Solving together · Optimization problems · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל סוג של בעיית קיצון: מספרים, מקבילית בתוך מלבן, משולש עם שורש, קטע בין שני גרפים, ומחיר וכמות. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. בכל שאלה חוזרים אותם חמישה שלבים: סימון המשתנה, הבעת הגודל כפונקציה, תחום ההגדרה של הבעיה, גזירה והשוואה לאפס, ובדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה.

1 — מספרים: מכפלה עם חזקה

Interactive activity

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 9$ . א. הביעו את $x^2 \cdot y$ באמצעות $x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו $x^2 \cdot y$ הגדול ביותר. ג. מהו הערך הגדול ביותר?

\begin{aligned}x + y &= 9 \\ \qquad P &= x^2 y\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הצעד הראשון: לסלק את $y$ .

סימון

y = 9 - x

מהנתון הקבוע.

א. הבעה

\begin{aligned}P(x) &= x^2(9 - x) \\ &= 9x^2 - x^3\end{aligned}

הגודל באמצעות $x$ בלבד.

תחום

0 < x < 9

שני המספרים חיוביים.

ב. גזירה

\begin{aligned}P'(x) &= 18x - 3x^2 \\ &= 3x(6 - x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

$x = 0$ אינו בתחום.

סוג

\begin{aligned}P'(1) &= 15 > 0 \\ \quad P'(7) &= -21 < 0\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום ב- $x = 6$ .

ג. תשובה

\begin{aligned}P(6) &= 36 \cdot 3 \\ &= 108\end{aligned}

המספרים $6$ ו- $3$ .

המספרים אינם שווים במקסימום. הכלל «שני מספרים שווים» נכון רק למכפלה $x \cdot y$ .

Do the activity on elev

למה $x = 0$ נפסל, אף שהוא פותר את $P'(x) = 0$ ?

Show the answer and the solution

המספרים חיוביים, ולכן $x = 0$ מחוץ לתחום. וגם בלי זה: $P(0) = 0$ , וזו המכפלה הקטנה ביותר, לא הגדולה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מקבילית בתוך מלבן

AB = 16, BC = 12. AQ = CE = x, AP = CT = 2x.

Interactive activity

במלבן $ABCD$ , $AB = 16$ ו- $BC = 12$ . על הצלעות נמצאות הנקודות $P, E, T, Q$ , כך ש- $AQ = CE = x$ ו- $AP = CT = 2x$ . $PETQ$ היא מקבילית. א. הביעו את שטח המקבילית באמצעות $x$ . ב. מצאו את השטח הגדול ביותר.

\begin{aligned}AB &= 16 \\ \ BC &= 12 \\ \quad AQ &= CE \\ &= x \\ \ AP &= CT \\ &= 2x\end{aligned}

לחצו «להתחיל». את שטח המקבילית מקבלים מהמלבן, בחיסור.

פינות A ו-C

\begin{aligned}S_{\triangle APQ} &= S_{\triangle CTE} \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot x \\ &= x^2\end{aligned}

משולשים ישרי זווית: חצי מכפלת הניצבים.

פינות B ו-D

\begin{aligned}S_{\triangle PBE} &= S_{\triangle TDQ} \\ &= \tfrac{1}{2}(16 - 2x)(12 - x)\end{aligned}

$PB = 16 - 2x$ ו- $BE = 12 - x$ .

א.

\begin{aligned}S(x) &= 192 - 2x^2 - (16 - 2x)(12 - x) \\ &= 40x - 4x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים.

תחום

0 < x \le 8

$2x \le 16$ וגם $x \le 12$ : ההגבלה החזקה היא $x \le 8$ .

גזירה

\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

בתוך התחום; מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום.

ב.

\begin{aligned}S(5) &= 200 - 100 \\ &= 100 \\ \qquad S(8) &= 64 < 100\end{aligned}

השטח הגדול ביותר $100$ , גם לעומת הקצה.

כמו בכל מקבילית כזאת, השטח הגדול ביותר קרוב לחצי משטח המלבן.

Do the activity on elev

מה אורכי הקטעים $AP$ ו- $AQ$ במקבילית הגדולה ביותר?

Show the answer and the solution

$AQ = x = 5$ ו- $AP = 2x = 10$ . בדיקה: שטח ארבעת המשולשים $2 \cdot 25 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 50 + 42 = 92 = 192 - 100$ ✓.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משולש עם שורש

AB = 10 (היתר), BC = x.

Interactive activity

המשולש הגדול ביותר עם יתר נתון

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, והיתר $AB = 10$ . הניצב $BC = x$ . מהו השטח הגדול ביותר של המשולש?

$25$

$50$

$24$

$5\sqrt{2}$

איך מבטאים את הניצב $AC$ ?

$AC = \sqrt{100 - x^2}$

Show the answer and the solution

לפי משפט פיתגורס.

$AC = 10 - x$

Show the answer and the solution

ביתר לא מחסרים אורכים. משתמשים במשפט פיתגורס.

\begin{aligned}S(x) &= \tfrac{1}{2} x\sqrt{100 - x^2} \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

חצי מכפלת הניצבים. $x$ קטן מהיתר.

מה הנגזרת?

$S'(x) = \frac{100 - 2x^2}{2\sqrt{100 - x^2}}$

Show the answer and the solution

כלל המכפלה ונגזרת של שורש, ואז מכנה משותף.

$S'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{100 - x^2}}$

Show the answer and the solution

זו רק הנגזרת של השורש. בכלל המכפלה יש שני מחוברים.

\begin{aligned}S'(x) &= \tfrac{1}{2}\left(\sqrt{100 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{100 - x^2}}\right) \\ &= \frac{100 - 2x^2}{2\sqrt{100 - x^2}}\end{aligned}

המכנה חיובי, והסימן נקבע לפי המונה.

איפה $S'(x) = 0$ בתחום?

$x = 5\sqrt{2}$

Show the answer and the solution

$x^2 = 50$ , ורק הפתרון החיובי בתחום.

$x = 5$

Show the answer and the solution

$100 - 2x^2 = 0$ נותן $x^2 = 50$ , לא $x = 5$ .

\begin{aligned}x^2 &= 50 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

המונה $100 - 2x^2$ עובר מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום.

Show the answer and the solution

השטח הגדול ביותר הוא $25$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 25$ . שני הניצבים שווים: המשולש שווה שוקיים. $5\sqrt{2}$ הוא אורך הניצב, לא השטח. $24$ הוא שטח המשולש $6, 8, 10$ , ולכן קטן יותר.

Do the activity on elev

למה המשולש הגדול ביותר הוא דווקא המשולש שבו הניצבים שווים?

Show the answer and the solution

ב- $x = 5\sqrt{2}$ גם $AC = \sqrt{100 - 50} = 5\sqrt{2}$ . החישוב מראה את זה, לא מניח את זה: מבין כל המשולשים ישרי הזווית עם יתר $10$ , לשווה השוקיים השטח הגדול ביותר.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — הקטע האנכי בין שורש לישר

f(x) = 2√x ו-g(x) = x/2

A על f ו-B על g, באותו x. הגרפים נחתכים בראשית וב-(16, 8).

Interactive activity

נתונות $f(x) = 2\sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{x}{2}$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בתחום $0 \le x \le 16$ . א. מצאו את $x$ שעבורו הקטע $AB$ הארוך ביותר. ב. מהו האורך הגדול ביותר?

\begin{aligned}f(x) &= 2\sqrt{x} \\ \quad g(x) &= \frac{x}{2} \\ \quad 0 \le x \le 16\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם בודקים איזה גרף עליון.

עליון

\begin{aligned}f(4) &= 4 > g(4) \\ &= 2\end{aligned}

בין נקודות החיתוך $0$ ו- $16$ , הגרף של $f$ מעל הגרף של $g$ .

הבעה

\begin{aligned}L(x) &= 2\sqrt{x} - \frac{x}{2} \\ \quad 0 \le x \le 16\end{aligned}

העליון פחות התחתון. תחום סגור.

גזירה

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2}\end{aligned}

הנגזרת לא מוגדרת ב- $x = 0$ , קצה התחום.

א.

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{x}} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

בתוך התחום.

קצוות

\begin{aligned}L(0) &= 0 \\ \quad L(16) &= 8 - 8 \\ &= 0\end{aligned}

בנקודות החיתוך האורך $0$ .

ב.

\begin{aligned}L(4) &= 4 - 2 \\ &= 2\end{aligned}

האורך הגדול ביותר $2$ , ב- $A(4,\,4)$ ו- $B(4,\,2)$ .

בתחום סגור משווים את הנקודה החשודה לשני הקצוות, גם כשברור שהם קטנים.

Do the activity on elev

מה מיוחד בשיפועים של $f$ ושל $g$ ב- $x = 4$ ?

Show the answer and the solution

הם שווים: $f'(4) = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} = g'(4)$ . זה בדיוק התנאי $L'(x) = f'(x) - g'(x) = 0$ . המשיק ל- $f$ ב- $A$ מקביל לישר $g$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — מחיר וכמות

Interactive activity

קיוסק המיצים

קיוסק בתל אביב מוכר $80$ כוסות מיץ ביום, במחיר $18$ שקלים לכוס. כל כוס עולה לקיוסק $6$ שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה $10$ כוסות ביום. א. באיזה מחיר הרווח היומי הגדול ביותר? ב. מהו הרווח הזה?

$16$ שקלים, רווח $1000$

$18$ שקלים, רווח $960$

$2$ שקלים, רווח $1000$

$16$ שקלים, רווח $1600$

$x$ היא ההורדה במחיר. מהו הרווח היומי?

$P(x) = (12 - x)(80 + 10x)$

Show the answer and the solution

רווח לכוס $18 - x - 6$ , כפול מספר הכוסות.

$P(x) = (18 - x)(80 + 10x)$

Show the answer and the solution

זו ההכנסה. לא חיסרתם את העלות.

\begin{aligned}P(x) &= (12 - x)(80 + 10x) \\ &= 960 + 40x - 10x^2 \\ \quad 0 \le x \le 12\end{aligned}

לא מוכרים מתחת לעלות.

איפה $P'(x) = 0$ ?

$x = 2$

Show the answer and the solution

$40 - 20x = 0$ .

$x = 4$

Show the answer and the solution

הנגזרת של $-10x^2$ היא $-20x$ .

\begin{aligned}P'(x) &= 40 - 20x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום. $P(0) = 960$ ו- $P(12) = 0$ קטנים יותר.

מה עונים בסעיף א?

המחיר $18 - 2 = 16$ שקלים

Show the answer and the solution

נשאלתם על המחיר.

$2$ שקלים

Show the answer and the solution

זו ההורדה, לא המחיר.

\begin{aligned}P(2) &= 10 \cdot 100 \\ &= 1000\end{aligned}

סעיף ב: רווח לכוס $10$ , ו- $100$ כוסות.

Show the answer and the solution

$16$ שקלים לכוס, ורווח יומי של $1000$ שקלים. $1600 = 16 \cdot 100$ היא ההכנסה. $960$ הוא הרווח בלי הורדה: ההורדה משתלמת.

Do the activity on elev

בכמה אחוזים גדל מספר הכוסות, ובכמה ירד הרווח לכוס?

Show the answer and the solution

הכוסות: מ- $80$ ל- $100$ , עלייה של $25\%$ . הרווח לכוס: מ- $12$ ל- $10$ , ירידה של כ- $17\%$ . העלייה בכמות גדולה מהירידה ברווח לכוס, ולכן הרווח הכולל גדל.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 15$ . מהו הערך הגדול ביותר של $x^2 \cdot y$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 500

Worked solution:

\begin{aligned}P(x) &= x^2(15 - x) \\ &= 15x^2 - x^3 \\ \quad 0 < x < 15\end{aligned}

מסלקים את $y$

\begin{aligned}P'(x) &= 30x - 3x^2 \\ &= 3x(10 - x) \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

$x = 0$ אינו בתחום

P'(1) > 0 ,\quad P'(11) < 0

מקסימום

\begin{aligned}P(10) &= 100 \cdot 5 \\ &= 500\end{aligned}

המספרים $10$ ו- $5$

המכפלה $x^2 y$ אינה מקסימלית כשהמספרים שווים: $7.5^2 \cdot 7.5 \approx 422 < 500$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

AB = 12, BC = 8. AQ = CE = x, AP = CT = 3x.

במלבן $ABCD$ , $AB = 12$ ו- $BC = 8$ . על הצלעות נמצאות הנקודות $P, E, T, Q$ , כך ש- $AQ = CE = x$ ו- $AP = CT = 3x$ , כמו בשרטוט. $PETQ$ היא מקבילית. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

Show the answer and the solution

Answer: 54

Worked solution:

S(x) = 96 - 2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot 3x \cdot x - 2 \cdot \tfrac{1}{2}(12 - 3x)(8 - x)

המלבן פחות ארבעת המשולשים בפינות

\begin{aligned}S(x) &= 96 - 3x^2 - (96 - 36x + 3x^2) \\ &= 36x - 6x^2\end{aligned}

מפשטים

0 < x \le 4

תחום: $3x \le 12$

\begin{aligned}S'(x) &= 36 - 12x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= 108 - 54 \\ &= 54\end{aligned}

השטח. בקצה: $S(4) = 48 < 54$

התחום נקבע לפי $AP = 3x \le 12$ , כלומר $x \le 4$ . מי שכותב $x \le 8$ שכח שהנקודה $P$ צריכה להישאר על הצלע $AB$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

AB = 6 (היתר), BC = x.

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, היתר $AB = 6$ , והניצב $BC = x$ , כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המשולש?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{36 - x^2} \ \Rightarrow \ S(x) \\ &= \tfrac{1}{2}x\sqrt{36 - x^2} \\ \quad 0 < x < 6\end{aligned}

משפט פיתגורס

S'(x) = \frac{36 - 2x^2}{2\sqrt{36 - x^2}}

כלל המכפלה ונגזרת של שורש

\begin{aligned}S'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 18 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\sqrt{2}\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S &= \tfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 18 \\ &= 9\end{aligned}

השטח

ב- $x = 3\sqrt{2}$ שני הניצבים שווים. מי שעונה $3\sqrt{2}$ נתן את אורך הניצב, לא את השטח.

Check the answer on elev

Exercise 4

f(x) = 4√x ו-g(x) = x

A על f ו-B על g, באותו x.

נתונות $f(x) = 4\sqrt{x}$ ו- $g(x) = x$ . ישר המקביל לציר ה- $y$ חותך את $f$ ב- $A$ ואת $g$ ב- $B$ , בתחום $0 \le x \le 16$ , כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע $AB$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

\begin{aligned}L(x) &= 4\sqrt{x} - x \\ \quad 0 \le x \le 16\end{aligned}

$f(4) = 8 > g(4) = 4$ : $f$ העליון

\begin{aligned}L'(x) &= \frac{4}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= \frac{2}{\sqrt{x}} - 1\end{aligned}

נגזרת של שורש

\begin{aligned}L'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

בתוך התחום

\begin{aligned}L(4) &= 8 - 4 \\ &= 4 \\ \quad L(0) &= L(16) \\ &= 0\end{aligned}

משווים לקצוות

האורך הגדול ביותר $4$ , ב- $x = 4$ . שני המספרים שווים כאן במקרה: $x$ מהנגזרת, והאורך מ- $L$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

קיוסק מוכר $60$ כוסות מיץ ביום, במחיר $20$ שקלים לכוס. כל כוס עולה לקיוסק $8$ שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה $10$ כוסות ביום. מהו הרווח היומי הגדול ביותר, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 810

Worked solution:

\begin{aligned}P(x) &= (12 - x)(60 + 10x) \\ \quad 0 \le x \le 12\end{aligned}

רווח לכוס $20 - x - 8$

\begin{aligned}P'(x) &= -(60 + 10x) + 10(12 - x) \\ &= 60 - 20x\end{aligned}

כלל המכפלה

\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}P(3) &= 9 \cdot 90 \\ &= 810\end{aligned}

מחיר $17$ שקלים, $90$ כוסות

בלי הורדה הרווח $12 \cdot 60 = 720$ . ההורדה של $3$ שקלים מוסיפה $90$ שקלים ביום. $17 \cdot 90 = 1530$ היא ההכנסה, לא הרווח.

Check the answer on elev

1 — מספרים: מכפלה עם חזקה

2 — מקבילית בתוך מלבן

3 — משולש עם שורש

4 — הקטע האנכי בין שורש לישר

5 — מחיר וכמות

Exercises

Keep practising on elev