Set 2 — medium · Optimization problems · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות בינוניות. כאן צריך לבנות את הפונקציה בעצמכם: תיבה, קטע בין גרפים, השכרת אופניים. ויש שורש אחד.

לפני הגזירה, בדקו את הפונקציה בנקודה אחת: אם $x = 1$ נותן ערך מוזר (שטח שלילי, כמות שלילית), הביטוי שגוי.

Exercises

Exercise 1

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 8$ . מהו הערך הקטן ביותר של $x^2 + 3y^2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= x^2 + 3(8 - x)^2 \\ &= 4x^2 - 48x + 192 \\ \quad 0 < x < 8\end{aligned}

מסלקים את $y$

\begin{aligned}f'(x) &= 8x - 48 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}f(6) &= 36 + 3 \cdot 4 \\ &= 48\end{aligned}

המספרים $6$ ו- $2$

המקדם $3$ «מושך» את $y$ להיות קטן: המינימום אינו ב- $x = y = 4$ . בדיקה: $f(4) = 16 + 48 = 64 > 48$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

גיליון 30 על 30, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון קרטון ריבועי שצלעו $30$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. א. מצאו את $x$ שעבורו נפח התיבה הגדול ביותר.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}V(x) &= x(30 - 2x)^2 \\ \quad 0 < x < 15\end{aligned}

בסיס $(30 - 2x)^2$ , גובה $x$

\begin{aligned}V'(x) &= (30 - 2x)^2 - 4x(30 - 2x) \\ &= (30 - 2x)(30 - 6x)\end{aligned}

כלל המכפלה

x = 5 \quad (x = 15 \notin (0, 15))

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

בנגזרת של $(30 - 2x)^2$ מכפילים בנגזרת הפנימית $-2$ : מקבלים $-4(30 - 2x)$ . ו- $x = 15$ נפסל, כי שם אין בסיס.

Check the answer on elev

Exercise 3

גיליון 30 על 30, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x

מגיליון קרטון ריבועי שצלעו $30$ ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו $x$ ס״מ, ומקפלים לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. ב. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ״ק)?

Show the answer and the solution

Answer: 2000

Worked solution:

x = 5

מסעיף א

\begin{aligned}V(5) &= 5 \cdot 20^2 \\ &= 2000\end{aligned}

בסיס $20 \times 20$ , גובה $5$

הבסיס הוא $30 - 2 \cdot 5 = 20$ , לא $25$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

הקטע האנכי AB בין f ל-g

A על f ו-B על g, באותו x, בין נקודות החיתוך של הגרפים.

נתונות $f(x) = -x^2 + 6x + 5$ ו- $g(x) = 12 - 2x$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בין נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של $AB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\begin{aligned}-x^2 + 6x + 5 &= 12 - 2x \ \Rightarrow \ x^2 - 8x + 7 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= 7\end{aligned}

התחום: $1 < x < 7$

\begin{aligned}L(x) &= f(x) - g(x) \\ &= -x^2 + 8x - 7\end{aligned}

$f(4) = 13 > g(4) = 4$

\begin{aligned}L'(x) &= -2x + 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}L(4) &= -16 + 32 - 7 \\ &= 9\end{aligned}

האורך

האורך הגדול ביותר $9$ אינו בקודקוד הפרבולה ( $x = 3$ ): שם $L(3) = 8$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

בטבריה משכירים $40$ אופניים ביום, במחיר $50$ שקלים. כל העלאה של $5$ שקלים במחיר מורידה $2$ אופניים מההשכרות. $x$ הוא מספר ההעלאות. מהי הפונקציה של ההכנסה היומית?

$R(x) = (50 + 5x)(40 - x)$
$R(x) = (50 + 5x)(40 - 2x)$
$R(x) = (50 - 5x)(40 + 2x)$
$R(x) = (50 + x)(40 - x)$

Show the answer and the solution

Answer: B $R(x) = (50 + 5x)(40 - 2x)$

Worked solution:

50 + 5x

המחיר אחרי $x$ העלאות

40 - 2x

מספר האופניים

R(x) = (50 + 5x)(40 - 2x)

מחיר כפול כמות

הנכונה: $R(x) = (50 + 5x)(40 - 2x)$ . $x$ סופר העלאות, ולכן כל העלאה מוסיפה $5$ ומורידה $2$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

בטבריה משכירים $40$ אופניים ביום, במחיר $50$ שקלים. כל העלאה של $5$ שקלים במחיר מורידה $2$ אופניים מההשכרות. מהי ההכנסה היומית הגדולה ביותר, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 2250

Worked solution:

\begin{aligned}R(x) &= (50 + 5x)(40 - 2x) \\ \quad 0 \le x \le 20\end{aligned}

ההכנסה והתחום

\begin{aligned}R'(x) &= 5(40 - 2x) - 2(50 + 5x) \\ &= 100 - 20x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}R(5) &= 75 \cdot 30 \\ &= 2250\end{aligned}

מחיר $75$ , $30$ אופניים

בלי העלאה ההכנסה $2000$ . ההעלאה ל- $75$ שקלים מגדילה את ההכנסה, אף שמשכירים פחות אופניים.

Check the answer on elev

Exercise 7

מהו הערך הקטן ביותר של הביטוי $x - 4\sqrt{x}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: -4

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= x - 4\sqrt{x} \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

תחום השורש

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - \frac{4}{2\sqrt{x}} \\ &= 1 - \frac{2}{\sqrt{x}}\end{aligned}

נגזרת של שורש

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}f(4) &= 4 - 8 \\ &= -4\end{aligned}

הערך

הערך הקטן ביותר שלילי: $-4$ . מי שעונה $4$ נתן את $x$ , לא את הערך.

Check the answer on elev

Exercise 8

הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט, עם $40$ מ׳ גדר. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

\begin{aligned}AB &= CD \\ &= x \\ \quad BC &= 40 - 2x\end{aligned}

\begin{aligned}S(x) &= x(40 - 2x) \\ &= 40x - 2x^2\end{aligned}

\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

\begin{aligned}S(10) &= 10 \cdot 20 \\ &= 200\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $S'(x) = 40 - 2x = 0 \ \Rightarrow \ x = 20$ → $S'(x) = 40 - 4x = 0 \ \Rightarrow \ x = 10$

Worked solution:

(-2x^2)' = -4x

הנגזרת של האיבר הריבועי

\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

התיקון

\begin{aligned}x &= 20 \ \Rightarrow \ BC \\ &= 0\end{aligned}

עם הטעות, אין חלקה

הנגזרת של $-2x^2$ היא $-4x$ . עם $x = 20$ הצלע $BC$ היא $0$ : זה סימן שמשהו שגוי.

Check the answer on elev

Exercise 9

הוכיחו או הפריכו: כשסכום של שני מספרים חיוביים קבוע, המכפלה שלהם הגדולה ביותר כשהם שווים.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}x + y &= k \ \Rightarrow \ P(x) \\ &= x(k - x) \\ \quad 0 < x < k\end{aligned}

סכום קבוע $k$

\begin{aligned}P'(x) &= k - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{k}{2}\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}y &= k - \frac{k}{2} \\ &= \frac{k}{2} \\ &= x\end{aligned}

שני המספרים שווים

הטענה נכונה למכפלה $x \cdot y$ . אבל לביטוי כמו $x^2 \cdot y$ היא לא נכונה.

Check the answer on elev

Exercise 10

מלבן ברביע הראשון, P על הישר y = 12 − 3x

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעות שלו על הצירים, והקודקוד $P$ על הישר $y = 12 - 3x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= x(12 - 3x) \\ \quad 0 < x < 4\end{aligned}

$P = (x,\,12 - 3x)$

\begin{aligned}S'(x) &= 12 - 6x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(2) &= 2 \cdot 6 \\ &= 12\end{aligned}

השטח

המלבן מתחיל בראשית, ולכן הרוחב $x$ ולא $2x$ . הגובה הוא שיעור ה- $y$ של $P$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev