Powers, root and parity

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

לפני כל כלל, הסתכלו על שני גרפים. y=x2y = x^2 ו-y=x3y = x^3 נראים דומים בצד הימני, ושונים לגמרי בצד השמאלי. ההבדל הזה, בין מעריך זוגי למעריך אי-זוגי, הוא כל הפרק.

y = x² ו-y = x³ על אותם צירים
(0,0)(1,1)(-1,1)(-1,-1)-2-1012-8-6-4-22468xy
  • x²
  • x³
הקו המלא הוא y=x2y = x^2, המקווקו הוא y=x3y = x^3. שניהם עוברים ב-(0,0)(0,0) וב-(1,1)(1,1). אבל ב-x=−1x = -1 הם נפרדים: (−1)2=1(-1)^2 = 1 ו-(−1)3=−1(-1)^3 = -1. הזוגי נשאר למעלה, האי-זוגי יורד למטה.

לפי הגרף: באילו נקודות נפגשים הגרפים של y=x2y = x^2 ושל y=x3y = x^3?

Show the answer and the solution

ב-(0,0)(0,0) וב-(1,1)(1,1). באלגברה: x2=x3x^2 = x^3 נותן x2(1−x)=0x^2(1 - x) = 0, כלומר x=0x = 0 או x=1x = 1. ב-x=−1x = -1 הם לא נפגשים: 1≠−11 \neq -1.

y = xⁿ כש-n זוגי

x2x^2, x4x^4, x6x^6 — כולם מתנהגים כמו פרבולה, רק «צרים» יותר ככל שהמעריך גדל. חמש תכונות, וכולן נקראות מהגרף:

(0, 0)(0,\,0)

חיתוך עם הצירים: נקודה אחת בלבד, הראשית

min⁡=(0, 0)\min = (0,\,0)

נקודת מינימום ב-(0,0)(0,0); אין מקסימום

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

סימטריה לציר ה-yy: הפונקציה זוגית

x<0↘x>0↗x < 0 \searrow \quad x > 0 \nearrow

יורדת משמאל ל-00, עולה מימין ל-00

xn≥0x^n \geq 0

חיובית לכל x≠0x \neq 0, ומתאפסת רק ב-00

y = xⁿ כש-n אי-זוגי

x3x^3, x5x^5, x7x^7 — צורת «כיסא»: עולים מהפינה השמאלית התחתונה לפינה הימנית העליונה, ומשתטחים לרגע ב-(0,0)(0,0).

(0, 0)(0,\,0)

חיתוך עם הצירים: הראשית בלבד

אין\text{אין}

אין נקודת מינימום ואין מקסימום

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

סימטריה לראשית: הפונקציה אי-זוגית

↗\nearrow

עולה לכל xx

x<0⇒xn<0x>0⇒xn>0x < 0 \Rightarrow x^n < 0 \quad x > 0 \Rightarrow x^n > 0

הסימן של xnx^n הוא הסימן של xx

y = x² ו-y = x⁴
(1,1)(-1,1)-1.5-1-0.500.511.5-11234567xy
  • x²
  • x⁴
הקו המלא y=x2y = x^2, המקווקו y=x4y = x^4. בין −1-1 ל-11 הגרף של x4x^4 נמוך יותר (0.54=0.06250.5^4 = 0.0625), ומחוץ לקטע הזה הוא גבוה יותר (1.54=5.061.5^4 = 5.06). שניהם: מינימום ב-(0,0)(0,0), סימטריים לציר ה-yy.

חשבו: f(−2)f(-2) עבור f(x)=x4f(x) = x^4, ו-g(−2)g(-2) עבור g(x)=x5g(x) = x^5.

Show the answer and the solution

f(−2)=(−2)4=16f(-2) = (-2)^4 = 16 — מעריך זוגי מוחק את המינוס. g(−2)=(−2)5=−32g(-2) = (-2)^5 = -32 — מעריך אי-זוגי שומר עליו.

פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית — הבדיקה באלגברה

הזוגיות אינה רק תכונה של xnx^n. לכל פונקציה שואלים: מה קורה כשמציבים −x-x במקום xx? מציבים, מפשטים, ומשווים לפונקציה המקורית.

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

פונקציה זוגית — הגרף סימטרי לציר ה-yy

f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)

פונקציה אי-זוגית — הגרף סימטרי לראשית

שלוש בדיקות זוגיות

קבעו אם כל פונקציה זוגית, אי-זוגית או לא זו ולא זו: f(x)=x4−3x2f(x) = x^4 - 3x^2, g(x)=x3−3xg(x) = x^3 - 3x, h(x)=x2+xh(x) = x^2 + x.

f(−x)=(−x)4−3(−x)2=x4−3x2=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 3(-x)^2 \\ &= x^4 - 3x^2 \\ &= f(x)\end{aligned}

ff זוגית: כל המעריכים זוגיים

g(−x)=(−x)3−3(−x)=−x3+3x=−(x3−3x)=−g(x)\begin{aligned}g(-x) &= (-x)^3 - 3(-x) \\ &= -x^3 + 3x \\ &= -(x^3 - 3x) \\ &= -g(x)\end{aligned}

gg אי-זוגית: כל המעריכים אי-זוגיים

h(−x)=(−x)2+(−x)=x2−x\begin{aligned}h(-x) &= (-x)^2 + (-x) \\ &= x^2 - x\end{aligned}

לא שווה ל-h(x)h(x) ולא ל-−h(x)=−x2−x-h(x) = -x^2 - x

h(−x)≠h(x),h(−x)≠−h(x)h(-x) \neq h(x) ,\quad h(-x) \neq -h(x)

hh לא זוגית ולא אי-זוגית: מעריך זוגי ומעריך אי-זוגי באותה פונקציה

קיצור דרך לפולינום: כל המעריכים זוגיים — זוגית (המספר החופשי הוא x0x^0, מעריך זוגי). כל המעריכים אי-זוגיים — אי-זוגית. מעורב — לא זו ולא זו. אבל בבחינה כותבים את ההצבה f(−x)f(-x) במלואה, לא רק את הקיצור.

הזוגיות על הגרף

על גרף בודקים בעזרת נקודה אחת. אם (a, b)(a,\,b) על הגרף של פונקציה זוגית, אז גם (−a, b)(-a,\,b) על הגרף: אותו גובה, בצד השני של ציר ה-yy. אם הפונקציה אי-זוגית, אז (−a, −b)(-a,\,-b) על הגרף: הצד השני, וגם הפוך למטה.

ff זוגית ו-f(3)=7f(3) = 7. מהו f(−3)f(-3)? ואם ff הייתה אי-זוגית?

Show the answer and the solution

זוגית: f(−3)=f(3)=7f(-3) = f(3) = 7. אי-זוגית: f(−3)=−f(3)=−7f(-3) = -f(3) = -7. בלי מידע על הזוגיות אי אפשר לדעת כלום על f(−3)f(-3).

פונקציית השורש

הגרף של y = √x
(0,0)(1,1)(4,2)(9,3)-2-10123456789-11234xy

y=xy = \sqrt{x} מוגדרת רק ל-x≥0x \geq 0, מתחילה ב-(0, 0)(0,\,0), עולה בכל תחום הגדרתה, ומשתטחת: מ-x=4x = 4 ל-x=9x = 9 היא עולה רק מ-22 ל-33. ערכיה תמיד y≥0y \geq 0.

והיא לא זוגית ולא אי-זוגית — ולא בגלל חישוב. כדי להשוות את f(−x)f(-x) ל-f(x)f(x) צריך ששניהם יהיו מוגדרים, אבל −x\sqrt{-x} לא קיים כש-x>0x > 0. הבדיקה נעצרת עוד לפני ההצבה: תחום הגדרה שאינו סימטרי פוסל זוגיות מכל סוג.

שלוש טעויות בזוגיות.

(−x)3=x3(-x)^3 = x^3
(−x)3=−x3(-x)^3 = -x^3

מעריך אי-זוגי שומר על המינוס. רק מעריך זוגי מוחק אותו.

x3+1 אי-זוגיתx^3 + 1 \ \text{אי-זוגית}
(−x)3+1=−x3+1≠−(x3+1)(-x)^3 + 1 = -x^3 + 1 \neq -(x^3 + 1)

המספר החופשי 11 הוא x0x^0, מעריך זוגי. פולינום עם מעריכים מעורבים הוא לא זוגי ולא אי-זוגי.

x זוגית\sqrt{x} \ \text{זוגית}
x: x≥0 בלבד\sqrt{x}: \ x \geq 0 \ \text{בלבד}

לפני ההצבה בודקים אם −x-x בכלל בתחום. x\sqrt{x} חיה רק בצד הימני, ולכן אין לה בן זוג משמאל.

Exercises

Exercise 1

איזו מהפונקציות היא אי-זוגית?

  1. f(x)=x3−5xf(x) = x^3 - 5x
  2. f(x)=x2−5xf(x) = x^2 - 5x
  3. f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
  4. f(x)=x4+1f(x) = x^4 + 1
Show the answer and the solution

Answer: A f(x)=x3−5xf(x) = x^3 - 5x

Worked solution:

(−x)3−5(−x)=−x3+5x=−(x3−5x)\begin{aligned}(-x)^3 - 5(-x) &= -x^3 + 5x \\ &= -(x^3 - 5x)\end{aligned}

כל המעריכים אי-זוגיים

(−x)2−5(−x)=x2+5x(-x)^2 - 5(-x) = x^2 + 5x

מעורב: לא זו ולא זו

(−x)4+1=x4+1(-x)^4 + 1 = x^4 + 1

זוגית

הנכונה: x3−5xx^3 - 5x. x4+1x^4 + 1 זוגית, x2−5xx^2 - 5x מעורבת, ו-x\sqrt{x} אינה מוגדרת בשליליים, ולכן היא לא זוגית ולא אי-זוגית.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה f(x)=x4−3x2f(x) = x^4 - 3x^2. חשבו את f(−2)f(-2).

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

(−2)4=16(−2)2=4\begin{aligned}(-2)^4 &= 16 \\ \quad (-2)^2 &= 4\end{aligned}

מעריך זוגי מוחק את המינוס

16−3⋅4=416 - 3 \cdot 4 = 4

מציבים

ff זוגית, ולכן f(−2)=f(2)=16−12=4f(-2) = f(2) = 16 - 12 = 4. מי שקיבל −4-4 או −28-28 שכח שמעריך זוגי מוחק את המינוס.

Check the answer on elev

Exercise 3

הפונקציה f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x היא זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(−x)=(−x)2+(−x)=x2−x\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^2 + (-x) \\ &= x^2 - x\end{aligned}

מציבים −x-x

x2−x≠x2+xx^2 - x \neq x^2 + x

לא שווה ל-f(x)f(x)

f(1)=2f(−1)=0\begin{aligned}f(1) &= 2 \\ \quad f(-1) &= 0\end{aligned}

דוגמה נגדית: לא אותו גובה

לא נכון. מספיק מעריך אי-זוגי אחד (x=x1x = x^1) כדי לשבור את הסימטריה. הדוגמה הנגדית f(1)≠f(−1)f(1) \neq f(-1) סוגרת את העניין.

Check the answer on elev

Exercise 4

הנקודה (−2, 5)(-2,\,5) נמצאת על הגרף של פונקציה זוגית. איזו נקודה נמצאת בוודאות גם היא על הגרף?

  1. (2, −5)(2,\,-5)
  2. (−2, −5)(-2,\,-5)
  3. (5, −2)(5,\,-2)
  4. (2, 5)(2,\,5)
Show the answer and the solution

Answer: D (2, 5)(2,\,5)

Worked solution:

f(−x)=f(x) ⇒ f(2)=f(−2)=5\begin{aligned}f(-x) &= f(x) \ \Rightarrow \ f(2) \\ &= f(-2) \\ &= 5\end{aligned}

אותו גובה בשני הצדדים

הנכונה: (2, 5)(2,\,5). סימטריה לציר ה-yy משנה את הסימן של xx בלבד. (2, −5)(2,\,-5) הייתה התשובה לפונקציה אי-זוגית.

Check the answer on elev

Exercise 5

gg פונקציה אי-זוגית, ו-g(4)=−6g(4) = -6. השלימו.

g(−4)=g(-4) = ____ ; g(0)=g(0) = ____

Show the answer and the solution

Answer: g(−4)=g(-4) = 6 ; g(0)=g(0) = 0

Worked solution:

g(−4)=−g(4)=−(−6)=6\begin{aligned}g(-4) &= -g(4) \\ &= -(-6) \\ &= 6\end{aligned}

אי-זוגית: הופכים סימן

g(−0)=−g(0) ⇒ g(0)=−g(0)\begin{aligned}g(-0) &= -g(0) \ \Rightarrow \ g(0) \\ &= -g(0)\end{aligned}

מציבים x=0x = 0 בהגדרה

2g(0)=0 ⇒ g(0)=0\begin{aligned}2g(0) &= 0 \ \Rightarrow \ g(0) \\ &= 0\end{aligned}

המספר היחיד ששווה למינוס עצמו

כל פונקציה אי-זוגית שמוגדרת ב-00 עוברת בראשית: g(0)=0g(0) = 0. זה נובע מההגדרה, לא מהגרף המסוים.

Check the answer on elev

Exercise 6

מיינו את הפונקציות לזוגיות ולאי-זוגיות.

  • זוגית
  • אי-זוגית
  • x2x^2
  • x3−xx^3 - x
  • x3x^3
  • x4−x2x^4 - x^2
  • x5+xx^5 + x
  • x6+2x^6 + 2
Show the answer and the solution

Answer: x2x^2 — זוגית · x4−x2x^4 - x^2 — זוגית · x6+2x^6 + 2 — זוגית · x3x^3 — אי-זוגית · x5+xx^5 + x — אי-זוגית · x3−xx^3 - x — אי-זוגית

Worked solution:

(−x)4−(−x)2=x4−x2(-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2

כל המעריכים זוגיים

(−x)6+2=x6+2(-x)^6 + 2 = x^6 + 2

2=2x02 = 2x^0, גם הוא מעריך זוגי

(−x)5+(−x)=−x5−x=−(x5+x)\begin{aligned}(-x)^5 + (-x) &= -x^5 - x \\ &= -(x^5 + x)\end{aligned}

כל המעריכים אי-זוגיים

זוגיות: x2x^2, x4−x2x^4 - x^2, x6+2x^6 + 2. אי-זוגיות: x3x^3, x5+xx^5 + x, x3−xx^3 - x. המספר החופשי +2+2 לא מפריע לזוגיות: x0x^0 הוא מעריך זוגי.

Check the answer on elev

Exercise 7

הגרף של y = x³
(0,0)-2-1012-8-6-4-22468xy

לפי הגרף: באיזה תחום הפונקציה y=x3y = x^3 עולה?

  1. רק עבור x<0x < 0
  2. רק עבור x>0x > 0
  3. לכל xx
  4. היא לא עולה באף תחום
Show the answer and the solution

Answer: C לכל xx

Worked solution:

x3↗x^3 \nearrow

משמאל למטה לימין למעלה, ללא ירידה

הנכונה: לכל xx. ב-(0,0)(0,0) הגרף משתטח לרגע, אבל לא יורד: אין שם לא מינימום ולא מקסימום. עלייה בכל התחום היא תכונה של כל xnx^n עם nn אי-זוגי.

Check the answer on elev

Exercise 8

המשוואה x4=81x^4 = 81. השלימו.

הפתרון החיובי: x=x = ____ ; הפתרון השלילי: x=x = ____

Show the answer and the solution

Answer: הפתרון החיובי: x=x = 3 ; הפתרון השלילי: x=x = -3

Worked solution:

34=813^4 = 81

הפתרון החיובי

(−3)4=81(-3)^4 = 81

מעריך זוגי: גם השלילי מתאים

x=3 או x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

שני פתרונות

למשוואה xn=cx^n = c עם nn זוגי ו-c>0c > 0 יש שני פתרונות, כמו x2=9x^2 = 9. עם nn אי-זוגי יש פתרון אחד בלבד: x3=27x^3 = 27 נותן רק 33.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגרף של y = √x
(0,0)(1,1)(4,2)(9,3)-2-10123456789-11234xy

לפי הגרף של f(x)=xf(x) = \sqrt{x}: מה נכון?

  1. ff אי-זוגית
  2. ff עולה בכל תחום הגדרתה
  3. ff יורדת עבור x>1x > 1
  4. ff זוגית
Show the answer and the solution

Answer: B ff עולה בכל תחום הגדרתה

Worked solution:

0=0 1=1 4=2 9=3\begin{aligned}\sqrt{0} &= 0 \\ \ \sqrt{1} &= 1 \\ \ \sqrt{4} &= 2 \\ \ \sqrt{9} &= 3\end{aligned}

הערכים רק גדלים

x≥0x \geq 0

התחום אינו סימטרי: לא זוגית ולא אי-זוגית

הנכונה: עולה בכל תחום הגדרתה. היא עולה לאט יותר ויותר, אבל לא יורדת. וזוגיות מכל סוג נפסלת מיד: אין גרף משמאל לציר ה-yy.

Check the answer on elev

Exercise 10

הגרף של כל פונקציה זוגית עובר בראשית הצירים.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1

זוגית: (−x)2+1=x2+1(-x)^2 + 1 = x^2 + 1

f(0)=1≠0f(0) = 1 \neq 0

ולא עוברת בראשית

לא נכון. זוגית פירושו סימטריה לציר ה-yy, ולא יותר: x2+1x^2 + 1 סימטרית וחותכת את ציר ה-yy ב-(0, 1)(0,\,1). לעומת זאת פונקציה אי-זוגית שמוגדרת ב-00 חייבת לעבור בראשית.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade