Shifts and reflections

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ניקח פונקציה שאנחנו מכירים, f(x)=x2f(x) = x^2, ונשאל מה קורה לגרף שלה כשמשנים את הנוסחה קצת: מוסיפים מספר, מחסרים מספר בתוך הסוגריים, שמים מינוס. כל שינוי כזה מזיז או משקף את הגרף בלי לשנות את צורתו. לחצו לפני שתקראו את הכלל.

הזזה אנכית: f(x) + k

מוסיפים kk לתוצאה, ולכן כל נקודה עולה ב-kk. y=x2+3y = x^2 + 3 הוא y=x2y = x^2 שעלה 3 יחידות; y=x2−2y = x^2 - 2 ירד 2 יחידות. הקודקוד עובר מ-(0, 0)(0,\,0) ל-(0, k)(0,\,k).

הזזה אופקית: f(x − p)

כאן הכיוון הפוך ממה שמצפים. y=(x−3)2y = (x - 3)^2 הוא y=x2y = x^2 שזז 3 ימינה, למרות המינוס. הסיבה: כדי לקבל את הערך 00, שהיה ב-x=0x = 0, צריך עכשיו להציב x=3x = 3. כל נקודה «מגיעה» מאוחר ב-3. ובאותו אופן y=(x+3)2y = (x + 3)^2 זז 3 שמאלה: x+3=x−(−3)x + 3 = x - (-3), כלומר p=−3p = -3.

y=f(x−p) p>0\begin{aligned}y &= f(x - p) \\ \ p > 0\end{aligned}

ימינה ב-pp

y=f(x−p) p<0\begin{aligned}y &= f(x - p) \\ \ p < 0\end{aligned}

שמאלה ב-∣p∣|p|: (x+3)(x + 3) הוא p=−3p = -3

y=f(x)+k k>0\begin{aligned}y &= f(x) + k \\ \ k > 0\end{aligned}

למעלה ב-kk

y=f(x)+k k<0\begin{aligned}y &= f(x) + k \\ \ k < 0\end{aligned}

למטה ב-∣k∣|k|

מ-x² אל (x − 3)² + 2
(0,0)(3,2)-4-3-2-101234567-112345678910xy
  • x²
  • (x−3)²+2
המקווקו הוא y=x2y = x^2, המלא הוא y=(x−3)2+2y = (x - 3)^2 + 2. הקודקוד עבר מ-(0, 0)(0,\,0) ל-(3, 2)(3,\,2): 3 ימינה בגלל x−3x - 3 בתוך הסוגריים, 2 למעלה בגלל +2+2 מחוץ להן. הצורה לא השתנתה.

מהו קודקוד הפרבולה y=(x+1)2−4y = (x + 1)^2 - 4?

Show the answer and the solution

(−1, −4)(-1,\,-4). x+1x + 1 פירושו p=−1p = -1: הזזה שמאלה. −4-4 מחוץ לסוגריים: 4 למטה. הקודקוד של x2x^2, שהיה ב-(0,0)(0,0), עבר ל-(−1, −4)(-1,\,-4).

גם √x זזה — ותחום ההגדרה זז איתה

מ-√x אל √(x + 4) − 1
(0,0)(-4,-1)(-3,0)(0,1)-5-4-3-2-10123456789-2-11234xy
  • √x
  • √(x+4)−1
נקודת ההתחלה עברה מ-(0, 0)(0,\,0) ל-(−4, −1)(-4,\,-1): x+4x + 4 פירושו 4 שמאלה, −1-1 פירושו 1 למטה. תחום ההגדרה זז יחד עם הגרף: x≥−4x \geq -4.

פונקציית שורש מוזזת: תחום, נקודת התחלה וחיתוך עם הצירים

נתונה g(x)=x+4−1g(x) = \sqrt{x + 4} - 1. מצאו את תחום ההגדרה, את נקודת ההתחלה של הגרף ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

x+4≥0 ⇒ x≥−4x + 4 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -4

תחום ההגדרה

g(−4)=0−1=−1\begin{aligned}g(-4) &= \sqrt{0} - 1 \\ &= -1\end{aligned}

נקודת ההתחלה: (−4, −1)(-4,\,-1) — הנקודה (0,0)(0,0) של x\sqrt{x} אחרי 4 שמאלה ו-1 למטה

g(0)=4−1=1\begin{aligned}g(0) &= \sqrt{4} - 1 \\ &= 1\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-yy: (0, 1)(0,\,1)

x+4−1=0 ⇒ x+4=1 ⇒ x+4=1 ⇒ x=−3\begin{aligned}\sqrt{x + 4} - 1 &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x + 4} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x + 4 \\ &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה-xx: (−3, 0)(-3,\,0). בדיקה: 1−1=0\sqrt{1} - 1 = 0 ✓

שיקופים: −f(x) ו-f(−x)

מינוס מחוץ לפונקציה הופך את הסימן של yy: כל מה שהיה למעלה עובר למטה. זה שיקוף בציר ה-xx. מינוס בתוך הפונקציה, ליד ה-xx, הופך את הסימן של xx: מה שהיה מימין עובר לשמאל. זה שיקוף בציר ה-yy.

y=−f(x):(a, b)→(a, −b)y = -f(x): \quad (a,\,b) \to (a,\,-b)

שיקוף בציר ה-xx. מינימום הופך למקסימום

y=f(−x):(a, b)→(−a, b)y = f(-x): \quad (a,\,b) \to (-a,\,b)

שיקוף בציר ה-yy. מינימום נשאר מינימום

שני השיקופים של √x
(4,2)(4,-2)(-4,2)-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789-3-2-1123xy
  • √x
  • −√x
  • √(−x)
המלא: y=√xy = \surd x. מקווקו למטה: y=−√xy = -\surd x, שיקוף בציר ה-xx — הנקודה (4, 2)(4,\,2) הפכה ל-(4, −2)(4,\,-2). מקווקו משמאל: y=√(−x)y = \surd(-x), שיקוף בציר ה-yy — (4, 2)(4,\,2) הפכה ל-(−4, 2)(-4,\,2), ותחום ההגדרה הפך ל-x≤0x \leq 0.

נתונה f(x)=(x−2)2f(x) = (x - 2)^2. מהי f(−x)f(-x), ואיפה הקודקוד שלה?

Show the answer and the solution

f(−x)=(−x−2)2=(x+2)2f(-x) = (-x - 2)^2 = (x + 2)^2, כי (−x−2)2=(−(x+2))2=(x+2)2(-x-2)^2 = (-(x+2))^2 = (x+2)^2. הקודקוד עבר מ-(2, 0)(2,\,0) ל-(−2, 0)(-2,\,0): שיקוף בציר ה-yy הופך את הסימן של xx בלבד.

מה קורה לנקודת קיצון

בכל שאלה כזאת עוקבים אחרי נקודה אחת. אם (a, b)(a,\,b) היא נקודת מינימום של ff, אז:

f(x)+k:(a, b+k)f(x) + k: \quad (a,\,b + k)

מינימום, זז למעלה או למטה

f(x−p):(a+p, b)f(x - p): \quad (a + p,\,b)

מינימום, זז ימינה או שמאלה

−f(x):(a, −b)-f(x): \quad (a,\,-b)

מקסימום — הסוג מתהפך

f(−x):(−a, b)f(-x): \quad (-a,\,b)

מינימום — הסוג נשמר

נקודת קיצון של פונקציה מוזזת

לפונקציה ff נקודת מינימום (2, −3)(2,\,-3). מצאו את נקודת הקיצון של h(x)=f(x−1)+4h(x) = f(x - 1) + 4 ושל k(x)=−f(x)k(x) = -f(x), וקבעו את סוגה.

h: (2+1, −3+4)=(3, 1)h: \ (2 + 1,\,-3 + 4) = (3,\,1)

1 ימינה, 4 למעלה. עדיין מינימום

k: (2, −(−3))=(2, 3)k: \ (2,\,-(-3)) = (2,\,3)

שיקוף בציר ה-xx. הופך למקסימום

סדר הקריאה: מה שנעשה בתוך הסוגריים, ליד ה-xx, פועל על ה-xx והפוך (מינוס = ימינה, −x-x = שיקוף שמאלה-ימינה). מה שנעשה מחוץ לפונקציה פועל על ה-yy ישר (פלוס = למעלה, מינוס = הפוך למטה).

שלוש הטעויות של ההזזה והשיקוף.

y=(x+3)2: p=3\begin{aligned}y &= (x + 3)^2: \ p \\ &= 3\end{aligned}
y=(x−(−3))2: p=−3\begin{aligned}y &= (x - (-3))^2: \ p \\ &= -3\end{aligned}

x+3x + 3 הוא x−(−3)x - (-3). הגרף זז שמאלה. בדיקה: הקודקוד הוא במקום שבו הסוגריים מתאפסים, x=−3x = -3.

−f(x): (a, b)→(−a, b)-f(x): \ (a,\,b) \to (-a,\,b)
−f(x): (a, b)→(a, −b)-f(x): \ (a,\,b) \to (a,\,-b)

מינוס מחוץ לפונקציה פועל על yy. הנקודה נשארת באותו xx ומתהפכת למטה.

−x: x∈∅\sqrt{-x}: \ x \in \varnothing
−x: x≤0\sqrt{-x}: \ x \leq 0

−x≥0-x \geq 0 מתקיים בדיוק כש-x≤0x \leq 0. הגרף קיים, בצד השמאלי.

Exercises

Exercise 1

הגרף של y=(x−4)2+1y = (x - 4)^2 + 1 מתקבל מהגרף של y=x2y = x^2 על ידי:

  1. הזזה של 4 ימינה ו-1 למטה
  2. הזזה של 4 ימינה ו-1 למעלה
  3. הזזה של 4 שמאלה ו-1 למעלה
  4. הזזה של 1 ימינה ו-4 למעלה
Show the answer and the solution

Answer: B הזזה של 4 ימינה ו-1 למעלה

Worked solution:

x−4 ⇒ p=4x - 4 \ \Rightarrow \ p = 4

בתוך הסוגריים: 4 ימינה

+1 ⇒ k=1+1 \ \Rightarrow \ k = 1

מחוץ לסוגריים: 1 למעלה

הנכונה: 4 ימינה ו-1 למעלה. המינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה. בדיקה: הקודקוד (4, 1)(4,\,1), ואכן (4−4)2+1=1(4 - 4)^2 + 1 = 1.

Check the answer on elev

Exercise 2

מהו קודקוד הפרבולה y=(x+2)2−5y = (x + 2)^2 - 5?

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = -2 , y=y = -5

Worked solution:

x+2=0 ⇒ x=−2\begin{aligned}x + 2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

הסוגריים מתאפסים: שם הקודקוד

y=0−5=−5\begin{aligned}y &= 0 - 5 \\ &= -5\end{aligned}

הגובה של הקודקוד

הקודקוד (−2, −5)(-2,\,-5): הזזה של x2x^2 2 שמאלה ו-5 למטה. מי שכתב x=2x = 2 קרא את x+2x + 2 כהזזה ימינה.

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה g(x)=x−3+2g(x) = \sqrt{x - 3} + 2. מצאו את נקודת ההתחלה של הגרף.

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = 3 , y=y = 2

Worked solution:

x−3≥0 ⇒ x≥3x - 3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 3

תחום ההגדרה: הגרף מתחיל ב-x=3x = 3

g(3)=0+2=2\begin{aligned}g(3) &= \sqrt{0} + 2 \\ &= 2\end{aligned}

הגובה בנקודת ההתחלה

נקודת ההתחלה (3, 2)(3,\,2): זו הנקודה (0,0)(0,0) של x\sqrt{x} אחרי 3 ימינה ו-2 למעלה. תחום ההגדרה זז יחד איתה.

Check the answer on elev

Exercise 4

נתונה f(x)=xf(x) = \sqrt{x}. מהי f(−x)f(-x), ומהו תחום הגדרתה?

  1. f(−x)=−xf(-x) = -\sqrt{x}, תחום x≥0x \geq 0
  2. f(−x)=−xf(-x) = \sqrt{-x}, אין תחום הגדרה
  3. f(−x)=−xf(-x) = \sqrt{-x}, תחום x≤0x \leq 0
  4. f(−x)=xf(-x) = \sqrt{x}, תחום x≥0x \geq 0
Show the answer and the solution

Answer: C f(−x)=−xf(-x) = \sqrt{-x}, תחום x≤0x \leq 0

Worked solution:

f(−x)=−xf(-x) = \sqrt{-x}

מציבים −x-x במקום xx

−x≥0 ⇒ x≤0-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 0

תחום ההגדרה: הצד השמאלי

הנכונה: −x\sqrt{-x} עם x≤0x \leq 0. −x-\sqrt{x} היא −f(x)-f(x), שיקוף אחר. ו«אין תחום» שוכח ש-−x-x חיובי בדיוק כש-xx שלילי: −(−9)=3\sqrt{-(-9)} = 3.

Check the answer on elev

Exercise 5

הגרף של y=−x2y = -x^2 הוא השיקוף של y=x2y = x^2 בציר ה-yy.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

−x2=−f(x)-x^2 = -f(x)

המינוס מחוץ לפונקציה: שיקוף בציר ה-xx

(1, 1)→(1, −1)(1,\,1) \to (1,\,-1)

הנקודה נשארת באותו xx ויורדת למטה

f(−x)=(−x)2=x2\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^2 \\ &= x^2\end{aligned}

שיקוף בציר ה-yy לא משנה כלום: x2x^2 זוגית

לא נכון. −x2-x^2 היא שיקוף בציר ה-xx: הפרבולה מתהפכת למטה. שיקוף בציר ה-yy של פונקציה זוגית מחזיר את אותו גרף בדיוק.

Check the answer on elev

Exercise 6

הגרף של g
(-1,-3)-5-4-3-2-101234-4-3-2-112345678xy

הגרף שלמטה הוא הזזה של y=x2y = x^2. מהי משוואת הפונקציה gg?

  1. g(x)=(x−1)2+3g(x) = (x - 1)^2 + 3
  2. g(x)=(x+1)2+3g(x) = (x + 1)^2 + 3
  3. g(x)=(x−1)2−3g(x) = (x - 1)^2 - 3
  4. g(x)=(x+1)2−3g(x) = (x + 1)^2 - 3
Show the answer and the solution

Answer: D g(x)=(x+1)2−3g(x) = (x + 1)^2 - 3

Worked solution:

(−1, −3)(-1,\,-3)

הקודקוד, מהגרף

p=−1 k=−3\begin{aligned}p &= -1 \\ \ k &= -3\end{aligned}

1 שמאלה, 3 למטה

g(x)=(x−(−1))2+(−3)=(x+1)2−3\begin{aligned}g(x) &= (x - (-1))^2 + (-3) \\ &= (x + 1)^2 - 3\end{aligned}

מציבים בתבנית (x−p)2+k(x - p)^2 + k

הנכונה: (x+1)2−3(x + 1)^2 - 3. הקודקוד ב-x=−1x = -1, ולכן בסוגריים כותבים x+1x + 1: מה שמאפס אותן. בדיקה: g(−1)=0−3=−3g(-1) = 0 - 3 = -3 ✓

Check the answer on elev

Exercise 7

לפונקציה ff נקודת מינימום (5, 2)(5,\,2). מצאו את נקודת המינימום של h(x)=f(x+3)−6h(x) = f(x + 3) - 6.

x=x = ____ , y=y = ____

Show the answer and the solution

Answer: x=x = 2 , y=y = -4

Worked solution:

x+3 ⇒ p=−3x + 3 \ \Rightarrow \ p = -3

3 שמאלה: 5−3=25 - 3 = 2

−6 ⇒ k=−6-6 \ \Rightarrow \ k = -6

6 למטה: 2−6=−42 - 6 = -4

(2, −4)(2,\,-4)

עדיין מינימום: הזזה לא משנה סוג

(2, −4)(2,\,-4). הטעות הנפוצה: x+3x + 3 נקרא כ«3 ימינה» ונותן (8, −4)(8,\,-4). הסוגריים מתאפסות ב-x=−3x = -3, ולכן שמאלה.

Check the answer on elev

Exercise 8

לפונקציה ff נקודת מקסימום (1, 4)(1,\,4). מה נכון לגבי k(x)=−f(x)k(x) = -f(x)?

  1. ל-kk נקודת מינימום (−1, −4)(-1,\,-4)
  2. ל-kk נקודת מינימום (1, −4)(1,\,-4)
  3. ל-kk נקודת מקסימום (−1, 4)(-1,\,4)
  4. ל-kk נקודת מקסימום (1, −4)(1,\,-4)
Show the answer and the solution

Answer: B ל-kk נקודת מינימום (1, −4)(1,\,-4)

Worked solution:

−f(x): (1, 4)→(1, −4)-f(x): \ (1,\,4) \to (1,\,-4)

שיקוף בציר ה-xx: yy מחליף סימן

max⁡→min⁡\max \to \min

הפסגה הפכה לבור

הנכונה: מינימום (1, −4)(1,\,-4). מינוס מחוץ לפונקציה משנה את yy ואת הסוג. (−1, 4)(-1,\,4) הייתה התשובה ל-f(−x)f(-x).

Check the answer on elev

Exercise 9

נתונה g(x)=x+16−5g(x) = \sqrt{x + 16} - 5. א. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

x+16−5=0 ⇒ x+16=5\begin{aligned}\sqrt{x + 16} - 5 &= 0 \ \Rightarrow \ \sqrt{x + 16} \\ &= 5\end{aligned}

מבודדים את השורש

x+16=25 ⇒ x=9\begin{aligned}x + 16 &= 25 \ \Rightarrow \ x \\ &= 9\end{aligned}

מעלים בחזקת 2

25−5=0\sqrt{25} - 5 = 0

בדיקה ✓

(9, 0)(9,\,0). מי שכתב x+16=5x + 16 = 5 שכח להעלות בחזקת 2. הגרף הוא x\sqrt{x} אחרי 16 שמאלה ו-5 למטה, ולכן הוא מתחיל מתחת לציר וחוצה אותו.

Check the answer on elev

Exercise 10

נתונה g(x)=x+16−5g(x) = \sqrt{x + 16} - 5. ב. מצאו את שיעור ה-yy של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yy.

Show the answer and the solution

Answer: -1

Worked solution:

g(0)=16−5g(0) = \sqrt{16} - 5

מציבים x=0x = 0

4−5=−14 - 5 = -1

16=4\sqrt{16} = 4, לא ±4\pm 4

(0, −1)(0,\,-1). חיתוך עם ציר ה-yy הוא תמיד הצבה של x=0x = 0, בלי משוואה. ו-00 בתחום: 0≥−160 \geq -16.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade