Optimisation in economics

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חנות בנתניה מוכרת 200200 זוגות כפכפים בחודש, במחיר 5050 שקלים לזוג. לחנות כל זוג עולה 2020 שקלים. בעלת החנות יודעת שכל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 זוגות למכירות. להוריד את המחיר? שני כוחות מושכים לכיוונים הפוכים: מוכרים יותר זוגות, אבל מרוויחים פחות על כל זוג. הסתכלו על הגרף.

הרווח החודשי P(x), כש-x היא ההורדה במחיר (בשקלים)
(0, 6000)(5, 6250)(10, 6000)(20, 4000)05101520253001000200030004000500060007000xy
הורדה קטנה במחיר מגדילה את הרווח. הורדה גדולה מקטינה אותו: מרוויחים מעט מדי על כל זוג.

לפי הגרף: איזו הורדה במחיר נותנת את הרווח הגדול ביותר? ומה קורה לרווח בהורדה של 3030 שקלים?

Show the answer and the solution

השיא בהורדה של 55 שקלים, והרווח 62506250 שקלים. בהורדה של 3030 שקלים המחיר 2020, בדיוק העלות: על כל זוג מרוויחים 00, והרווח 00.

הרווח: הרווח לזוג כפול מספר הזוגות

ואם החנות רשאית להוריד את המחיר ב-33 שקלים לכל היותר?

Show the answer and the solution

התחום 0≤x≤30 \le x \le 3, ו-x=5x = 5 מחוץ לו. P′(x)>0P'(x) > 0 בכל התחום, ולכן הרווח עולה. הרווח הגדול ביותר בקצה: P(3)=27⋅230=6210P(3) = 27 \cdot 230 = 6210 שקלים, במחיר 4747 שקלים.

עלות הייצור של יחידה

כמה לייצר ביום?

במפעל בקריית גת העלות של ייצור יחידה אחת, כשמייצרים xx יחידות ביום, היא c(x)=0.2x2−16x+400c(x) = 0.2x^2 - 16x + 400 שקלים. כמה יחידות כדאי לייצר ביום, כדי שהעלות ליחידה תהיה הקטנה ביותר?

c(x)=0.2x2−16x+400x>0\begin{aligned}c(x) &= 0.2x^2 - 16x + 400 \\ \quad x > 0\end{aligned}

הפונקציה נתונה. התחום: מספר יחידות חיובי

c′(x)=0.4x−16=0 ⇒ x=40\begin{aligned}c'(x) &= 0.4x - 16 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 40\end{aligned}

גזירה והשוואה לאפס

c′(10)<0,c′(50)>0c'(10) < 0 ,\quad c'(50) > 0

מ-−- ל-++: מינימום

c(40)=320−640+400=80\begin{aligned}c(40) &= 320 - 640 + 400 \\ &= 80\end{aligned}

מייצרים 4040 יחידות ביום, והעלות ליחידה 8080 שקלים

רווח עם שורש

כמה להשקיע בפרסום?

חברה משקיעה בפרסום xx אלפי שקלים. הפרסום מביא הכנסה נוספת של 12x12\sqrt{x} אלפי שקלים. מהו הרווח הנקי הגדול ביותר מהפרסום?

R(x)=12x−xx≥0\begin{aligned}R(x) &= 12\sqrt{x} - x \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

ההכנסה הנוספת פחות ההשקעה

R′(x)=122x−1=6x−1\begin{aligned}R'(x) &= \frac{12}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= \frac{6}{\sqrt{x}} - 1\end{aligned}

לפי (x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

6x=1 ⇒ x=6 ⇒ x=36\begin{aligned}\frac{6}{\sqrt{x}} &= 1 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 6 \ \Rightarrow \ x \\ &= 36\end{aligned}

השוואה לאפס

R′(25)=0.2>0R′(49)=−17<0\begin{aligned}R'(25) &= 0.2 > 0 \\ \quad R'(49) &= -\tfrac{1}{7} < 0\end{aligned}

מקסימום

R(36)=72−36=36\begin{aligned}R(36) &= 72 - 36 \\ &= 36\end{aligned}

רווח נקי של 3636 אלף שקלים, בהשקעה של 3636 אלף

בבעיה כלכלית שואלים שלוש שאלות שונות: ההורדה (xx), המחיר (50−x50 - x), או הרווח (P(x)P(x)). קראו שוב את השאלה לפני שאתם כותבים את התשובה.

שלוש הטעויות של הבעיות הכלכליות.

P(x)=(50−x)(200+10x)P(x) = (50 - x)(200 + 10x)
P(x)=(30−x)(200+10x)P(x) = (30 - x)(200 + 10x)

זו ההכנסה, לא הרווח. הרווח לזוג הוא המחיר פחות העלות.

מחיר=5\text{מחיר} = 5
מחיר=50−5=45\begin{aligned}\text{מחיר} &= 50 - 5 \\ &= 45\end{aligned}

xx הוא ההורדה. המחיר הוא 50−x50 - x.

P(x)=(30−x)(200−10x)P(x) = (30 - x)(200 - 10x)
P(x)=(30−x)(200+10x)P(x) = (30 - x)(200 + 10x)

כשהמחיר יורד, הכמות עולה. בדקו: ב-x=1x = 1 מוכרים 210210 זוגות.

Exercises

Exercise 1

חנות ספרים בחיפה מוכרת 100100 עותקים בחודש של ספר, במחיר 6060 שקלים לעותק. כל עותק עולה לחנות 3030 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 עותקים למכירות. xx היא ההורדה במחיר, בשקלים. מהי הפונקציה של הרווח החודשי?

  1. P(x)=(30−x)(100−10x)P(x) = (30 - x)(100 - 10x)
  2. P(x)=(30−x)(100+10x)P(x) = (30 - x)(100 + 10x)
  3. P(x)=(60−x)(100+10x)P(x) = (60 - x)(100 + 10x)
  4. P(x)=(30+x)(100+10x)P(x) = (30 + x)(100 + 10x)
Show the answer and the solution

Answer: B P(x)=(30−x)(100+10x)P(x) = (30 - x)(100 + 10x)

Worked solution:

60−x−30=30−x60 - x - 30 = 30 - x

הרווח לעותק: המחיר החדש פחות העלות

100+10x100 + 10x

מספר העותקים

P(x)=(30−x)(100+10x)P(x) = (30 - x)(100 + 10x)

רווח לעותק כפול מספר העותקים

הנכונה: P(x)=(30−x)(100+10x)P(x) = (30 - x)(100 + 10x). (60−x)(100+10x)(60 - x)(100 + 10x) היא ההכנסה. ב-(100−10x)(100 - 10x) המכירות יורדות כשהמחיר יורד, וזה הפוך לנתון.

Check the answer on elev

Exercise 2

חנות ספרים מוכרת 100100 עותקים בחודש, במחיר 6060 שקלים לעותק, וכל עותק עולה לה 3030 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 עותקים למכירות. א. באיזה מחיר לעותק הרווח החודשי הגדול ביותר?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

P(x)=(30−x)(100+10x)=3000+200x−10x20≤x≤30\begin{aligned}P(x) &= (30 - x)(100 + 10x) \\ &= 3000 + 200x - 10x^2 \\ \quad 0 \le x \le 30\end{aligned}

הרווח והתחום

P′(x)=200−20x=0 ⇒ x=10\begin{aligned}P'(x) &= 200 - 20x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

גזירה

P′(5)>0,P′(15)<0P'(5) > 0 ,\quad P'(15) < 0

מקסימום

60−10=5060 - 10 = 50

המחיר

נשאלתם על המחיר: 60−10=5060 - 10 = 50 שקלים. 1010 הוא ההורדה.

Check the answer on elev

Exercise 3

חנות ספרים מוכרת 100100 עותקים בחודש, במחיר 6060 שקלים לעותק, וכל עותק עולה לה 3030 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 עותקים למכירות. ב. מהו הרווח החודשי הגדול ביותר, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 4000

Worked solution:

x=10x = 10

מסעיף א

P(10)=(30−10)(100+100)=20⋅200\begin{aligned}P(10) &= (30 - 10)(100 + 100) \\ &= 20 \cdot 200\end{aligned}

רווח לעותק כפול מספר העותקים

=4000= 4000

הרווח

P(0)=3000P(30)=0\begin{aligned}P(0) &= 3000 \\ \quad P(30) &= 0\end{aligned}

בקצוות: פחות

מי שמכפיל את המחיר 5050 ב-200200 מקבל 1000010000: זו ההכנסה, לא הרווח.

Check the answer on elev

Exercise 4

במלון באילת 6060 חדרים. במחיר 400400 שקלים ללילה כל החדרים מלאים. כל העלאה של 2020 שקלים במחיר משאירה חדר אחד ריק. א. באיזה מחיר ללילה ההכנסה של המלון הגדולה ביותר?

Show the answer and the solution

Answer: 800

Worked solution:

x העלאות:מחיר=400+20xחדרים=60−x\begin{aligned}x \ \text{העלאות} :\quad \text{מחיר} &= 400 + 20x \\ \quad \text{חדרים} &= 60 - x\end{aligned}

סימון המשתנה

R(x)=(400+20x)(60−x)0≤x≤60\begin{aligned}R(x) &= (400 + 20x)(60 - x) \\ \quad 0 \le x \le 60\end{aligned}

ההכנסה והתחום

R′(x)=20(60−x)−(400+20x)=800−40x\begin{aligned}R'(x) &= 20(60 - x) - (400 + 20x) \\ &= 800 - 40x\end{aligned}

כלל המכפלה

R′(x)=0 ⇒ x=20\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

400+20⋅20=800400 + 20 \cdot 20 = 800

המחיר

xx הוא מספר ההעלאות, לא המחיר. במחיר 800800 שקלים תפוסים רק 4040 חדרים, ובכל זאת ההכנסה גדלה.

Check the answer on elev

Exercise 5

במלון באילת 6060 חדרים. במחיר 400400 שקלים ללילה כל החדרים מלאים. כל העלאה של 2020 שקלים במחיר משאירה חדר אחד ריק. ב. מהי ההכנסה הגדולה ביותר ללילה, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 32000

Worked solution:

x=20x = 20

מסעיף א

R(20)=800⋅40=32000\begin{aligned}R(20) &= 800 \cdot 40 \\ &= 32000\end{aligned}

מחיר כפול מספר החדרים

R(0)=24000R(60)=0\begin{aligned}R(0) &= 24000 \\ \quad R(60) &= 0\end{aligned}

בקצוות: פחות

ב-x=0x = 0 המלון מלא, וההכנסה רק 2400024000. מלון מלא אינו בהכרח ההכנסה הגדולה ביותר.

Check the answer on elev

Exercise 6

במאפייה העלות של אפיית עוגה אחת, כשאופים xx עוגות ביום, היא c(x)=0.5x2−30x+500c(x) = 0.5x^2 - 30x + 500 שקלים. א. כמה עוגות כדאי לאפות ביום, כדי שהעלות לעוגה תהיה הקטנה ביותר?

Show the answer and the solution

Answer: 30

Worked solution:

c′(x)=x−30c'(x) = x - 30

גזירה

c′(x)=0 ⇒ x=30\begin{aligned}c'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 30\end{aligned}

השוואה לאפס

c′(20)<0,c′(40)>0c'(20) < 0 ,\quad c'(40) > 0

מ-−- ל-++: מינימום

מחפשים כאן מינימום, ולכן הנגזרת עוברת מ-−- ל-++. הנגזרת של 0.5x20.5x^2 היא xx.

Check the answer on elev

Exercise 7

במאפייה העלות של אפיית עוגה אחת, כשאופים xx עוגות ביום, היא c(x)=0.5x2−30x+500c(x) = 0.5x^2 - 30x + 500 שקלים. ב. מהי העלות הקטנה ביותר לעוגה, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

x=30x = 30

מסעיף א

c(30)=0.5⋅900−900+500c(30) = 0.5 \cdot 900 - 900 + 500

מציבים ב-cc

=450−900+500=50= 450 - 900 + 500 = 50

העלות לעוגה

מציבים ב-cc, לא ב-c′c'. c′(30)=0c'(30) = 0 תמיד, ואינו העלות.

Check the answer on elev

Exercise 8

חברה משקיעה בפרסום xx אלפי שקלים, והפרסום מביא הכנסה נוספת של 8x8\sqrt{x} אלפי שקלים. מהו הרווח הנקי הגדול ביותר מהפרסום, באלפי שקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

R(x)=8x−xx≥0\begin{aligned}R(x) &= 8\sqrt{x} - x \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

ההכנסה הנוספת פחות ההשקעה

R′(x)=82x−1=4x−1\begin{aligned}R'(x) &= \frac{8}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= \frac{4}{\sqrt{x}} - 1\end{aligned}

נגזרת של שורש

R′(x)=0 ⇒ x=4 ⇒ x=16\begin{aligned}R'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 16\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

R(16)=32−16=16\begin{aligned}R(16) &= 32 - 16 \\ &= 16\end{aligned}

הרווח הנקי

ההשקעה x=16x = 16 והרווח 1616 שווים כאן. הרווח הוא R(16)R(16), לא 816=328\sqrt{16} = 32: מההכנסה צריך לחסר את ההשקעה.

Check the answer on elev

Exercise 9

חנות ספרים מוכרת 100100 עותקים בחודש, במחיר 6060 שקלים לעותק, וכל עותק עולה לה 3030 שקלים. כל הורדה של שקל אחד במחיר מוסיפה 1010 עותקים. ההוצאה לאור מרשה להוריד את המחיר ב-44 שקלים לכל היותר. מהו הרווח החודשי הגדול ביותר, בשקלים?

Show the answer and the solution

Answer: 3640

Worked solution:

P(x)=(30−x)(100+10x)0≤x≤4\begin{aligned}P(x) &= (30 - x)(100 + 10x) \\ \quad 0 \le x \le 4\end{aligned}

התחום סגור

P′(x)=200−20x=0 ⇒ x=10∉[0,4]\begin{aligned}P'(x) &= 200 - 20x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10 \notin [0, 4]\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

P′(x)>0 ב-0≤x≤4P'(x) > 0 \ \text{ב-} 0 \le x \le 4

הרווח עולה בכל התחום

P(4)=26⋅140=3640\begin{aligned}P(4) &= 26 \cdot 140 \\ &= 3640\end{aligned}

הערך הגדול ביותר, בקצה

מי שעונה 40004000 השתמש בהורדה של 1010 שקלים, שאסורה כאן. כשהנקודה החשודה מחוץ לתחום, מחפשים את התשובה בקצוות.

Check the answer on elev

Exercise 10

במלון באילת 6060 חדרים. במחיר 400400 שקלים ללילה כל החדרים מלאים, וכל העלאה של 2020 שקלים משאירה חדר אחד ריק. ניקוי של חדר תפוס עולה למלון 8080 שקלים ללילה. הוכיחו או הפריכו: המחיר שנותן את הרווח הגדול ביותר הוא 800800 שקלים, כמו המחיר שנותן את ההכנסה הגדולה ביותר.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

P(x)=(400+20x−80)(60−x)=(320+20x)(60−x)\begin{aligned}P(x) &= (400 + 20x - 80)(60 - x) \\ &= (320 + 20x)(60 - x)\end{aligned}

רווח לחדר כפול מספר החדרים

P′(x)=20(60−x)−(320+20x)=880−40x\begin{aligned}P'(x) &= 20(60 - x) - (320 + 20x) \\ &= 880 - 40x\end{aligned}

כלל המכפלה

P′(x)=0 ⇒ x=22\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 22\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

400+20⋅22=840400 + 20 \cdot 22 = 840

המחיר

הטענה לא נכונה. עלות לכל חדר תפוס «דוחפת» את המחיר למעלה: כדאי להשאיר עוד חדרים ריקים. ההכנסה הגדולה ביותר והרווח הגדול ביותר הם שתי שאלות שונות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade