{x^2 - 5x + 9}

מכנסים

הנכונה: x2−5x+9\sqrt{x^2 - 5x + 9}. x2−6x+9\sqrt{x^2 - 6x + 9} שוכח את (x)2=x(\sqrt{x})^2 = x. ו-x−3+xx - 3 + \sqrt{x} מחבר הפרשים במקום נוסחת המרחק.

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו או הפריכו: אם d(x)=g(x)d(x) = \sqrt{g(x)} ו-g(x)>0g(x) > 0, אז dd ו-gg מקבלות מינימום באותו xx.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

d′(x)=g′(x)2g(x)d'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}

נגזרת של שורש

2g(x)>02\sqrt{g(x)} > 0

המכנה חיובי

סימן(d′)=סימן(g′)\text{סימן}(d') = \text{סימן}(g')

לנגזרות אותו סימן בכל xx

הטענה נכונה. הנגזרות מתאפסות באותן נקודות ומחליפות סימן באותו אופן. אבל הערך שונה: dmin=gmind_{min} = \sqrt{g_{min}}.

Check the answer on elev

Exercise 10

גיליון 36 על 36, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx036036

מגיליון 36×3636 \times 36 בונים תיבה פתוחה, כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

V(x)=x(36−2x)2V(x) = x(36 - 2x)^2
0<x<360 < x < 36
V′(x)=(36−2x)(36−6x)V'(x) = (36 - 2x)(36 - 6x)
x=6V(6)=6⋅242=3456\begin{aligned}x &= 6 \\ \quad V(6) &= 6 \cdot 24^2 \\ &= 3456\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: 0<x<360 < x < 36 → 0<x<180 < x < 18

Worked solution:

36−2x>0 ⇒ x<1836 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 18

צלע הבסיס חיובית

x=18∉(0,18)x = 18 \notin (0, 18)

ולכן נשאר רק x=6x = 6

התחום נקבע לפי צלע הבסיס 36−2x36 - 2x, לא לפי אורך הגיליון. עם 0<x<360 < x < 36 גם x=18x = 18 נראה «חוקי».

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade