Optimisation on graphs

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בבעיות האלה נקודה PP זזה על גרף, ואיתה זזים מלבן, קטע או מרחק. הסוד הוא משפט אחד: נקודה על הגרף של ff היא (x, f(x))(x,\,f(x)). משם כל אורך בשרטוט נכתב באמצעות xx בלבד.

מלבן מתחת לפרבולה

מלבן מתחת לגרף y = 27 − x²

הקודקודים PP ו-QQ נמצאים על הגרף y=27−x2y = 27 - x^2, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx. אם P=(x, 27−x2)P = (x,\,27 - x^2), אז Q=(−x, 27−x2)Q = (-x,\,27 - x^2), כי הגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy. לכן רוחב המלבן 2x2x, וגובהו 27−x227 - x^2: שיעור ה-yy של הנקודה הוא הגובה.

מהו התחום של xx כאן?

Show the answer and the solution

0<x<270 < x < \sqrt{27}. ב-x=0x = 0 אין רוחב. ב-x=27≈5.2x = \sqrt{27} \approx 5.2 הגרף פוגש את ציר ה-xx, ואין גובה.

הקטע האנכי בין שני גרפים

הקטע האנכי AB בין שני הגרפים
ABfg012345604812162024xy
A על הגרף של f, ו-B על הגרף של g, באותו x.

הקטע האנכי הארוך ביותר

הקטע ABAB מקביל לציר ה-yy: AA על f(x)=−x2+10xf(x) = -x^2 + 10x ו-BB על g(x)=x2−2xg(x) = x^2 - 2x, באותו xx, בין נקודות החיתוך של הגרפים. מהו האורך הגדול ביותר של ABAB?

−x2+10x=x2−2x ⇒ 2x2−12x=0 ⇒ x=0 x=6\begin{aligned}-x^2 + 10x &= x^2 - 2x \ \Rightarrow \ 2x^2 - 12x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך קובעות את התחום 0<x<60 < x < 6

L(x)=f(x)−g(x)=−2x2+12x\begin{aligned}L(x) &= f(x) - g(x) \\ &= -2x^2 + 12x\end{aligned}

הגרף העליון פחות הגרף התחתון, באותו xx

L′(x)=−4x+12=0 ⇒ x=3\begin{aligned}L'(x) &= -4x + 12 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

L(3)=−18+36=18\begin{aligned}L(3) &= -18 + 36 \\ &= 18\end{aligned}

A=(3, 21)A = (3,\,21) ו-B=(3, 3)B = (3,\,3)

איך יודעים איזה גרף הוא העליון?

Show the answer and the solution

מציבים נקודה אחת מתוך התחום: f(1)=9f(1) = 9 ו-g(1)=−1g(1) = -1. לכן ff מעל gg בכל התחום (הגרפים לא נחתכים בתוכו), והאורך הוא f(x)−g(x)f(x) - g(x).

הנקודה הקרובה ביותר: מרחק מתחת לשורש

המרחק מ-A(5, 0) לנקודה P על y = √(2x)
AP012345678-101234xy
P היא נקודה כללית על הגרף. הקו המקווקו הוא המרחק AP.

למה מספיק לבדוק את הסימן של המונה x−4x - 4 בלבד?

Show the answer and the solution

המכנה x2−8x+25\sqrt{x^2 - 8x + 25} הוא שורש, ולכן חיובי בכל התחום. הסימן של השבר הוא הסימן של המונה: שלילי ל-x<4x < 4, חיובי ל-x>4x > 4.

שלושה משפטים פותרים כמעט כל בעיה על גרף: נקודה על הגרף היא (x, f(x))(x,\,f(x)). אורך אנכי הוא הפרש של שיעורי yy באותו xx. מרחק בין שתי נקודות הוא (Δx)2+(Δy)2\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}.

הטעויות של בעיות על גרף.

S=x(27−x2)S = x(27 - x^2)
S=2x(27−x2)S = 2x(27 - x^2)

מלבן סימטרי ביחס לציר ה-yy: הרוחב 2x2x. בדקו תמיד מה xx מסמן בשרטוט.

L(x)=g(x)−f(x)L(x) = g(x) - f(x)
L(x)=f(x)−g(x)L(x) = f(x) - g(x)

אורך הוא העליון פחות התחתון. בדקו בנקודה אחת מי מעל.

d′(x)=12x2−8x+25d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}}
d′(x)=2x−82x2−8x+25d'(x) = \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}}

בנגזרת של שורש מכפילים בנגזרת של מה שמתחת לשורש. בלעדיה הנגזרת לא מתאפסת אף פעם.

Exercises

Exercise 1

מלבן מתחת לגרף y = 27 − x²

הקודקודים PP ו-QQ של מלבן נמצאים על הגרף y=27−x2y = 27 - x^2, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx, כמו בשרטוט. P=(x, 27−x2)P = (x,\,27 - x^2) ו-x>0x > 0. מהי הפונקציה של שטח המלבן?

  1. S(x)=2x+2(27−x2)S(x) = 2x + 2(27 - x^2)
  2. S(x)=2x(27−x2)S(x) = 2x(27 - x^2)
  3. S(x)=54xS(x) = 54x
  4. S(x)=x(27−x2)S(x) = x(27 - x^2)
Show the answer and the solution

Answer: B S(x)=2x(27−x2)S(x) = 2x(27 - x^2)

Worked solution:

Q=(−x, 27−x2)Q = (-x,\,27 - x^2)

סימטריה ביחס לציר ה-yy

PQ=2xגובה=27−x2\begin{aligned}PQ &= 2x \\ \quad \text{גובה} &= 27 - x^2\end{aligned}

רוחב וגובה

S(x)=2x(27−x2)S(x) = 2x(27 - x^2)

שטח

הנכונה: S(x)=2x(27−x2)S(x) = 2x(27 - x^2). x(27−x2)x(27 - x^2) הוא חצי מלבן. 2x+2(27−x2)2x + 2(27 - x^2) הוא חצי היקף, לא שטח.

Check the answer on elev

Exercise 2

מלבן מתחת לגרף y = 27 − x²

הקודקודים PP ו-QQ של מלבן נמצאים על הגרף y=27−x2y = 27 - x^2, ושני הקודקודים האחרים על ציר ה-xx, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 108

Worked solution:

S(x)=54x−2x30<x<27\begin{aligned}S(x) &= 54x - 2x^3 \\ \quad 0 < x < \sqrt{27}\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=54−6x2=0 ⇒ x=3\begin{aligned}S'(x) &= 54 - 6x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

x=−3x = -3 מחוץ לתחום

S′(1)>0,S′(4)<0S'(1) > 0 ,\quad S'(4) < 0

מקסימום

S(3)=6⋅18=108\begin{aligned}S(3) &= 6 \cdot 18 \\ &= 108\end{aligned}

השטח

מי שכותב x(27−x2)x(27 - x^2) מקבל את אותו x=3x = 3, אבל שטח 5454: חצי מהתשובה.

Check the answer on elev

Exercise 3

הקטע האנכי AB בין f ו-g
ABfg-2-10123456-14-10-6-22610141822xy
A על f ו-B על g, באותו x, בין נקודות החיתוך של הגרפים.

נתונות f(x)=−x2+5x+14f(x) = -x^2 + 5x + 14 ו-g(x)=x2−3x−10g(x) = x^2 - 3x - 10. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את ff ב-AA ואת gg ב-BB, בין נקודות החיתוך של הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע ABAB?

Show the answer and the solution

Answer: 32

Worked solution:

f(x)=g(x) ⇒ 2x2−8x−24=0 ⇒ x=−2 x=6\begin{aligned}f(x) &= g(x) \ \Rightarrow \ 2x^2 - 8x - 24 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= 6\end{aligned}

נקודות החיתוך: התחום −2<x<6-2 < x < 6

L(x)=f(x)−g(x)=−2x2+8x+24\begin{aligned}L(x) &= f(x) - g(x) \\ &= -2x^2 + 8x + 24\end{aligned}

f(0)=14>g(0)=−10f(0) = 14 > g(0) = -10: ff העליון

L′(x)=−4x+8=0 ⇒ x=2\begin{aligned}L'(x) &= -4x + 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

L(2)=−8+16+24=32\begin{aligned}L(2) &= -8 + 16 + 24 \\ &= 32\end{aligned}

האורך

האורך הוא הפרש באותו xx, לא ההפרש בין הקודקודים של שתי הפרבולות. בדיקה: f(2)=20f(2) = 20 ו-g(2)=−12g(2) = -12, והפרש 3232 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 4

הקטע האנכי בין הישר y = x + 6 לפרבולה y = x²
AB-2-10123-112345678910xy
A על הישר ו-B על הפרבולה, באותו x.

ישר המקביל לציר ה-yy חותך את הישר y=x+6y = x + 6 בנקודה AA ואת הפרבולה y=x2y = x^2 בנקודה BB, בין נקודות החיתוך של שני הגרפים, כמו בשרטוט. מהו האורך הגדול ביותר של ABAB? כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 6.25

Worked solution:

x+6=x2 ⇒ (x−3)(x+2)=0\begin{aligned}x + 6 &= x^2 \ \Rightarrow \ (x - 3)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

נקודות החיתוך: −2<x<3-2 < x < 3

L(x)=x+6−x2L(x) = x + 6 - x^2

הישר מעל הפרבולה בתחום

L′(x)=1−2x=0 ⇒ x=0.5\begin{aligned}L'(x) &= 1 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0.5\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

L(0.5)=6.5−0.25=6.25\begin{aligned}L(0.5) &= 6.5 - 0.25 \\ &= 6.25\end{aligned}

האורך

הקטע הארוך ביותר אינו ב-x=0x = 0 (קודקוד הפרבולה), אלא ב-x=0.5x = 0.5: שם השיפוע של הפרבולה שווה לשיפוע של הישר.

Check the answer on elev

Exercise 5

המרחק מ-A(5, 0) לנקודה P על y = √(4x)
AP012345678-10123456xy
P היא נקודה כללית על הגרף, ו-AP המרחק.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=4xy = \sqrt{4x}, והנקודה AA היא (5, 0)(5,\,0), כמו בשרטוט. א. מצאו את שיעור ה-xx של הנקודה PP הקרובה ביותר ל-AA.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

d(x)=(x−5)2+4x=x2−6x+25x≥0\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 5)^2 + 4x} \\ &= \sqrt{x^2 - 6x + 25} \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

נוסחת המרחק

d′(x)=2x−62x2−6x+25d'(x) = \frac{2x - 6}{2\sqrt{x^2 - 6x + 25}}

נגזרת של שורש

d′(x)=0 ⇒ x=3\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

המונה מתאפס

d′(2)<0,d′(4)>0d'(2) < 0 ,\quad d'(4) > 0

מינימום

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס. מי ששכח לכפול בנגזרת של x2−6x+25x^2 - 6x + 25 מקבל נגזרת שאף פעם אינה אפס.

Check the answer on elev

Exercise 6

המרחק מ-A(5, 0) לנקודה P על y = √(4x)
AP012345678-10123456xy
P היא נקודה כללית על הגרף, ו-AP המרחק.

הנקודה PP נמצאת על הגרף y=4xy = \sqrt{4x}, והנקודה AA היא (5, 0)(5,\,0), כמו בשרטוט. ב. מהו המרחק הקטן ביותר בין AA לבין PP?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x=3x = 3

מסעיף א

d(3)=9−18+25=16=4\begin{aligned}d(3) &= \sqrt{9 - 18 + 25} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מציבים ב-dd

P=(3, 12)P = \left(3,\,\sqrt{12}\right)

הנקודה הקרובה ביותר

מציבים ב-dd, לא ב-d′d'. ושימו לב: המרחק מ-AA לראשית הוא 55, יותר מ-44.

Check the answer on elev

Exercise 7

מלבן ברביע הראשון, P על הגרף y = √(12 − x)
P012345678910111201234xy
צלע אחת על ציר ה-x, צלע אחת על ציר ה-y, והקודקוד P על הגרף.

מלבן ברביע הראשון: שתי צלעות שלו על הצירים, והקודקוד PP על הגרף y=12−xy = \sqrt{12 - x}, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

S(x)=x12−x0<x<12\begin{aligned}S(x) &= x\sqrt{12 - x} \\ \quad 0 < x < 12\end{aligned}

P=(x, 12−x)P = (x,\,\sqrt{12 - x}): רוחב xx, גובה 12−x\sqrt{12 - x}

S′(x)=12−x+x⋅−1212−x=24−3x212−x\begin{aligned}S'(x) &= \sqrt{12 - x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{12 - x}} \\ &= \frac{24 - 3x}{2\sqrt{12 - x}}\end{aligned}

כלל המכפלה, ומכנה משותף

S′(x)=0 ⇒ x=8\begin{aligned}S'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(8)=84=16\begin{aligned}S(8) &= 8\sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

השטח

בכלל המכפלה יש שני מחוברים. מי ששוכח את 12−x\sqrt{12 - x} (הנגזרת של xx כפול השורש) מקבל נגזרת שלילית בכל התחום.

Check the answer on elev

Exercise 8

המרחק מ-A(0, 2.5) לנקודה P על y = x²

מהו המרחק הקטן ביותר בין הנקודה A(0, 2.5)A(0,\,2.5) לבין הגרף y=x2y = x^2? כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 1.5

Worked solution:

d(x)=x2+(x2−2.5)2=x4−4x2+6.25\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{x^2 + (x^2 - 2.5)^2} \\ &= \sqrt{x^4 - 4x^2 + 6.25}\end{aligned}

נקודה על הגרף: (x, x2)(x,\,x^2)

d′(x)=4x3−8x2x4−4x2+6.25=2x(x2−2)x4−4x2+6.25\begin{aligned}d'(x) &= \frac{4x^3 - 8x}{2\sqrt{x^4 - 4x^2 + 6.25}} \\ &= \frac{2x(x^2 - 2)}{\sqrt{x^4 - 4x^2 + 6.25}}\end{aligned}

נגזרת של שורש

x=0x=±2\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= \pm\sqrt{2}\end{aligned}

שלוש נקודות חשודות

d(0)=2.5d(±2)=4−8+6.25=1.5\begin{aligned}d(0) &= 2.5 \\ \quad d(\pm\sqrt{2}) &= \sqrt{4 - 8 + 6.25} \\ &= 1.5\end{aligned}

משווים

dmin=1.5d_{min} = 1.5

בנקודות (±2, 2)(\pm\sqrt{2},\,2)

ב-x=0x = 0 הנגזרת מתאפסת, אבל שם המרחק מקסימלי מקומית (2.52.5). את הסוג קובעת טבלת הסימנים, לא «נראה קרוב».

Check the answer on elev

Exercise 9

המרחק מ-A(0, 2.5) לנקודה P על y = x²

הוכיחו או הפריכו: הנקודה על הגרף y=x2y = x^2 הקרובה ביותר לנקודה A(0, 2.5)A(0,\,2.5) היא הקודקוד (0, 0)(0,\,0).

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

d(0)=2.5d(0) = 2.5

המרחק לקודקוד

d(2)=2+(2−2.5)2=2.25=1.5\begin{aligned}d(\sqrt{2}) &= \sqrt{2 + (2 - 2.5)^2} \\ &= \sqrt{2.25} \\ &= 1.5\end{aligned}

נקודה אחרת על הגרף

1.5<2.51.5 < 2.5

יש נקודה קרובה יותר

הטענה לא נכונה. הקודקוד נמצא «מתחת» ל-AA, אבל הגרף מתעקל לכיוון AA משני הצדדים. הנקודות הקרובות ביותר הן (±2, 2)(\pm\sqrt{2},\,2).

Check the answer on elev

Exercise 10

המרחק מ-A(6.5, 0) לנקודה P על y = √x
AP0123456789-10123xy
P היא נקודה כללית על הגרף.

מחפשים את המרחק הקטן ביותר בין A(6.5, 0)A(6.5,\,0) לבין הגרף y=xy = \sqrt{x}, כמו בשרטוט. שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

d(x)=(x−6.5)2+x=x2−12x+42.25\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{(x - 6.5)^2 + x} \\ &= \sqrt{x^2 - 12x + 42.25}\end{aligned}
d′(x)=12x2−12x+42.25d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 12x + 42.25}}
x=6d(6)=6.25=2.5\begin{aligned}x &= 6 \\ \quad d(6) &= \sqrt{6.25} \\ &= 2.5\end{aligned}
Show the answer and the solution

Answer: d′(x)=12x2−12x+42.25d'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 12x + 42.25}} → d′(x)=2x−122x2−12x+42.25d'(x) = \frac{2x - 12}{2\sqrt{x^2 - 12x + 42.25}}

Worked solution:

(f)′=f′2f\left(\sqrt{f}\right)' = \frac{f'}{2\sqrt{f}}

הכלל

f(x)=x2−12x+42.25 ⇒ f′(x)=2x−12\begin{aligned}f(x) &= x^2 - 12x + 42.25 \ \Rightarrow \ f'(x) \\ &= 2x - 12\end{aligned}

הנגזרת של מה שמתחת לשורש

d′(x)=0 ⇒ x=6\begin{aligned}d'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

עכשיו השורה האחרונה נכונה

בשורה השנייה חסרה הנגזרת הפנימית 2x−122x - 12. בלעדיה d′(x)d'(x) לעולם אינה אפס, והמסקנה x=6x = 6 לא נובעת ממנה.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 1

Exercise 11

מלבן מתחת לגרף f(x) = 9x − x²

נתונה הפונקציה f(x)=9x−x2f(x) = 9x - x^2. מנקודה AA שעל גרף הפונקציה ברביע הראשון מורידים אנכים לשני הצירים, כך שנוצר מלבן שאחד מקודקודיו בראשית הצירים, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של AA הוא xx. א. מהי הפונקציה של שטח המלבן?

  1. S(x)=2x(9x−x2)S(x) = 2x(9x - x^2)
  2. S(x)=9x−x2S(x) = 9x - x^2
  3. S(x)=9x2−x3S(x) = 9x^2 - x^3
  4. S(x)=2x+2(9x−x2)S(x) = 2x + 2(9x - x^2)
Show the answer and the solution

Answer: C S(x)=9x2−x3S(x) = 9x^2 - x^3

Worked solution:

A=(x, 9x−x2)0<x<9\begin{aligned}A &= (x,\, 9x - x^2) \\ \quad 0 < x < 9\end{aligned}

נקודה על הגרף ברביע הראשון

רוחב=xגובה=9x−x2\begin{aligned}\text{רוחב} &= x \\ \quad \text{גובה} &= 9x - x^2\end{aligned}

המרחקים של AA מהצירים

S(x)=x(9x−x2)=9x2−x3\begin{aligned}S(x) &= x(9x - x^2) \\ &= 9x^2 - x^3\end{aligned}

שטח

הנכונה: S(x)=9x2−x3S(x) = 9x^2 - x^3. 9x−x29x - x^2 הוא רק הגובה, 2x+2(9x−x2)2x + 2(9x - x^2) הוא היקף, ו-2x(9x−x2)2x(9x - x^2) מתאים למלבן סימטרי משני צדי ציר ה-yy.

Check the answer on elev

Exercise 12

מלבן מתחת לגרף f(x) = 9x − x²

נתונה הפונקציה f(x)=9x−x2f(x) = 9x - x^2. מנקודה AA שעל גרף הפונקציה ברביע הראשון מורידים אנכים לשני הצירים, כך שנוצר מלבן שאחד מקודקודיו בראשית הצירים, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של AA הוא xx. שטח המלבן הוא S(x)=9x2−x3S(x) = 9x^2 - x^3. ב. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה AA כדי ששטח המלבן יהיה מקסימלי?

A=A = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: A=A = ( 6 , 18 )

Worked solution:

S′(x)=18x−3x2=3x(6−x)=0\begin{aligned}S'(x) &= 18x - 3x^2 \\ &= 3x(6 - x) \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים ומשווים לאפס

x=6x = 6

x=0x = 0 מחוץ לתחום 0<x<90 < x < 9

S′(5)=15>0S′(7)=−21<0\begin{aligned}S'(5) &= 15 > 0 \\ \quad S'(7) &= -21 < 0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

f(6)=54−36=18\begin{aligned}f(6) &= 54 - 36 \\ &= 18\end{aligned}

שיעור ה-yy של AA

A(6,18)A(6, 18). המלכודת: לעצור ב-x=6x = 6 — השאלה מבקשת את שני השיעורים של AA.

Check the answer on elev

Exercise 13

מלבן מתחת לגרף f(x) = 9x − x²

נתונה הפונקציה f(x)=9x−x2f(x) = 9x - x^2. מנקודה AA שעל גרף הפונקציה ברביע הראשון מורידים אנכים לשני הצירים, כך שנוצר מלבן שאחד מקודקודיו בראשית הצירים, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של AA הוא xx. שטח המלבן מקסימלי כאשר A=(6,18)A = (6, 18). ג. מהו השטח המקסימלי של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 108

Worked solution:

S(6)=6⋅18=108\begin{aligned}S(6) &= 6 \cdot 18 \\ &= 108\end{aligned}

רוחב כפול גובה

השטח המקסימלי 108108. בדיקה: 9⋅36−216=1089 \cdot 36 - 216 = 108 ✓.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 2

Exercise 14

f(x) = x² + 10 , g(x) = 8x − x²

נתונות הפונקציות f(x)=x2+10f(x) = x^2 + 10 ו-g(x)=8x−x2g(x) = 8x - x^2. הנקודות AA ו-BB נמצאות על הגרפים של f(x)f(x) ושל g(x)g(x) בהתאמה, כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של שתי הנקודות הוא xx. א. הביעו באמצעות xx את אורך הקטע ABAB.

AB=AB = ____ x2−x^2 - ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: AB=AB = 2 x2−x^2 - 8 x+x + 10

Worked solution:

AB=f(x)−g(x)=x2+10−(8x−x2)\begin{aligned}AB &= f(x) - g(x) \\ &= x^2 + 10 - (8x - x^2)\end{aligned}

הגרף של ff מעל הגרף של gg

=2x2−8x+10= 2x^2 - 8x + 10

מכנסים איברים

2x2−8x+10=2(x−2)2+2>02x^2 - 8x + 10 = 2(x - 2)^2 + 2 > 0

בדיקה: ההפרש חיובי לכל xx, ולכן אין צורך בערך מוחלט

AB=2x2−8x+10AB = 2x^2 - 8x + 10. המלכודת: לא לשים סוגריים סביב g(x)g(x) ולכתוב x2+10−8x−x2x^2 + 10 - 8x - x^2.

Check the answer on elev

Exercise 15

f(x) = x² + 10 , g(x) = 8x − x²

נתונות הפונקציות f(x)=x2+10f(x) = x^2 + 10 ו-g(x)=8x−x2g(x) = 8x - x^2. הנקודות AA ו-BB נמצאות על הגרפים של f(x)f(x) ושל g(x)g(x) בהתאמה, כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של שתי הנקודות הוא xx. אורך הקטע הוא AB=2x2−8x+10AB = 2x^2 - 8x + 10. ב. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה AA כדי שאורך הקטע ABAB יהיה מינימלי?

A=A = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: A=A = ( 2 , 14 )

Worked solution:

d′(x)=4x−8=0 ⇒ x=2\begin{aligned}d'(x) &= 4x - 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

d′(1)=−4<0d′(3)=4>0\begin{aligned}d'(1) &= -4 < 0 \\ \quad d'(3) &= 4 > 0\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

f(2)=4+10=14\begin{aligned}f(2) &= 4 + 10 \\ &= 14\end{aligned}

AA על גרף ff, לא על גרף gg

A(2,14)A(2, 14). המלכודת: להציב ב-gg ולקבל (2,12)(2, 12) — אלה שיעורי BB.

Check the answer on elev

Exercise 16

f(x) = x² + 10 , g(x) = 8x − x²

נתונות הפונקציות f(x)=x2+10f(x) = x^2 + 10 ו-g(x)=8x−x2g(x) = 8x - x^2. הנקודות AA ו-BB נמצאות על הגרפים של f(x)f(x) ושל g(x)g(x) בהתאמה, כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy, כמו בשרטוט. שיעור ה-xx של שתי הנקודות הוא xx. אורך הקטע הוא AB=2x2−8x+10AB = 2x^2 - 8x + 10, והוא מינימלי כאשר x=2x = 2. ג. מהו האורך המינימלי של הקטע ABAB?

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

d(2)=8−16+10=2\begin{aligned}d(2) &= 8 - 16 + 10 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים x=2x = 2

f(2)−g(2)=14−12=2\begin{aligned}f(2) - g(2) &= 14 - 12 \\ &= 2\end{aligned}

בדיקה: הפרש השיעורים

האורך המינימלי 22.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 3

Exercise 17

f(x) = x² − 16x + 72 , g(x) = −x² + 8x

בשרטוט הגרפים של הפונקציות f(x)=x2−16x+72f(x) = x^2 - 16x + 72 ו-g(x)=−x2+8xg(x) = -x^2 + 8x. הנקודה AA נמצאת על גרף f(x)f(x) והנקודה BB על גרף g(x)g(x), כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy. מ-AA ומ-BB מעבירים אנכים לציר ה-yy, שפוגשים אותו ב-DD וב-CC, כך שנוצר המלבן ABCDABCD. שיעור ה-xx של AA מסומן ב-tt, ו-0<t<60 < t < 6. א. הביעו באמצעות tt את שטח המלבן ABCDABCD.

S(t)=S(t) = ____ t3−t^3 - ____ t2+t^2 + ____ tt

Show the answer and the solution

Answer: S(t)=S(t) = 2 t3−t^3 - 24 t2+t^2 + 72 tt

Worked solution:

AB=f(t)−g(t)=t2−16t+72−(−t2+8t)=2t2−24t+72\begin{aligned}AB &= f(t) - g(t) \\ &= t^2 - 16t + 72 - (-t^2 + 8t) \\ &= 2t^2 - 24t + 72\end{aligned}

אורך הצלע המקבילה לציר ה-yy

AD=tAD = t

המרחק של AA מציר ה-yy

S(t)=t(2t2−24t+72)=2t3−24t2+72t\begin{aligned}S(t) &= t(2t^2 - 24t + 72) \\ &= 2t^3 - 24t^2 + 72t\end{aligned}

שטח

S(t)=2t3−24t2+72tS(t) = 2t^3 - 24t^2 + 72t. שימו לב: AB=2(t−6)2AB = 2(t - 6)^2, ולכן הגרפים נוגעים זה בזה ב-t=6t = 6, וזה גבול התחום.

Check the answer on elev

Exercise 18

f(x) = x² − 16x + 72 , g(x) = −x² + 8x

בשרטוט הגרפים של הפונקציות f(x)=x2−16x+72f(x) = x^2 - 16x + 72 ו-g(x)=−x2+8xg(x) = -x^2 + 8x. הנקודה AA נמצאת על גרף f(x)f(x) והנקודה BB על גרף g(x)g(x), כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy. מ-AA ומ-BB מעבירים אנכים לציר ה-yy, שפוגשים אותו ב-DD וב-CC, כך שנוצר המלבן ABCDABCD. שיעור ה-xx של AA מסומן ב-tt, ו-0<t<60 < t < 6. שטח המלבן הוא S(t)=2t3−24t2+72tS(t) = 2t^3 - 24t^2 + 72t. ב. מצאו את ערכו של tt שעבורו שטח המלבן מקסימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

S′(t)=6t2−48t+72=6(t−2)(t−6)=0\begin{aligned}S'(t) &= 6t^2 - 48t + 72 \\ &= 6(t - 2)(t - 6) \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים ומפרקים

t=2t = 2

t=6t = 6 מחוץ לתחום 0<t<60 < t < 6 (שם השטח 00)

S′(1)=30>0S′(3)=−18<0\begin{aligned}S'(1) &= 30 > 0 \\ \quad S'(3) &= -18 < 0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

t=2t = 2.

Check the answer on elev

Exercise 19

f(x) = x² − 16x + 72 , g(x) = −x² + 8x

בשרטוט הגרפים של הפונקציות f(x)=x2−16x+72f(x) = x^2 - 16x + 72 ו-g(x)=−x2+8xg(x) = -x^2 + 8x. הנקודה AA נמצאת על גרף f(x)f(x) והנקודה BB על גרף g(x)g(x), כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה-yy. מ-AA ומ-BB מעבירים אנכים לציר ה-yy, שפוגשים אותו ב-DD וב-CC, כך שנוצר המלבן ABCDABCD. שיעור ה-xx של AA מסומן ב-tt, ו-0<t<60 < t < 6. שטח המלבן הוא S(t)=2t3−24t2+72tS(t) = 2t^3 - 24t^2 + 72t, והוא מקסימלי כאשר t=2t = 2. ג. מהו השטח המקסימלי של המלבן?

Show the answer and the solution

Answer: 64

Worked solution:

S(2)=16−96+144=64\begin{aligned}S(2) &= 16 - 96 + 144 \\ &= 64\end{aligned}

מציבים t=2t = 2

AB=f(2)−g(2)=44−12=322⋅32=64\begin{aligned}AB &= f(2) - g(2) \\ &= 44 - 12 \\ &= 32 \\ \quad 2 \cdot 32 &= 64\end{aligned}

בדיקה: רוחב כפול גובה

השטח המקסימלי 6464.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 4

Exercise 20

הטרפז ABOC מתחת לגרף f(x) = 27 − 3x²

נתונה הפונקציה f(x)=27−3x2f(x) = 27 - 3x^2. על גרף הפונקציה ברביע הראשון נמצאת הנקודה AA. דרך AA מעבירים ישר המקביל לציר ה-xx, והוא חותך את ציר ה-yy בנקודה CC. BB היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם החלק החיובי של ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים. שיעור ה-xx של AA הוא xx. א. מהי הפונקציה של שטח הטרפז ABOCABOC?

  1. S(x)=(x+3)(27−3x2)2S(x) = \frac{(x + 3)(27 - 3x^2)}{2}
  2. S(x)=(x+3)(27−3x2)S(x) = (x + 3)(27 - 3x^2)
  3. S(x)=(x+9)(27−3x2)2S(x) = \frac{(x + 9)(27 - 3x^2)}{2}
  4. S(x)=x(27−3x2)S(x) = x(27 - 3x^2)
Show the answer and the solution

Answer: A S(x)=(x+3)(27−3x2)2S(x) = \frac{(x + 3)(27 - 3x^2)}{2}

Worked solution:

27−3x2=0 ⇒ x2=9 ⇒ B=(3,0)\begin{aligned}27 - 3x^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ B \\ &= (3, 0)\end{aligned}

החיתוך עם החלק החיובי של ציר ה-xx

OB=3CA=xOC=27−3x2\begin{aligned}OB &= 3 \\ \quad CA &= x \\ \quad OC &= 27 - 3x^2\end{aligned}

שני הבסיסים והגובה

S(x)=(OB+CA)⋅OC2=(x+3)(27−3x2)2\begin{aligned}S(x) &= \frac{(OB + CA) \cdot OC}{2} \\ &= \frac{(x + 3)(27 - 3x^2)}{2}\end{aligned}

שטח טרפז

הנכונה: S(x)=(x+3)(27−3x2)2S(x) = \frac{(x + 3)(27 - 3x^2)}{2}. מי שכותב x+9x + 9 שכח להוציא שורש: x2=9x^2 = 9 נותן x=3x = 3.

Check the answer on elev

Exercise 21

הטרפז ABOC מתחת לגרף f(x) = 27 − 3x²

נתונה הפונקציה f(x)=27−3x2f(x) = 27 - 3x^2. על גרף הפונקציה ברביע הראשון נמצאת הנקודה AA. דרך AA מעבירים ישר המקביל לציר ה-xx, והוא חותך את ציר ה-yy בנקודה CC. BB היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם החלק החיובי של ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים. שיעור ה-xx של AA הוא xx. שטח הטרפז הוא S(x)=(x+3)(27−3x2)2S(x) = \frac{(x + 3)(27 - 3x^2)}{2}. ב. מה צריכים להיות שיעורי הנקודה AA כדי ששטח הטרפז ABOCABOC יהיה מקסימלי?

A=A = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: A=A = ( 1 , 24 )

Worked solution:

S(x)=−3x3−9x2+27x+8120<x<3\begin{aligned}S(x) &= \frac{-3x^3 - 9x^2 + 27x + 81}{2} \\ \quad 0 < x < 3\end{aligned}

פותחים סוגריים; AA ברביע הראשון

S′(x)=−9x2−18x+272=0 ⇒ x2+2x−3=0\begin{aligned}S'(x) &= \frac{-9x^2 - 18x + 27}{2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x^2 + 2x - 3 \\ &= 0\end{aligned}

גוזרים ומחלקים ב-−9-9

x=1x = 1

x=−3x = -3 מחוץ לתחום

S′(0)=13.5>0S′(2)=−22.5<0\begin{aligned}S'(0) &= 13.5 > 0 \\ \quad S'(2) &= -22.5 < 0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

f(1)=27−3=24\begin{aligned}f(1) &= 27 - 3 \\ &= 24\end{aligned}

שיעור ה-yy של AA

A(1,24)A(1, 24).

Check the answer on elev

Exercise 22

הטרפז ABOC מתחת לגרף f(x) = 27 − 3x²

נתונה הפונקציה f(x)=27−3x2f(x) = 27 - 3x^2. על גרף הפונקציה ברביע הראשון נמצאת הנקודה AA. דרך AA מעבירים ישר המקביל לציר ה-xx, והוא חותך את ציר ה-yy בנקודה CC. BB היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם החלק החיובי של ציר ה-xx, ו-OO היא ראשית הצירים. שיעור ה-xx של AA הוא xx. שטח הטרפז ABOCABOC מקסימלי כאשר A=(1,24)A = (1, 24). ג. מהו השטח של הטרפז במקרה זה?

Show the answer and the solution

Answer: 48

Worked solution:

S(1)=(1+3)⋅242=48\begin{aligned}S(1) &= \frac{(1 + 3) \cdot 24}{2} \\ &= 48\end{aligned}

סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי 22

S(0)=3⋅272=40.5<48\begin{aligned}S(0) &= \frac{3 \cdot 27}{2} \\ &= 40.5 < 48\end{aligned}

בדיקה בקצה: כשהטרפז נעשה משולש

שטח הטרפז 4848.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade