Optimisation in plane geometry

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

בגאומטריה הגודל שמחפשים הוא שטח או נפח, והמשתנה הוא אורך. כשהאורך משתנה, הצורה משתנה, ואיתה השטח או הנפח. לפני כל נוסחה, הזיזו את xx במעבדה וחפשו את השיא.

לפי המעבדה: מהו התחום של xx, ובאיזה xx הנפח הגדול ביותר?

Show the answer and the solution

צלע הבסיס היא 12−2x12 - 2x, והיא חייבת להיות חיובית: 0<x<60 < x < 6. השיא ב-x=2x = 2, והנפח V(2)=2⋅82=128V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128 סמ״ק. V′(x)=(12−2x)(12−6x)V'(x) = (12 - 2x)(12 - 6x) מתאפסת גם ב-x=6x = 6, אבל שם אין תיבה.

גדר לאורך קיר

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

החלקה הגדולה ביותר

חקלאי בעמק יזרעאל גודר חלקה צמודה לקיר ארוך, כמו בשרטוט. לאורך הקיר לא גודרים. לרשותו 8080 מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה?

AB=CD=x\begin{aligned}AB &= CD \\ &= x\end{aligned}

סימון המשתנה: שתי הצלעות הניצבות לקיר

BC=80−2x ⇒ S(x)=x(80−2x)=80x−2x2\begin{aligned}BC &= 80 - 2x \ \Rightarrow \ S(x) \\ &= x(80 - 2x) \\ &= 80x - 2x^2\end{aligned}

הבעת הגודל כפונקציה: שתי צלעות ניצבות ורק אחת מקבילה לקיר

0<x<400 < x < 40

תחום ההגדרה: BC>0BC > 0

S′(x)=80−4x=0 ⇒ x=20\begin{aligned}S'(x) &= 80 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

גזירה והשוואה לאפס

S′(10)>0 S′(30)<0 ⇒ S(20)=20⋅40=800\begin{aligned}S'(10) > 0 \\ \ S'(30) < 0 \ \Rightarrow \ S(20) &= 20 \cdot 40 \\ &= 800\end{aligned}

מקסימום. השטח הגדול ביותר: 800800 מ״ר

מה הממדים של החלקה הגדולה ביותר? האם היא בצורת ריבוע?

Show the answer and the solution

AB=20AB = 20 מ׳ ו-BC=40BC = 40 מ׳. לא ריבוע: הצלע שלאורך הקיר ארוכה פי 22, כי את הצלע הרביעית «נותן» הקיר בחינם.

מקבילית בתוך מלבן

ABCDPETQ
AB = 12, BC = 8. AQ = CE = x, AP = CT = 2x.

במלבן ABCDABCD, AB=12AB = 12 ו-BC=8BC = 8. על הצלעות בוחרים ארבע נקודות: AQ=CE=xAQ = CE = x ו-AP=CT=2xAP = CT = 2x. המרובע PETQPETQ הוא מקבילית. את השטח שלה לא מחשבים ישירות: מחסרים משטח המלבן את ארבעת המשולשים שבפינות. המשולשים שבפינות AA ו-CC חופפים, וגם אלה שבפינות BB ו-DD.

השטח של המקבילית כפונקציה של x

מצאו את xx שעבורו שטח המקבילית PETQPETQ הגדול ביותר, ואת השטח הזה.

S△APQ=S△CTE=12⋅2x⋅x=x2\begin{aligned}S_{\triangle APQ} &= S_{\triangle CTE} \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot x \\ &= x^2\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

S△PBE=S△TDQ=12(12−2x)(8−x)\begin{aligned}S_{\triangle PBE} &= S_{\triangle TDQ} \\ &= \tfrac{1}{2}(12 - 2x)(8 - x)\end{aligned}

PB=12−2xPB = 12 - 2x ו-BE=8−xBE = 8 - x

S(x)=96−2x2−(12−2x)(8−x)=28x−4x2\begin{aligned}S(x) &= 96 - 2x^2 - (12 - 2x)(8 - x) \\ &= 28x - 4x^2\end{aligned}

שטח המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x≤60 < x \le 6

תחום: 2x≤122x \le 12 וגם x≤8x \le 8

S′(x)=28−8x=0 ⇒ x=3.5S(3.5)=98−49=49\begin{aligned}S'(x) &= 28 - 8x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3.5 \\ \quad S(3.5) &= 98 - 49 \\ &= 49\end{aligned}

בטבלה שלמטה: מקסימום

למה התחום הוא 0<x≤60 < x \le 6 ולא 0<x<80 < x < 8?

Show the answer and the solution

הנקודה PP על הצלע ABAB, ולכן AP=2x≤12AP = 2x \le 12, כלומר x≤6x \le 6. התנאי x≤8x \le 8 (עבור QQ על ADAD) חלש יותר. התחום נקבע לפי ההגבלה החזקה ביותר. ב-x=6x = 6 הנקודה PP מגיעה ל-BB, והמקבילית עדיין קיימת.

בכל בעיה גאומטרית בודקים את התחום לפי כל הצלעות שהמשתנה נוגע בהן: כל אורך בשרטוט חייב להיות חיובי, וכל נקודה צריכה להישאר על הצלע שלה.

שלוש הטעויות של בעיות הגאומטריה.

BC=80−xBC = 80 - x
BC=80−2xBC = 80 - 2x

לאורך קיר יש שתי צלעות ניצבות. מי שסופר אחת בלבד בונה גדר ארוכה מ-8080 מ׳.

V(x)=x(12−x)2V(x) = x(12 - x)^2
V(x)=x(12−2x)2V(x) = x(12 - 2x)^2

מכל צלע של הגיליון גוזרים שתי פינות, ולכן הצלע מתקצרת ב-2x2x.

0<x<120 < x < 12
0<x<60 < x < 6

התחום נקבע לפי צלע הבסיס 12−2x12 - 2x, לא לפי אורך הגיליון.

Exercises

Exercise 1

ABCD
היקף המלבן ABCD הוא 36 ס״מ. AB = x.

היקף המלבן ABCDABCD הוא 3636 ס״מ, ו-AB=xAB = x, כמו בשרטוט. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 81

Worked solution:

AB=xBC=18−x\begin{aligned}AB &= x \\ \quad BC &= 18 - x\end{aligned}

חצי היקף הוא 1818

S(x)=x(18−x)=18x−x20<x<18\begin{aligned}S(x) &= x(18 - x) \\ &= 18x - x^2 \\ \quad 0 < x < 18\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=18−2x=0 ⇒ x=9\begin{aligned}S'(x) &= 18 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מקסימום: מ-++ ל-−-

S(9)=9⋅9=81\begin{aligned}S(9) &= 9 \cdot 9 \\ &= 81\end{aligned}

המלבן הוא ריבוע

מי שכותב BC=36−xBC = 36 - x שכח שבהיקף כל צלע מופיעה פעמיים. חצי ההיקף הוא AB+BC=18AB + BC = 18.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

חקלאית גודרת חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים, ולרשותה 100100 מ׳ גדר. AB=CD=xAB = CD = x. מהי הפונקציה של שטח החלקה?

  1. S(x)=2x(100−2x)S(x) = 2x(100 - 2x)
  2. S(x)=x(100−2x)S(x) = x(100 - 2x)
  3. S(x)=x(50−x)S(x) = x(50 - x)
  4. S(x)=x(100−x)S(x) = x(100 - x)
Show the answer and the solution

Answer: B S(x)=x(100−2x)S(x) = x(100 - 2x)

Worked solution:

AB+BC+CD=100AB + BC + CD = 100

שלוש צלעות גדורות

BC=100−2xBC = 100 - 2x

שתי צלעות ניצבות לקיר

S(x)=AB⋅BC=x(100−2x)\begin{aligned}S(x) &= AB \cdot BC \\ &= x(100 - 2x)\end{aligned}

שטח

הנכונה: S(x)=x(100−2x)S(x) = x(100 - 2x). x(50−x)x(50 - x) מתאים לארבע צלעות גדורות, כלומר לחלקה בלי קיר. x(100−x)x(100 - x) סופר רק צלע ניצבת אחת.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ולאורכו לא גודרים. AB = CD = x.

חקלאית גודרת חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים, ולרשותה 100100 מ׳ גדר. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה (במ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 1250

Worked solution:

S(x)=x(100−2x)=100x−2x20<x<50\begin{aligned}S(x) &= x(100 - 2x) \\ &= 100x - 2x^2 \\ \quad 0 < x < 50\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=100−4x=0 ⇒ x=25\begin{aligned}S'(x) &= 100 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 25\end{aligned}

גזירה

S′(10)>0,S′(40)<0S'(10) > 0 ,\quad S'(40) < 0

מקסימום

S(25)=25⋅50=1250\begin{aligned}S(25) &= 25 \cdot 50 \\ &= 1250\end{aligned}

השטח

הגזירה של −2x2-2x^2 נותנת −4x-4x, לא −2x-2x. מי שטועה כאן מקבל x=50x = 50, ושם BC=0BC = 0: אין חלקה בכלל.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCDPETQ
AB = 18, BC = 10. AQ = CE = x, AP = CT = 3x.

במלבן ABCDABCD, AB=18AB = 18 ו-BC=10BC = 10. הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q נמצאות על הצלעות, כך ש-AQ=CE=xAQ = CE = x ו-AP=CT=3xAP = CT = 3x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. א. מצאו את xx שעבורו שטח המקבילית הגדול ביותר.

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

S△APQ=S△CTE=12⋅3x⋅x=1.5x2\begin{aligned}S_{\triangle APQ} &= S_{\triangle CTE} \\ &= \tfrac{1}{2} \cdot 3x \cdot x \\ &= 1.5x^2\end{aligned}

משולשים ישרי זווית בפינות AA ו-CC

S△PBE=S△TDQ=12(18−3x)(10−x)\begin{aligned}S_{\triangle PBE} &= S_{\triangle TDQ} \\ &= \tfrac{1}{2}(18 - 3x)(10 - x)\end{aligned}

בפינות BB ו-DD

S(x)=180−3x2−(18−3x)(10−x)=48x−6x2\begin{aligned}S(x) &= 180 - 3x^2 - (18 - 3x)(10 - x) \\ &= 48x - 6x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x≤60 < x \le 6

תחום: 3x≤183x \le 18

S′(x)=48−12x=0 ⇒ x=4\begin{aligned}S'(x) &= 48 - 12x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

את שטח המקבילית מקבלים בחיסור, לא מנוסחה של מקבילית. והתחום נקבע לפי AP=3x≤18AP = 3x \le 18, לא לפי x≤10x \le 10.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCDPETQ
AB = 18, BC = 10. AQ = CE = x, AP = CT = 3x.

במלבן ABCDABCD, AB=18AB = 18 ו-BC=10BC = 10. הנקודות P,E,T,QP, E, T, Q נמצאות על הצלעות, כך ש-AQ=CE=xAQ = CE = x ו-AP=CT=3xAP = CT = 3x, כמו בשרטוט. PETQPETQ היא מקבילית. ב. מהו השטח הגדול ביותר של המקבילית?

Show the answer and the solution

Answer: 96

Worked solution:

S(x)=48x−6x2S(x) = 48x - 6x^2

מסעיף א

x=4x = 4

מסעיף א

S(4)=192−96=96\begin{aligned}S(4) &= 192 - 96 \\ &= 96\end{aligned}

מציבים ב-SS

S(6)=288−216=72<96\begin{aligned}S(6) &= 288 - 216 \\ &= 72 < 96\end{aligned}

בדיקה מול הקצה x=6x = 6

מציבים x=4x = 4 ב-SS, לא ב-S′S'. בדיקה: AP=12AP = 12, AQ=4AQ = 4, ושטח ארבעת המשולשים 2⋅24+2⋅18=84=180−962 \cdot 24 + 2 \cdot 18 = 84 = 180 - 96 ✓.

Check the answer on elev

Exercise 6

גיליון 24 על 15, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx024015

מגיליון קרטון שממדיו 2424 ס״מ על 1515 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים את הדפנות לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. א. מצאו את xx שעבורו נפח התיבה הגדול ביותר.

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

V(x)=x(24−2x)(15−2x)=4x3−78x2+360x\begin{aligned}V(x) &= x(24 - 2x)(15 - 2x) \\ &= 4x^3 - 78x^2 + 360x\end{aligned}

בסיס (24−2x)(15−2x)(24 - 2x)(15 - 2x), גובה xx

0<x<7.50 < x < 7.5

תחום: לפי הצלע הקצרה 15−2x>015 - 2x > 0

V′(x)=12x2−156x+360=12(x−3)(x−10)\begin{aligned}V'(x) &= 12x^2 - 156x + 360 \\ &= 12(x - 3)(x - 10)\end{aligned}

גזירה ופירוק

x=3(x=10∉(0,7.5))x = 3 \quad (x = 10 \notin (0, 7.5))

רק x=3x = 3 בתחום; מ-++ ל-−-: מקסימום

x=10x = 10 פותר את המשוואה, אבל אז 15−2x<015 - 2x < 0. התחום נקבע לפי הצלע הקצרה של הגיליון.

Check the answer on elev

Exercise 7

גיליון 24 על 15, ובכל פינה נגזר ריבוע שצלעו x
xxxx024015

מגיליון קרטון שממדיו 2424 ס״מ על 1515 ס״מ גוזרים בכל פינה ריבוע שצלעו xx ס״מ, ומקפלים את הדפנות לתיבה פתוחה, כמו בשרטוט. ב. מהו הנפח הגדול ביותר של התיבה (בסמ״ק)?

Show the answer and the solution

Answer: 486

Worked solution:

x=3x = 3

מסעיף א

V(3)=3⋅(24−6)(15−6)=3⋅18⋅9\begin{aligned}V(3) &= 3 \cdot (24 - 6)(15 - 6) \\ &= 3 \cdot 18 \cdot 9\end{aligned}

מציבים

=486= 486

הנפח הגדול ביותר

הבסיס הוא 18×918 \times 9, לא 21×1221 \times 12: מכל צלע יורדות שתי פינות.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCD
היקף המלבן ABCD הוא 36 ס״מ. AB = x.

הוכיחו או הפריכו: מבין כל המלבנים שהיקפם 3636 ס״מ, למלבן בעל השטח הגדול ביותר יש ארבע צלעות שוות.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

S(x)=x(18−x)0<x<18\begin{aligned}S(x) &= x(18 - x) \\ \quad 0 < x < 18\end{aligned}

צלע אחת xx, והשנייה 18−x18 - x

S′(x)=18−2x=0 ⇒ x=9\begin{aligned}S'(x) &= 18 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מקסימום

18−9=918 - 9 = 9

שתי הצלעות שוות

הטענה נכונה. בהיקף קבוע, השטח הגדול ביותר מתקבל כשהמלבן הוא ריבוע. אבל שימו לב: לאורך קיר זה לא נכון.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCDEF
AD הוא הקיר. AB = EF = CD = x, והגדר EF מחלקת את החלקה לשתי חלקות.

גודרים חלקה צמודה לקיר, ומחלקים אותה בגדר EFEF לשתי חלקות, כמו בשרטוט. לאורך הקיר ADAD לא גודרים. לרשותנו 120120 מ׳ גדר לכל הגדרות. מהו השטח הכולל הגדול ביותר (במ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 1200

Worked solution:

AB=EF=CD=x ⇒ BC=120−3x\begin{aligned}AB &= EF \\ &= CD \\ &= x \ \Rightarrow \ BC \\ &= 120 - 3x\end{aligned}

שלוש גדרות ניצבות לקיר

S(x)=x(120−3x)=120x−3x20<x<40\begin{aligned}S(x) &= x(120 - 3x) \\ &= 120x - 3x^2 \\ \quad 0 < x < 40\end{aligned}

השטח והתחום

S′(x)=120−6x=0 ⇒ x=20\begin{aligned}S'(x) &= 120 - 6x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

S(20)=20⋅60=1200\begin{aligned}S(20) &= 20 \cdot 60 \\ &= 1200\end{aligned}

השטח הכולל

הגדר המחלקת EFEF גם נלקחת מ-120120 המטרים. מי ששוכח אותה כותב 120−2x120 - 2x ומקבל 18001800.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABCD
הקטע המודגש AD הוא הקיר, ואורכו 30 מ׳. AB = CD = x.

גודרים חלקה צמודה לקיר, כמו בשרטוט, ולרשותנו 8080 מ׳ גדר. הפעם הקיר ADAD קצר: אורכו 3030 מ׳ בלבד, ולכן BC≤30BC \le 30. מהו השטח הגדול ביותר של החלקה (במ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 750

Worked solution:

S(x)=x(80−2x)BC=80−2x≤30 ⇒ x≥25\begin{aligned}S(x) &= x(80 - 2x) \\ \quad BC &= 80 - 2x \le 30 \ \Rightarrow \ x \ge 25\end{aligned}

הקיר מוסיף הגבלה

25≤x<4025 \le x < 40

תחום סגור בקצה x=25x = 25

S′(x)=80−4x=0 ⇒ x=20∉[25,40)\begin{aligned}S'(x) &= 80 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 20 \notin [25, 40)\end{aligned}

הנקודה החשודה מחוץ לתחום

S′(x)<0 ל-x≥25S'(x) < 0 \ \text{ל-} x \ge 25

השטח יורד בכל התחום

S(25)=25⋅30=750\begin{aligned}S(25) &= 25 \cdot 30 \\ &= 750\end{aligned}

הערך הגדול ביותר, בקצה

מי שעונה 800800 (ב-x=20x = 20) בנה צלע BC=40BC = 40, ארוכה מהקיר. הנקודה החשודה נפסלת, והמקסימום נמצא בקצה של התחום.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 1

Exercise 11

ABCDEFG
ריבוע ABCD שצלעו 24 ס״מ. BE = x, BF = 2x, DG = 2x. המחומש EFCDG הוא החלק המוצלל.

נתון ריבוע ABCDABCD שאורך צלעו 2424 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע BE=xBE = x, על הצלע BCBC קטע BF=2xBF = 2x, ועל הצלע ADAD קטע DG=2xDG = 2x, כמו בשרטוט. המחומש EFCDGEFCDG מוצלל. א. איזו פונקציה מבטאת את שטח המחומש EFCDGEFCDG (בסמ״ר) באמצעות xx?

  1. S(x)=576−x2S(x) = 576 - x^2
  2. S(x)=72x−3x2S(x) = 72x - 3x^2
  3. S(x)=288+36x−3x2S(x) = 288 + 36x - 3x^2
  4. S(x)=288+36x−2x2S(x) = 288 + 36x - 2x^2
Show the answer and the solution

Answer: D S(x)=288+36x−2x2S(x) = 288 + 36x - 2x^2

Worked solution:

SBEF=x⋅2x2=x2\begin{aligned}S_{BEF} &= \frac{x \cdot 2x}{2} \\ &= x^2\end{aligned}

משולש ישר-זווית בקודקוד BB

AE=24−xAG=24−2x\begin{aligned}AE &= 24 - x \\ \quad AG &= 24 - 2x\end{aligned}

הניצבים של המשולש AEGAEG

SAEG=(24−x)(24−2x)2=288−36x+x2\begin{aligned}S_{AEG} &= \frac{(24 - x)(24 - 2x)}{2} \\ &= 288 - 36x + x^2\end{aligned}

פותחים סוגריים ומחלקים ב-22

S(x)=576−x2−(288−36x+x2)=288+36x−2x2\begin{aligned}S(x) &= 576 - x^2 - (288 - 36x + x^2) \\ &= 288 + 36x - 2x^2\end{aligned}

מהריבוע מחסירים את שני המשולשים הלבנים

הנכונה: S(x)=288+36x−2x2S(x) = 288 + 36x - 2x^2. 576−x2576 - x^2 שוכח את המשולש AEGAEG, ו-72x−3x272x - 3x^2 שוכח לחלק את שטחו ב-22.

Check the answer on elev

Exercise 12

ABCDEFG
ריבוע ABCD שצלעו 24 ס״מ. BE = x, BF = 2x, DG = 2x. המחומש EFCDG הוא החלק המוצלל.

נתון ריבוע ABCDABCD שאורך צלעו 2424 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע BE=xBE = x, על הצלע BCBC קטע BF=2xBF = 2x, ועל הצלע ADAD קטע DG=2xDG = 2x, כמו בשרטוט. המחומש EFCDGEFCDG מוצלל. שטח המחומש הוא S(x)=288+36x−2x2S(x) = 288 + 36x - 2x^2. ב. מה צריך להיות ערכו של xx (בס״מ) כדי ששטח המחומש יהיה מקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

0<x<120 < x < 12

התחום: DG=2xDG = 2x קטן מהצלע AD=24AD = 24

S′(x)=36−4x=0 ⇒ x=9\begin{aligned}S'(x) &= 36 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

S′(8)=4>0S′(10)=−4<0\begin{aligned}S'(8) &= 4 > 0 \\ \quad S'(10) &= -4 < 0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

x=9x = 9 ס״מ. זו נקודת הקיצון היחידה בתחום, ולכן היא המקסימום המוחלט.

Check the answer on elev

Exercise 13

ABCDEFG
ריבוע ABCD שצלעו 24 ס״מ. BE = x, BF = 2x, DG = 2x. המחומש EFCDG הוא החלק המוצלל.

נתון ריבוע ABCDABCD שאורך צלעו 2424 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע BE=xBE = x, על הצלע BCBC קטע BF=2xBF = 2x, ועל הצלע ADAD קטע DG=2xDG = 2x, כמו בשרטוט. המחומש EFCDGEFCDG מוצלל. שטח המחומש הוא S(x)=288+36x−2x2S(x) = 288 + 36x - 2x^2, והוא מקסימלי כאשר x=9x = 9. ג. מהו השטח המקסימלי של המחומש (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 450

Worked solution:

S(9)=288+36⋅9−2⋅81=288+324−162=450\begin{aligned}S(9) &= 288 + 36 \cdot 9 - 2 \cdot 81 \\ &= 288 + 324 - 162 \\ &= 450\end{aligned}

מציבים x=9x = 9

S(0)=288S(12)=432\begin{aligned}S(0) &= 288 \\ \quad S(12) &= 432\end{aligned}

בדיקה בקצות התחום: קטן מ-450450

השטח המקסימלי 450450 סמ״ר. בדיקה: SBEF=81S_{BEF} = 81 ו-SAEG=15⋅62=45S_{AEG} = \frac{15 \cdot 6}{2} = 45, ו-576−81−45=450576 - 81 - 45 = 450 ✓.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 2

Exercise 14

ABCDKLMN
מלבן ABCD: AB = 24 ס״מ, BC = 16 ס״מ. BK = BL = DM = DN = x.

במלבן ABCDABCD אורכי הצלעות הם AB=24AB = 24 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. הנקודות KK, LL, MM, NN נמצאות על הצלעות ABAB, BCBC, CDCD, DADA בהתאמה, כך ש-BK=BL=DM=DN=xBK = BL = DM = DN = x, כמו בשרטוט. א. הביעו באמצעות xx את סכום השטחים של ארבעת המשולשים AKNAKN, KBLKBL, LCMLCM, MDNMDN.

S(x)=S(x) = ____ x2−x^2 - ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: S(x)=S(x) = 2 x2−x^2 - 40 x+x + 384

Worked solution:

SKBL=SMDN=x22\begin{aligned}S_{KBL} &= S_{MDN} \\ &= \frac{x^2}{2}\end{aligned}

שני משולשים ישרי-זווית שניצביהם xx ו-xx

AK=CM=24−xAN=CL=16−x\begin{aligned}AK &= CM \\ &= 24 - x \\ \quad AN &= CL \\ &= 16 - x\end{aligned}

מה שנשאר מכל צלע

SAKN=SLCM=(24−x)(16−x)2\begin{aligned}S_{AKN} &= S_{LCM} \\ &= \frac{(24 - x)(16 - x)}{2}\end{aligned}

שני משולשים חופפים

S(x)=(24−x)(16−x)+x2=2x2−40x+384\begin{aligned}S(x) &= (24 - x)(16 - x) + x^2 \\ &= 2x^2 - 40x + 384\end{aligned}

פותחים סוגריים

S(x)=2x2−40x+384S(x) = 2x^2 - 40x + 384. המשולשים באים בזוגות חופפים, ולכן כל זוג תורם שטח של מלבן שלם: x2x^2 ו-(24−x)(16−x)(24 - x)(16 - x).

Check the answer on elev

Exercise 15

ABCDKLMN
מלבן ABCD: AB = 24 ס״מ, BC = 16 ס״מ. BK = BL = DM = DN = x.

במלבן ABCDABCD אורכי הצלעות הם AB=24AB = 24 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. הנקודות KK, LL, MM, NN נמצאות על הצלעות ABAB, BCBC, CDCD, DADA בהתאמה, כך ש-BK=BL=DM=DN=xBK = BL = DM = DN = x, כמו בשרטוט. סכום שטחי ארבעת המשולשים הוא 2x2−40x+3842x^2 - 40x + 384. ב. מה צריך להיות xx (בס״מ) כדי ששטח המרובע KLMNKLMN יהיה מקסימלי?

Show the answer and the solution

Answer: 10

Worked solution:

SKLMN(x)=384−(2x2−40x+384)=40x−2x2\begin{aligned}S_{KLMN}(x) &= 384 - (2x^2 - 40x + 384) \\ &= 40x - 2x^2\end{aligned}

המלבן פחות ארבעת המשולשים

0<x<160 < x < 16

התחום: BL=xBL = x קטן מ-BC=16BC = 16

S′(x)=40−4x=0 ⇒ x=10\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

S′(9)=4>0S′(11)=−4<0\begin{aligned}S'(9) &= 4 > 0 \\ \quad S'(11) &= -4 < 0\end{aligned}

מ-++ ל-−-: מקסימום

x=10x = 10 ס״מ. שטח KLMNKLMN מקסימלי בדיוק כשסכום המשולשים מינימלי. המלכודת: לגזור את סכום המשולשים ולקרוא לתוצאה מקסימום — שם זו נקודת מינימום.

Check the answer on elev

Exercise 16

ABCDKLMN
מלבן ABCD: AB = 24 ס״מ, BC = 16 ס״מ. BK = BL = DM = DN = x.

במלבן ABCDABCD אורכי הצלעות הם AB=24AB = 24 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. הנקודות KK, LL, MM, NN נמצאות על הצלעות ABAB, BCBC, CDCD, DADA בהתאמה, כך ש-BK=BL=DM=DN=xBK = BL = DM = DN = x, כמו בשרטוט. שטח המרובע KLMNKLMN מקסימלי כאשר x=10x = 10. ג. מהו השטח של המרובע KLMNKLMN במקרה זה (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 200

Worked solution:

SKLMN(10)=40⋅10−2⋅100=200\begin{aligned}S_{KLMN}(10) &= 40 \cdot 10 - 2 \cdot 100 \\ &= 200\end{aligned}

מציבים בפונקציית השטח

384−(200−400+384)=384−184=200\begin{aligned}384 - (200 - 400 + 384) &= 384 - 184 \\ &= 200\end{aligned}

בדיקה: המלבן פחות המשולשים

השטח 200200 סמ״ר. בקצה x=16x = 16 השטח רק 128128 סמ״ר, ולכן 200200 הוא אכן המקסימום.

Check the answer on elev

חזרה — שאלה 3

Exercise 17

ABCDEFGHI
מלבן ABCD: AB = 12 ס״מ, BC = 16 ס״מ. EB = x, HC = 2x. המלבנים הצבועים (מודגשים) הם AEIG ו-IHCF.

נתון מלבן ABCDABCD שאורכי צלעותיו AB=12AB = 12 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע EB=xEB = x, ועל הצלע BCBC קטע HC=2xHC = 2x. דרך EE מעבירים קטע EFEF המקביל ל-BCBC, ודרך HH קטע GHGH המקביל ל-ABAB, והם נחתכים בנקודה II. המלבנים AEIGAEIG ו-IHCFIHCF צבועים, כמו בשרטוט. א. הביעו באמצעות xx את סכום השטחים של שני המלבנים הצבועים.

S(x)=S(x) = ____ x2−x^2 - ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: S(x)=S(x) = 4 x2−x^2 - 40 x+x + 192

Worked solution:

AE=12−xAG=16−2x\begin{aligned}AE &= 12 - x \\ \quad AG &= 16 - 2x\end{aligned}

צלעות המלבן AEIGAEIG

IF=HC=2xFC=EB=x\begin{aligned}IF &= HC \\ &= 2x \\ \quad FC &= EB \\ &= x\end{aligned}

צלעות המלבן IHCFIHCF

S(x)=(12−x)(16−2x)+x⋅2xS(x) = (12 - x)(16 - 2x) + x \cdot 2x

סכום השטחים

=192−40x+2x2+2x2=4x2−40x+192= 192 - 40x + 2x^2 + 2x^2 = 4x^2 - 40x + 192

פותחים סוגריים

S(x)=4x2−40x+192S(x) = 4x^2 - 40x + 192. המלכודת: לקחת את AG=2xAG = 2x — הקטע 2x2x נמדד מ-CC, ולכן הגובה של המלבן העליון הוא 16−2x16 - 2x.

Check the answer on elev

Exercise 18

ABCDEFGHI
מלבן ABCD: AB = 12 ס״מ, BC = 16 ס״מ. EB = x, HC = 2x. המלבנים הצבועים (מודגשים) הם AEIG ו-IHCF.

נתון מלבן ABCDABCD שאורכי צלעותיו AB=12AB = 12 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע EB=xEB = x, ועל הצלע BCBC קטע HC=2xHC = 2x. דרך EE מעבירים קטע EFEF המקביל ל-BCBC, ודרך HH קטע GHGH המקביל ל-ABAB, והם נחתכים בנקודה II. המלבנים AEIGAEIG ו-IHCFIHCF צבועים, כמו בשרטוט. סכום שטחי המלבנים הצבועים הוא S(x)=4x2−40x+192S(x) = 4x^2 - 40x + 192. ב. מצאו את xx (בס״מ) שעבורו סכום השטחים מינימלי.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

0<x<80 < x < 8

התחום: HC=2xHC = 2x קטן מ-BC=16BC = 16

S′(x)=8x−40=0 ⇒ x=5\begin{aligned}S'(x) &= 8x - 40 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

S′(4)=−8<0S′(6)=8>0\begin{aligned}S'(4) &= -8 < 0 \\ \quad S'(6) &= 8 > 0\end{aligned}

מ-−- ל-++: מינימום

x=5x = 5 ס״מ, בתוך התחום.

Check the answer on elev

Exercise 19

ABCDEFGHI
מלבן ABCD: AB = 12 ס״מ, BC = 16 ס״מ. EB = x, HC = 2x. המלבנים הצבועים (מודגשים) הם AEIG ו-IHCF.

נתון מלבן ABCDABCD שאורכי צלעותיו AB=12AB = 12 ס״מ ו-BC=16BC = 16 ס״מ. על הצלע ABAB מקצים קטע EB=xEB = x, ועל הצלע BCBC קטע HC=2xHC = 2x. דרך EE מעבירים קטע EFEF המקביל ל-BCBC, ודרך HH קטע GHGH המקביל ל-ABAB, והם נחתכים בנקודה II. המלבנים AEIGAEIG ו-IHCFIHCF צבועים, כמו בשרטוט. סכום שטחי המלבנים הצבועים הוא S(x)=4x2−40x+192S(x) = 4x^2 - 40x + 192, והוא מינימלי כאשר x=5x = 5. ג. מהו הסכום המינימלי (בסמ״ר)?

Show the answer and the solution

Answer: 92

Worked solution:

S(5)=4⋅25−40⋅5+192=92\begin{aligned}S(5) &= 4 \cdot 25 - 40 \cdot 5 + 192 \\ &= 92\end{aligned}

מציבים x=5x = 5

7⋅6+5⋅10=42+50=92\begin{aligned}7 \cdot 6 + 5 \cdot 10 &= 42 + 50 \\ &= 92\end{aligned}

בדיקה: AEIGAEIG הוא 7×67 \times 6, ו-IHCFIHCF הוא 5×105 \times 10

הסכום המינימלי 9292 סמ״ר. בקצוות: S(0)=192S(0) = 192 ו-S(8)=128S(8) = 128, שניהם גדולים יותר.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade