Power and root functions

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עד עכשיו אפשר היה להציב כל מספר. בפונקציות האלה — לא, ולכן השאלה הראשונה תמיד «מה מותר להציב».

תחום הגדרה

f(x)⇒f(x)≥0\sqrt{f(x)} \Rightarrow f(x) \geq 0

שורש — אי אפשר להוציא שורש ממספר שלילי.

1f(x)⇒f(x)≠0\frac{1}{f(x)} \Rightarrow f(x) \neq 0

מכנה — אין חלוקה באפס.

שימו לב להבדל: בשורש התנאי הוא גדול או שווה (אפס מותר, 0=0\sqrt{0} = 0), ובמכנה הוא שונה מ. ההבדל בסימן עולה נקודות.

תחום הגדרה

מהו תחום ההגדרה של y=x−4y = \sqrt{x - 4}?

x−4≥0x - 4 \geq 0

מה שמתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי

x≥4x \geq 4

התחום

שני התנאים יחד

כשיש בפונקציה גם שורש וגם מכנה, כותבים את שני התנאים, ושניהם חייבים להתקיים בו-זמנית. תחום ההגדרה הוא החיתוך של שני התנאים, לא האיחוד.

שורש ומכנה באותה פונקציה

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x−1x−3f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}?

x−1≥0 ⇒ x≥1x - 1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 1

תנאי השורש

x−3≠0 ⇒ x≠3x - 3 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 3

תנאי המכנה

x≥1 וגם x≠3x \geq 1 \ \text{וגם} \ x \neq 3

שני התנאים יחד: מ-1 והלאה, בלי הנקודה 3

מהו תחום ההגדרה של g(x)=5x+2g(x) = \dfrac{5}{\sqrt{x + 2}}?

Show the answer and the solution

x>−2x > -2. השורש דורש x+2≥0x + 2 \geq 0, אבל הוא במכנה, ולכן אסור שיתאפס: x+2>0x + 2 > 0. אי-שוויון חזק — הנקודה −2-2 עצמה מחוץ לתחום.

פונקציית חזקה

הצורה y=xny = x^n. הכול תלוי בזוגיות של nn:

n זוגיn \ \text{זוגי}

הגרף סימטרי לציר ה-yy, כמו פרבולה. הפונקציה זוגית.

n אי-זוגיn \ \text{אי-זוגי}

הגרף סימטרי לראשית. הפונקציה אי-זוגית.

פונקציית שורש

הגרף של y=xy = \sqrt{x} מתחיל בנקודה (0, 0)(0,\, 0), עולה תמיד, ומשתטח בהדרגה. הוא קיים רק בחצי הימני של הלוח — כי אין שורש למספר שלילי.

זהו למעשה חצי פרבולה שוכבת: אם מסובבים את y=x2y = x^2 ולוקחים רק את החלק העליון — מקבלים בדיוק אותו.

שתי הטעויות של תחום ההגדרה.

x−4⇒x>4\sqrt{x - 4} \Rightarrow x > 4
x≥4x \geq 4

אפס מותר תחת שורש. 0=0\sqrt{0} = 0 מוגדר היטב.

9=±3\sqrt{9} = \pm 3
9=3\sqrt{9} = 3

סימן השורש נותן תמיד את הערך החיובי. שני הסימנים מופיעים רק בפתרון משוואה x2=9x^2 = 9.

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x−2f(x) = x^{-2}?

Show the answer and the solution

כל x≠0x \neq 0. מעריך שלילי פירושו מכנה, והמכנה אסור שיתאפס.

Exercises

Exercise 1

מהו הערך הקטן ביותר המותר ב-y=x−4y = \sqrt{x - 4}?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

x−4≥0x - 4 \geq 0

תנאי השורש

x≥4x \geq 4

התחום

אפס מותר תחת שורש.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו הערך האסור ב-y=1x−7y = \frac{1}{x - 7}?

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

x−7≠0x - 7 \neq 0

תנאי המכנה

x≠7x \neq 7

הערך האסור

במכנה — שונה מ, ולא גדול או שווה.

Check the answer on elev

Exercise 3

כמה זה 9\sqrt{9}?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

9=3\sqrt{9} = 3

הערך החיובי בלבד

שני הסימנים מופיעים רק בפתרון x2=9x^2 = 9.

Check the answer on elev

Exercise 4

הפונקציה y=x4y = x^4 — מה נכון?

  1. אי-זוגית
  2. זוגית — סימטרית לציר ה-yy
  3. לא זוגית ולא אי-זוגית
  4. לא מוגדרת בשליליים
Show the answer and the solution

Answer: B זוגית — סימטרית לציר ה-yy

Worked solution:

(−x)4=x4(-x)^4 = x^4

מעריך זוגי

מעריך זוגי — פונקציה זוגית.

Check the answer on elev

Exercise 5

הגרף של y=xy = \sqrt{x} מתחיל בנקודה:

  1. אין נקודת התחלה
  2. (0, 1)(0,\, 1)
  3. (1, 1)(1,\, 1)
  4. (0, 0)(0,\, 0)
Show the answer and the solution

Answer: D (0, 0)(0,\, 0)

Worked solution:

0=0\sqrt{0} = 0

הערך הקטן ביותר בתחום

ומשם הוא עולה תמיד, ומשתטח בהדרגה.

Check the answer on elev

Exercise 6

המשוואה x3=27x^3 = 27:

הפתרון היחיד: x = ____.

Show the answer and the solution

Answer: הפתרון היחיד: x = 3.

Worked solution:

33=273^3 = 27

חזקה אי-זוגית — פתרון יחיד

בניגוד לריבוע: לחזקה שלישית אין «זוג» — גם השלילי של 3 נותן 27-.

Check the answer on elev

Exercise 7

לכל מספר: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| — ולא בהכרח aa עצמו.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

(−5)2=5\sqrt{(-5)^2} = 5

השורש מוחק את הסימן

Check the answer on elev

Exercise 8

למה שווה (x2)3(x^2)^3?

  1. x6x^6
  2. x8x^8
  3. x9x^9
  4. x5x^5
Show the answer and the solution

Answer: A x6x^6

Worked solution:

(x2)3=x2⋅3=x6\begin{aligned}(x^2)^3 &= x^{2 \cdot 3} \\ &= x^6\end{aligned}

חזקה על חזקה — כופלים מעריכים

Check the answer on elev

Exercise 9

מהו תחום ההגדרה של f(x)=x+2x−1f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}?

  1. x≠1x \neq 1
  2. x≥−2x \geq -2 וגם x≠1x \neq 1
  3. x>−2x > -2 וגם x≠1x \neq 1
  4. x≥−2x \geq -2
Show the answer and the solution

Answer: B x≥−2x \geq -2 וגם x≠1x \neq 1

Worked solution:

x+2≥0 ⇒ x≥−2x + 2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -2

תנאי השורש

x−1≠0 ⇒ x≠1x - 1 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 1

תנאי המכנה

x≥−2 וגם x≠1x \geq -2 \ \text{וגם} \ x \neq 1

שניהם יחד

הנכונה: x≥−2x \geq -2 וגם x≠1x \neq 1. השורש כאן במונה, ולכן אפס מותר בו ו-−2-2 בתחום. מי שכתב x>−2x > -2 בלבל עם שורש במכנה.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה f(x)=6−x+1x+4f(x) = \sqrt{6 - x} + \dfrac{1}{x + 4}. השלימו.

הערך הגדול ביותר המותר: x=x = ____ ; הערך האסור: x=x = ____

Show the answer and the solution

Answer: הערך הגדול ביותר המותר: x=x = 6 ; הערך האסור: x=x = -4

Worked solution:

6−x≥0 ⇒ x≤66 - x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 6

תנאי השורש: המינוס לפני xx הופך את הכיוון

x+4≠0 ⇒ x≠−4x + 4 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq -4

תנאי המכנה

x≤6 וגם x≠−4x \leq 6 \ \text{וגם} \ x \neq -4

התחום

−4-4 הוא בתוך הקטע x≤6x \leq 6, ולכן צריך להוציא אותו במפורש. תחום שכותב רק x≤6x \leq 6 שוכח את המכנה.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade