Set 1 — easy · Optimization problems · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשר שאלות ישירות: הפונקציה כמעט נתונה, והעבודה היא לגזור, לבדוק את התחום ולענות על מה שנשאל. יש כאן מכל סוג: מספרים, גאומטריה, גרף וכלכלה.

בכל שאלה כתבו לפני הגזירה את התחום, ואחרי המקסימום בדקו מה נשאל: $x$ , או הערך.

Exercises

Exercise 1

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $24$ . מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

Show the answer and the solution

Answer: 144

Worked solution:

\begin{aligned}P(x) &= x(24 - x) \\ \quad 0 < x < 24\end{aligned}

סימון, הבעה ותחום

\begin{aligned}P'(x) &= 24 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 12\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

P(12) = 144

המכפלה

התשובה היא המכפלה $144$ . $12$ הוא כל אחד מהמספרים.

Check the answer on elev

Exercise 2

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $24$ , ו- $x$ הוא המספר הראשון. מהו תחום ההגדרה של הבעיה?

$0 \le x \le 24$
$0 < x < 12$
$0 < x < 24$
$x > 0$

Show the answer and the solution

Answer: C $0 < x < 24$

Worked solution:

x > 0

המספר הראשון חיובי

24 - x > 0 \ \Rightarrow \ x < 24

גם השני חיובי

הנכונה: $0 < x < 24$ . «חיוביים» פוסל את $0$ , ולכן התחום פתוח. $x > 0$ שוכח שגם המספר השני חייב להיות חיובי.

Check the answer on elev

Exercise 3

היקף המלבן ABCD הוא 20 ס״מ. AB = x.

היקף המלבן $ABCD$ הוא $20$ ס״מ, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 25

Worked solution:

\begin{aligned}AB &= x \\ \quad BC &= 10 - x\end{aligned}

חצי היקף הוא $10$

\begin{aligned}S(x) &= x(10 - x) \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

השטח והתחום

\begin{aligned}S'(x) &= 10 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום

S(5) = 25

השטח

בהיקף $20$ חצי ההיקף הוא $10$ . מי שכותב $BC = 20 - x$ בונה מלבן שהיקפו $40$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

מספר אחד גדול ממספר שני ב- $6$ . מהי המכפלה הקטנה ביותר של שני המספרים?

Show the answer and the solution

Answer: -9

Worked solution:

\begin{aligned}P(x) &= x(x - 6) \\ &= x^2 - 6x\end{aligned}

$x$ המספר הגדול. אין הגבלה על $x$

\begin{aligned}P'(x) &= 2x - 6 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}P(3) &= 3 \cdot (-3) \\ &= -9\end{aligned}

המספרים $3$ ו- $-3$

המכפלה הקטנה ביותר שלילית. מספרים שליליים מותרים כאן, כי השאלה לא אמרה «חיוביים».

Check the answer on elev

Exercise 5

הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט. לאורך הקיר $AD$ לא גודרים, ולרשותנו $40$ מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה (במ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 200

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= x(40 - 2x) \\ \quad 0 < x < 20\end{aligned}

$BC = 40 - 2x$

\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(10) &= 10 \cdot 20 \\ &= 200\end{aligned}

השטח

לאורך קיר יש שתי צלעות ניצבות. $x(40 - x)$ סופר רק אחת.

Check the answer on elev

Exercise 6

במפעל העלות של ייצור יחידה, כשמייצרים $x$ יחידות ביום, היא $c(x) = x^2 - 20x + 150$ שקלים. מהי העלות הקטנה ביותר ליחידה, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

\begin{aligned}c'(x) &= 2x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

גזירה

c'(5) < 0 ,\quad c'(15) > 0

מינימום

\begin{aligned}c(10) &= 100 - 200 + 150 \\ &= 50\end{aligned}

העלות

נשאלתם על העלות, לא על מספר היחידות. מציבים $x = 10$ ב- $c$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

הוכיחו או הפריכו: בבעיית קיצון, כל פתרון של המשוואה $f'(x) = 0$ הוא פתרון של הבעיה.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}V(x) &= x(12 - 2x)^2 \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

התיבה מגיליון $12 \times 12$

\begin{aligned}V'(x) &= (12 - 2x)(12 - 6x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 6\end{aligned}

שני פתרונות

x = 6 \notin (0, 6)

ב- $x = 6$ אין תיבה

הטענה לא נכונה. פתרון שנמצא מחוץ לתחום של הבעיה נפסל. לכן כותבים את התחום לפני הגזירה.

Check the answer on elev

Exercise 8

תיאטרון בבאר שבע מוכר $100$ כרטיסים להצגה, במחיר $60$ שקלים לכרטיס. כל העלאה של שקל אחד במחיר מורידה כרטיס אחד מהמכירות. באיזה מחיר לכרטיס ההכנסה הגדולה ביותר?

Show the answer and the solution

Answer: 80

Worked solution:

\begin{aligned}R(x) &= (60 + x)(100 - x) \\ \quad 0 \le x \le 100\end{aligned}

$x$ ההעלאה בשקלים

\begin{aligned}R'(x) &= (100 - x) - (60 + x) \\ &= 40 - 2x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

60 + 20 = 80

המחיר

נשאלתם על המחיר: $80$ שקלים, לא ההעלאה $20$ . ההכנסה עצמה: $80 \cdot 80 = 6400$ .

Check the answer on elev

Exercise 9

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $24$ . סדרו את שורות הפתרון שמוצא את המכפלה הגדולה ביותר.

$0 < x < 24$
$P'(x) = 24 - 2x = 0$ , ולכן $x = 12$
$P(x) = x(24 - x)$
$x$ המספר הראשון, $24 - x$ המספר השני
הנגזרת עוברת מ- $+$ ל- $-$ , ו- $P(12) = 144$

Show the answer and the solution

Answer: $x$ המספר הראשון, $24 - x$ המספר השני · $P(x) = x(24 - x)$ · $0 < x < 24$ · $P'(x) = 24 - 2x = 0$ , ולכן $x = 12$ · הנגזרת עוברת מ- $+$ ל- $-$ , ו- $P(12) = 144$

Worked solution:

1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5

סימון, הבעה, תחום, גזירה, סוג ותשובה

אותם חמישה שלבים בכל בעיה. התחום בא לפני הגזירה.

Check the answer on elev

Exercise 10

מלבן מתחת לגרף y = 3 − x²

הקודקודים $P$ ו- $Q$ של מלבן נמצאים על הגרף $y = 3 - x^2$ , ושני הקודקודים האחרים על ציר ה- $x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}S(x) &= 2x(3 - x^2) \\ &= 6x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{3}\end{aligned}

רוחב $2x$ , גובה $3 - x^2$

\begin{aligned}S'(x) &= 6 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S(1) &= 2 \cdot 2 \\ &= 4\end{aligned}

השטח

הרוחב $2x$ , כי $Q$ נמצא ב- $-x$ . מי שכותב $x(3 - x^2)$ מקבל $2$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev