The five steps: number problems · Optimization problems · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $16$ . מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם? נסו כמה זוגות: $1 \cdot 15 = 15$ , $4 \cdot 12 = 48$ , $8 \cdot 8 = 64$ , $12 \cdot 4 = 48$ . המכפלה עולה, מגיעה לשיא ויורדת. כל זוג הוא נקודה על גרף, והשיא של הגרף הוא התשובה.

המכפלה P(x) = x(16 − x) כשסכום שני המספרים 16

על ציר ה-

x

המספר הראשון, ועל ציר ה-

y

המכפלה

P(x) = x(16 - x)

. בשיא הגרף המשיק אופקי, ושם

P'(x) = 0

לפי הגרף: באיזה $x$ המכפלה הגדולה ביותר? ומה קורה למכפלה כש- $x$ מתקרב ל- $0$ או ל- $16$ ?

Show the answer and the solution

השיא ב- $x = 8$ , והמכפלה $64$ . בשני הקצוות המכפלה מתקרבת ל- $0$ , כי אחד המספרים כמעט $0$ . המספרים חיוביים, ולכן $x = 0$ ו- $x = 16$ אינם מותרים. התחום פתוח: $0 < x < 16$ .

חמשת השלבים, תמיד באותו סדר

1

סימון המשתנה. בוחרים משתנה $x$ וכותבים במילים מה הוא: « $x$ — המספר הראשון».

2

הבעת הגודל כפונקציה. כותבים את הגודל שרוצים להגדיל או להקטין באמצעות $x$ בלבד. אם יש משתנה שני, מסלקים אותו בעזרת הנתון הקבוע: $y = 16 - x$ .

3

תחום ההגדרה של הבעיה. אילו ערכי $x$ אפשריים בסיפור? תחום פתוח כשהקצה אסור, תחום סגור כשגם הקצה אפשרי.

4

גזירה והשוואה לאפס. גוזרים, פותרים $f'(x) = 0$ , ומשאירים רק פתרונות בתוך התחום.

5

בדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה. טבלת סימנים של $f'$ (ובתחום סגור: השוואה לערכים בקצוות). אחר כך עונים על מה שנשאל: המספר, או הערך.

המכפלה הגדולה ביותר, בחמישה שלבים

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $16$ . מצאו את המכפלה הגדולה ביותר שלהם.

x \ ,\ \ 16 - x

שלב 1: $x$ המספר הראשון, ולכן השני $16 - x$

\begin{aligned}P(x) &= x(16 - x) \\ &= 16x - x^2\end{aligned}

שלב 2: המכפלה באמצעות $x$ בלבד

0 < x < 16

שלב 3: שני המספרים חיוביים

\begin{aligned}P'(x) &= 16 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

שלב 4: ו- $8$ בתוך התחום

\begin{aligned}P(8) &= 8 \cdot 8 \\ &= 64\end{aligned}

שלב 5: אחרי טבלת הסימנים שלמטה, המכפלה הגדולה ביותר היא $64$

מספר והחזקה השנייה שלו

מהו המספר $x$ שעבורו ההפרש $x - x^2$ הגדול ביותר? כאן יש מספר אחד בלבד, ולכן שלבים 1 ו-2 נכתבים בשורה אחת: $f(x) = x - x^2$ . אין הגבלה על $x$ , והתחום הוא כל $x$ .

גזרו, ומצאו את $x$ ואת ההפרש הגדול ביותר.

Show the answer and the solution

$f'(x) = 1 - 2x = 0$ , ולכן $x = \frac{1}{2}$ . משמאל הנגזרת חיובית ומימין שלילית: מקסימום. $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ .

\begin{aligned}(\sqrt{x})' &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad \left(\sqrt{f(x)}\right)' \\ &= \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\end{aligned}

גם שורש יכול להופיע בבעיה, למשל ההפרש $\sqrt{x} - x$ . גוזרים אותו לפי שני הכללים האלה.

תחום סגור: משווים גם לקצוות

לפעמים הבעיה מגבילה את המשתנה כולל הקצוות, למשל « $x$ בין $2$ ל- $7$ ». אז התחום סגור, $2 \le x \le 7$ , ושלב 5 משתנה: מחשבים את הגודל בנקודות החשודות שבתוך התחום וגם בשני הקצוות, ובוחרים את הגדול ביותר או את הקטן ביותר.

הערך הגדול והקטן ביותר בתחום סגור

ידוע ש- $x + y = 10$ ו- $2 \le x \le 7$ . מצאו את הערך הקטן ביותר ואת הערך הגדול ביותר של $x^2 + y^2$ .

\begin{aligned}f(x) &= x^2 + (10 - x)^2 \\ &= 2x^2 - 20x + 100\end{aligned}

שלבים 1 ו-2: $y = 10 - x$

2 \le x \le 7

שלב 3: תחום סגור

\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

שלב 4: $5$ בתוך התחום

\begin{aligned}f(5) &= 50 \\ \quad f(2) &= 68 \\ \quad f(7) &= 58\end{aligned}

שלב 5: הנקודה החשודה ושני הקצוות

\begin{aligned}\min &= 50 \ (x = 5) \qquad \max \\ &= 68 \ (x = 2)\end{aligned}

הערך הגדול ביותר נמצא בקצה, ושם הנגזרת אינה אפס

ואם התחום היה $2 \le x \le 4$ , היכן הערך הקטן ביותר של $x^2 + y^2$ ?

Show the answer and the solution

$x = 5$ נמצא מחוץ לתחום, ולכן הנקודה החשודה נפסלת. $f'(x) = 4x - 20 < 0$ בכל התחום, ולכן $f$ יורדת. הערך הקטן ביותר נמצא בקצה הימני: $f(4) = 16 + 36 = 52$ .

בדיקה מהירה אחרי כל תשובה: הציבו ערך אחר מהתחום, וודאו שהוא נותן פחות (או יותר). $P(7) = 63 < 64$ ✓. הבדיקה לא מחליפה את טבלת הסימנים, אבל היא תופסת טעויות חשבון.

שלוש הטעויות של בעיות הקיצון.

x = 8

\begin{aligned}P_{max} &= P(8) \\ &= 64\end{aligned}

נשאלתם על המכפלה. מי שעוצר ב- $x$ עונה על שאלה אחרת.

\begin{aligned}P'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 9\end{aligned}

\begin{aligned}x &= 9 \notin (0, 9) \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

פתרון של $f'(x) = 0$ שאינו בתחום אינו פתרון של הבעיה. תמיד חוזרים לתחום.

\max = f(5)

\begin{aligned}\max &= f(2) \\ &= 68\end{aligned}

בתחום סגור בודקים גם את הקצוות. הנגזרת לא «רואה» אותם.

Exercises

Exercise 1

סדרו את חמשת השלבים של פתרון בעיית קיצון.

בדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה
גזירה והשוואה לאפס
הבעת הגודל כפונקציה
סימון המשתנה
תחום ההגדרה של הבעיה

Show the answer and the solution

Answer: סימון המשתנה · הבעת הגודל כפונקציה · תחום ההגדרה של הבעיה · גזירה והשוואה לאפס · בדיקת סוג הקיצון ותשובה לשאלה

Worked solution:

1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5

התחום נקבע לפני הגזירה

התחום בא לפני הגזירה, כי הוא מחליט אילו פתרונות של $f'(x) = 0$ נשארים. מי שקובע אותו בסוף נוטה «להתאים» אותו לתשובה.

Check the answer on elev

Exercise 2

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $30$ . $x$ הוא המספר הראשון. מהי הפונקציה שמבטאת את המכפלה שלהם?

$P(x) = 30x$
$P(x) = x(x - 30)$
$P(x) = x + (30 - x)$
$P(x) = x(30 - x)$

Show the answer and the solution

Answer: D $P(x) = x(30 - x)$

Worked solution:

y = 30 - x

המספר השני, מתוך הסכום

\begin{aligned}P(x) &= x \cdot y \\ &= x(30 - x)\end{aligned}

מכפלה

הנכונה: $P(x) = x(30 - x)$ . $x(x - 30)$ נותן מכפלה שלילית לכל $0 < x < 30$ . $x + (30 - x) = 30$ הוא הסכום, לא המכפלה.

Check the answer on elev

Exercise 3

סכום של שני מספרים חיוביים הוא $30$ . מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

Show the answer and the solution

Answer: 225

Worked solution:

\begin{aligned}P(x) &= x(30 - x) \\ &= 30x - x^2 \\ \quad 0 < x < 30\end{aligned}

שלבים 1 עד 3

\begin{aligned}P'(x) &= 30 - 2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 15\end{aligned}

שלב 4

\begin{aligned}P'(10) &= 10 > 0 \\ \quad P'(20) &= -10 < 0\end{aligned}

שלב 5: מקסימום

\begin{aligned}P(15) &= 15 \cdot 15 \\ &= 225\end{aligned}

התשובה לשאלה

התשובה היא המכפלה $225$ , לא $x = 15$ . המכפלה הגדולה ביותר מתקבלת כששני המספרים שווים.

Check the answer on elev

Exercise 4

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 10$ . מהו הערך הקטן ביותר של $x^2 + y^2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 50

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= x^2 + (10 - x)^2 \\ &= 2x^2 - 20x + 100 \\ \quad 0 < x < 10\end{aligned}

מסלקים את $y$

\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

נקודה חשודה

f'(1) < 0 ,\quad f'(6) > 0

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}f(5) &= 25 + 25 \\ &= 50\end{aligned}

הערך הקטן ביותר

כאן מחפשים מינימום, והנגזרת עוברת מ- $-$ ל- $+$ . מי שכותב $(10 - x)^2 = 100 - x^2$ שכח את האיבר האמצעי $-20x$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו הערך הגדול ביותר של ההפרש בין מספר $x$ לבין פעמיים $x^2$ , כלומר של $x - 2x^2$ ? כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.125

Worked solution:

f(x) = x - 2x^2

שלבים 1 ו-2. אין הגבלה על $x$

\begin{aligned}f'(x) &= 1 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שלב 4

\begin{aligned}f'(0) &= 1 > 0 \\ \quad f'(1) &= -3 < 0\end{aligned}

שלב 5: מקסימום

\begin{aligned}f\left(\tfrac{1}{4}\right) &= \tfrac{1}{4} - 2 \cdot \tfrac{1}{16} \\ &= \tfrac{1}{8} \\ &= 0.125\end{aligned}

הערך

נשאלתם על ההפרש, ולכן התשובה $0.125$ ולא $x = 0.25$ . ו- $2x^2$ ב- $x = \frac{1}{4}$ הוא $\frac{2}{16}$ , לא $\frac{1}{4}$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

הוכיחו או הפריכו: בתחום סגור, הערך הגדול ביותר של הגודל מתקבל תמיד בנקודה שבה הנגזרת מתאפסת.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= x^2 + (10 - x)^2 \\ \quad 2 \le x \le 7\end{aligned}

דוגמה נגדית

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \quad f(5) &= 50\end{aligned}

בנקודה החשודה: מינימום

f(2) = 68 > 50

הערך הגדול ביותר נמצא בקצה

הטענה לא נכונה. בתחום סגור הערך הגדול ביותר יכול להיות בקצה, ושם הנגזרת אינה אפס. לכן משווים תמיד לקצוות.

Check the answer on elev

Exercise 7

ידוע ש- $x + y = 10$ ו- $1 \le x \le 6$ . מהו הערך הגדול ביותר של $x^2 + y^2$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 82

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= 2x^2 - 20x + 100 \\ \quad 1 \le x \le 6\end{aligned}

מסלקים את $y$ . התחום סגור

\begin{aligned}f'(x) &= 4x - 20 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

בתוך התחום

\begin{aligned}f(5) &= 50 \\ \quad f(1) &= 1 + 81 \\ &= 82 \\ \quad f(6) &= 36 + 16 \\ &= 52\end{aligned}

הנקודה החשודה ושני הקצוות

\max = 82 \ (x = 1)

הגדול מבין השלושה

הנקודה החשודה $x = 5$ היא מינימום, לא מקסימום. הערך הגדול ביותר נמצא בקצה $x = 1$ , ורק ההשוואה לקצוות מגלה אותו.

Check the answer on elev

Exercise 8

מספר אחד גדול ממספר שני ב- $8$ . מהי המכפלה הקטנה ביותר של שני המספרים?

Show the answer and the solution

Answer: -16

Worked solution:

x \ ,\ \ x - 8

סימון: $x$ המספר הגדול

\begin{aligned}P(x) &= x(x - 8) \\ &= x^2 - 8x\end{aligned}

אין הגבלה על $x$ : המספרים לא חייבים להיות חיוביים

\begin{aligned}P'(x) &= 2x - 8 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

נקודה חשודה; מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}P(4) &= 4 \cdot (-4) \\ &= -16\end{aligned}

המספרים $4$ ו- $-4$

המכפלה הקטנה ביותר שלילית: $4 \cdot (-4) = -16$ . מי שמניח שהמספרים חיוביים מחפש תחום שלא ניתן בשאלה.

Check the answer on elev

Exercise 9

$x$ ו- $y$ מספרים חיוביים, ו- $x + y = 9$ . מחפשים את הערך הגדול ביותר של $x \cdot y^2$ . שורה אחת בפתרון שגויה. מצאו אותה.

P(x) = x(9 - x)^2

0 < x < 9

P'(x) = (9 - x)(9 - 3x)

\begin{aligned}x &= 9 \ \Rightarrow \ P(9) \\ &= 0\end{aligned}

Show the answer and the solution

Answer: $x = 9 \ \Rightarrow \ P(9) = 0$ → $x = 3 \ \Rightarrow \ P(3) = 3 \cdot 36 = 108$

Worked solution:

\begin{aligned}P'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9 \ \text{או} \ x \\ &= 3\end{aligned}

שני פתרונות

9 \notin (0, 9)

התחום פוסל את $x = 9$

\begin{aligned}P(3) &= 3 \cdot 6^2 \\ &= 108\end{aligned}

מקסימום: הנגזרת עוברת מ- $+$ ל- $-$

ב- $x = 9$ המספר $y$ הוא $0$ , והמכפלה $0$ : זו הקטנה ביותר, לא הגדולה. פתרון של $P'(x) = 0$ שנמצא מחוץ לתחום נפסל.

Check the answer on elev

Exercise 10

מהו הערך הגדול ביותר של ההפרש $\sqrt{x} - x$ ? כתבו תשובה עשרונית.

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

\begin{aligned}f(x) &= \sqrt{x} - x \\ \quad x \ge 0\end{aligned}

תחום: שורש מוגדר רק ל- $x \ge 0$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

גזירה והשוואה לאפס

\begin{aligned}f'\left(\tfrac{1}{9}\right) &= \tfrac{3}{2} - 1 > 0 \\ \quad f'(1) &= -\tfrac{1}{2} < 0\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}f\left(\tfrac{1}{4}\right) &= \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} \\ &= \tfrac{1}{4}\end{aligned}

הערך

בין $0$ ל- $1$ השורש גדול מהמספר עצמו: $\sqrt{0.25} = 0.5 > 0.25$ . לכן ההפרש חיובי שם, והשיא שלו $0.25$ .

Check the answer on elev

חמשת השלבים, תמיד באותו סדר

מספר והחזקה השנייה שלו

תחום סגור: משווים גם לקצוות

Exercises

Keep practising on elev