Set 3 — challenging

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות מאתגרות: מקבילית בתוך מלבן, מרחק מתחת לשורש, מלבן מתחת לגרף שורש, ושלוש שאלות שבהן התחום סגור והתשובה בקצה.

כשהנקודה החשודה יוצאת מחוץ לתחום, אל תמחקו את השאלה: בדקו את הסימן של הנגזרת בכל התחום, והתשובה בקצה.

Exercises

Exercise 1

ABCDPETQ
AB = 20, BC = 12. AQ = CE = x, AP = CT = 2x.

במלבן ABCDABCD, AB=20AB = 20 ו-BC=12BC = 12. על הצלעות נמצאות הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q, כך ש-AQ=CE=xAQ = CE = x ו-AP=CT=2xAP = CT = 2x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

Show the answer and the solution

Answer: 121

Worked solution:

S(x)=240−2x2−(20−2x)(12−x)=44x−4x2\begin{aligned}S(x) &= 240 - 2x^2 - (20 - 2x)(12 - x) \\ &= 44x - 4x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x≤100 < x \le 10

תחום: 2x≤202x \le 20

S′(x)=44−8x=0 ⇒ x=5.5\begin{aligned}S'(x) &= 44 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5.5\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(5.5)=242−121=121\begin{aligned}S(5.5) &= 242 - 121 \\ &= 121\end{aligned}

השטח; S(10)=40S(10) = 40

x=5.5x = 5.5 אינו שלם, וזה בסדר: אורך יכול להיות כל מספר חיובי. השטח 121121 הוא יותר מחצי משטח המלבן (240240).

Check the answer on elev

Exercise 2

המרחק מ-A(9, 0) לנקודה P על y = √(4x)
AP0123456789101112-101234567xy
P היא נקודה כללית על הגרף.

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה A(9, 0)A(9,\,0) לבין הגרף y=4xy = \sqrt{4x}, כמו בשרטוט? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Show the answer and the solution

Answer: 5.66

Worked solution:

d(x)=(x−9)2+4x=x2−14x+81\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 9)^2 + 4x} \\ &= \sqrt{x^2 - 14x + 81}\end{aligned}

נוסחת המרחק

d′(x)=2x−142x2−14x+81d'(x) = \frac{2x - 14}{2\sqrt{x^2 - 14x + 81}}

נגזרת של שורש

d′(x)=0 ⇒ x=7\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

d(7)=49−98+81=32=42≈5.66\begin{aligned}d(7) &= \sqrt{49 - 98 + 81} \\ &= \sqrt{32} \\ &= 4\sqrt{2} \approx 5.66\end{aligned}

המרחק

התשובה המדויקת 424\sqrt{2}. מי שעונה 32\sqrt{32} בלי לחשב, או מעגל ל-5.65.6, מאבד את הספרה השנייה.

Check the answer on elev

Exercise 3

מלבן ברביע הראשון, P על הגרף y = √(27 − x)
P03691215182124270123456xy
צלע אחת על כל ציר, והקודקוד P על הגרף.

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעות שלו על הצירים, והקודקוד PP על הגרף y=27−xy = \sqrt{27 - x}, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 54

Worked solution:

S(x)=x27−x0<x<27\begin{aligned}S(x) &= x\sqrt{27 - x} \\ \quad 0 < x < 27\end{aligned}

רוחב xx, גובה 27−x\sqrt{27 - x}

S′(x)=27−x−x227−x=54−3x227−x\begin{aligned}S'(x) &= \sqrt{27 - x} - \frac{x}{2\sqrt{27 - x}} \\ &= \frac{54 - 3x}{2\sqrt{27 - x}}\end{aligned}

כלל המכפלה

S′(x)=0 ⇒ x=18\begin{aligned}S'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 18\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(18)=18⋅3=54\begin{aligned}S(18) &= 18 \cdot 3 \\ &= 54\end{aligned}

השטח

מכנה משותף הופך את הנגזרת לשבר אחד, והסימן נקבע לפי המונה 54−3x54 - 3x.

Check the answer on elev

Exercise 4

במלון באילת 6060 חדרים. במחיר 400400 שקלים ללילה כל החדרים מלאים, וכל העלאה של 2020 שקלים משאירה חדר אחד ריק. ההנהלה מחליטה לא להעלות את המחיר יותר מ-1515 פעמים. מהי ההכנסה הגדולה ביותר ללילה, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 31500

Worked solution:

R(x)=(400+20x)(60−x)0≤x≤15\begin{aligned}R(x) &= (400 + 20x)(60 - x) \\ \quad 0 \le x \le 15\end{aligned}

התחום סגור

R′(x)=800−40x=0 ⇒ x=20∉[0,15]\begin{aligned}R'(x) &= 800 - 40x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20 \notin [0, 15]\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

R′(x)>0 בכל 0≤x≤15R'(x) > 0 \ \text{בכל} \ 0 \le x \le 15

ההכנסה עולה

R(15)=700⋅45=31500\begin{aligned}R(15) &= 700 \cdot 45 \\ &= 31500\end{aligned}

בקצה

מי שעונה 3200032000 השתמש ב-2020 העלאות, שאסורות כאן. ההכנסה עולה בכל התחום, ולכן היא הגדולה ביותר בקצה.

Check the answer on elev

Exercise 5

xx ו-yy מספרים חיוביים, ו-x+y=18x + y = 18. מהו הערך הגדול ביותר של x⋅y2x \cdot y^2?

Show the answer and the solution

Answer: 864

Worked solution:

P(x)=x(18−x)20<x<18\begin{aligned}P(x) &= x(18 - x)^2 \\ \quad 0 < x < 18\end{aligned}

מסלקים את yy

P′(x)=(18−x)2−2x(18−x)=(18−x)(18−3x)\begin{aligned}P'(x) &= (18 - x)^2 - 2x(18 - x) \\ &= (18 - x)(18 - 3x)\end{aligned}

כלל המכפלה

x=6(x=18∉(0,18))x = 6 \quad (x = 18 \notin (0, 18))

מ-++ ל-−-: מקסימום

P(6)=6⋅122=864\begin{aligned}P(6) &= 6 \cdot 12^2 \\ &= 864\end{aligned}

המספרים 66 ו-1212

המספרים במקסימום אינם שווים: y=2xy = 2x. ו-x=18x = 18 נותן y=0y = 0 ומכפלה 00.

Check the answer on elev

Exercise 6

גיליון 30 על 14, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx030014

מגיליון קרטון שממדיו 3030 ס״מ על 1414 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו תחום ההגדרה של הבעיה?

  1. 0<x<140 < x < 14
  2. 0<x<300 < x < 30
  3. 0<x<150 < x < 15
  4. 0<x<70 < x < 7
Show the answer and the solution

Answer: D 0<x<70 < x < 7

Worked solution:

30−2x>0 ⇒ x<1530 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 15

הצלע הארוכה

14−2x>0 ⇒ x<714 - 2x > 0 \ \Rightarrow \ x < 7

הצלע הקצרה

0<x<70 < x < 7

שני התנאים יחד

הנכונה: 0<x<70 < x < 7. שתי צלעות הבסיס חייבות להיות חיוביות, ולכן הצלע הקצרה קובעת. 0<x<150 < x < 15 בודק רק את הארוכה.

Check the answer on elev

Exercise 7

גיליון 30 על 14, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx030014

מגיליון קרטון שממדיו 3030 ס״מ על 1414 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ״ק)?

Show the answer and the solution

Answer: 576

Worked solution:

V(x)=x(30−2x)(14−2x)=4x3−88x2+420x0<x<7\begin{aligned}V(x) &= x(30 - 2x)(14 - 2x) \\ &= 4x^3 - 88x^2 + 420x \\ \quad 0 < x < 7\end{aligned}

הנפח והתחום

V′(x)=12x2−176x+420=4(3x−35)(x−3)\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 176x + 420 \\ &= 4(3x - 35)(x - 3)\end{aligned}

גזירה ופירוק

x=3(x=353∉(0,7))x = 3 \quad \left(x = \tfrac{35}{3} \notin (0, 7)\right)

מ-++ ל-−-: מקסימום

V(3)=3⋅24⋅8=576\begin{aligned}V(3) &= 3 \cdot 24 \cdot 8 \\ &= 576\end{aligned}

הנפח

המשוואה נותנת שני פתרונות, והתחום פוסל את 353\frac{35}{3}. הבסיס הוא 24×824 \times 8.

Check the answer on elev

Exercise 8

f(x) = 6√x ו-g(x) = x
ABfg0481216202428323604812162024283236xy
A על f ו-B על g, באותו x. הגרפים נחתכים ב-x = 0 וב-x = 36.

נתונות f(x)=6xf(x) = 6\sqrt{x} ו-g(x)=xg(x) = x. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, בתחום 0≤x≤360 \le x \le 36, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של ABAB?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

L(x)=6x−x0≤x≤36\begin{aligned}L(x) &= 6\sqrt{x} - x \\ \quad 0 \le x \le 36\end{aligned}

f(9)=18>g(9)=9f(9) = 18 > g(9) = 9: ff העליון

L′(x)=3x−1L'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - 1

נגזרת של שורש

L′(x)=0 ⇒ x=3 ⇒ x=9\begin{aligned}L'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

בתוך התחום

L(9)=18−9=9L(0)=L(36)=0\begin{aligned}L(9) &= 18 - 9 \\ &= 9 \\ \quad L(0) &= L(36) \\ &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

הנגזרת של 6x6\sqrt{x} היא 62x=3x\frac{6}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{x}}. מי שכותב 6x\frac{6}{\sqrt{x}} מקבל x=36x = 36, ושם האורך 00.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ואורכו 20 מ׳. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט, עם 6060 מ׳ גדר. אורך הקיר ADAD הוא 2020 מ׳ בלבד, ולכן BC≤20BC \le 20. הוכיחו או הפריכו: השטח הגדול ביותר מתקבל כש-AB=15AB = 15 מ׳.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

BC=60−2x≤20 ⇒ x≥20BC = 60 - 2x \le 20 \ \Rightarrow \ x \ge 20

הקיר מגביל

S′(x)=60−4x=0 ⇒ x=15∉[20,30)\begin{aligned}S'(x) &= 60 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 15 \notin [20, 30)\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

S′(x)=60−4x<0 ל-x≥20S'(x) = 60 - 4x < 0 \ \text{ל-} x \ge 20

השטח יורד בכל התחום

S(20)=20⋅20=400\begin{aligned}S(20) &= 20 \cdot 20 \\ &= 400\end{aligned}

המקסימום בקצה x=20x = 20

הטענה לא נכונה. ב-AB=15AB = 15 הצלע BC=30BC = 30, ארוכה מהקיר. השטח הגדול ביותר מתקבל ב-AB=20AB = 20, והוא 400400 מ״ר.

Check the answer on elev

Exercise 10

חברה משקיעה בפרסום xx אלפי שקלים, והפרסום מביא הכנסה נוספת של 20x20\sqrt{x} אלפי שקלים. לכל אלף שקלים של השקעה יש עוד הוצאה של אלף שקלים על עיצוב, ולכן ההוצאה הכוללת היא 2x2x אלפי שקלים. מהו הרווח הנקי הגדול ביותר, באלפי שקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

R(x)=20x−2xx≥0\begin{aligned}R(x) &= 20\sqrt{x} - 2x \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

ההכנסה פחות ההוצאה

R′(x)=10x−2R'(x) = \frac{10}{\sqrt{x}} - 2

נגזרת של שורש

R′(x)=0 ⇒ x=5 ⇒ x=25\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= 25\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

R(25)=100−50=50\begin{aligned}R(25) &= 100 - 50 \\ &= 50\end{aligned}

הרווח

ההשקעה היא 2525 אלף, והרווח 5050 אלף. מציבים ב-RR, לא ב-20x20\sqrt{x} לבד.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade