Stretch, compression and absolute value · Power and root functions, transformations · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

הזזות ושיקופים לא משנים את צורת הגרף. עכשיו נשנה אותה: נכפול את הפונקציה במספר, ונשים אותה בתוך ערך מוחלט. גם כאן, קודם לוחצים ורואים, ורק אחר כך קוראים את הכלל.

מתיחה וכיווץ: a·f(x)

x², 2x² ו-½x²

x²
2x²
½x²

המקווקו:

y = x^2

. הצר:

y = 2x^2

— כל גובה הוכפל,

(2,\,4)

הפכה ל-

(2,\,8)

. הרחב:

y = \frac{1}{2}x^2

— כל גובה חולק ב-2,

(2,\,4)

הפכה ל-

(2,\,2)

. הקודקוד

(0,\,0)

לא זז: פעמיים אפס הוא אפס.

a > 1

מתיחה אנכית: כל $y$ מוכפל ב- $a$ , הגרף נעשה צר וגבוה

0 < a < 1

כיווץ אנכי: כל $y$ מוכפל ב- $a$ , הגרף נצמד לציר ה- $x$

a < 0

כפל ב- $|a|$ וגם שיקוף בציר ה- $x$ : $-2f(x)$ הוא $2f(x)$ הפוך

(a_0,\,0) \to (a_0,\,0)

נקודה על ציר ה- $x$ לא זזה: כפל של אפס נשאר אפס

נתונה $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = 3\sqrt{x}$ . חשבו את $g(4)$ . לאיזו נקודה עברה הנקודה $(4,\,2)$ ?

Show the answer and the solution

$g(4) = 3 \cdot \sqrt{4} = 6$ . הנקודה $(4,\,2)$ עברה ל- $(4,\,6)$ : אותו $x$ , ה- $y$ פי 3. ונקודת ההתחלה $(0,\,0)$ נשארה במקומה.

נקודת קיצון תחת a·f(x)

אם $(x_1,\,y_1)$ נקודת קיצון של $f$ , אז $(x_1,\,a \cdot y_1)$ נקודת קיצון של $a \cdot f(x)$ : ה- $x$ נשאר, ה- $y$ מוכפל. כש- $a > 0$ הסוג נשמר; כש- $a < 0$ מינימום הופך למקסימום ולהפך.

קיצון של פונקציה מתוחה

לפונקציה $f$ נקודת מינימום $(2,\,-3)$ . מצאו את נקודת הקיצון של $g(x) = 2f(x)$ ושל $h(x) = -\frac{1}{2}f(x)$ , וקבעו את סוגה.

g: \ (2,\,2 \cdot (-3)) = (2,\,-6)

מתיחה פי 2. עדיין מינימום

h: \ \left(2,\,-\tfrac{1}{2} \cdot (-3)\right) = (2,\,1.5)

כיווץ פי 2 ושיקוף. הופך למקסימום

ערך מוחלט: |f(x)|

ערך מוחלט הופך כל מספר שלילי לחיובי ומשאיר חיובי כמו שהוא. על הגרף: כל מה שהיה מתחת לציר ה- $x$ מתקפל למעלה, כמו שיקוף בציר ה- $x$ של החלק הזה בלבד. מה שהיה מעל הציר לא זז.

g(x) = x² − 4 ו-h(x) = |x² − 4|

x²−4
|x²−4|

המקווקו:

g(x) = x^2 - 4

, עם מינימום

(0,\,-4)

. המלא:

h(x) = |x^2 - 4|

. החלק שהיה מתחת לציר ה-

x

התקפל למעלה, והמינימום

(0,\,-4)

הפך למקסימום

(0,\,4)

. החלק שהיה מעל הציר נשאר במקומו. נקודות האפס

(\pm 2,\,0)

לא זזו.

$h(x) = |x^2 - 4|$ . חשבו את $h(1)$ ואת $h(3)$ .

Show the answer and the solution

$h(1) = |1 - 4| = |-3| = 3$ : הנקודה $(1,\,-3)$ של $g$ התקפלה ל- $(1,\,3)$ . $h(3) = |9 - 4| = 5$ : כאן $g$ כבר חיובית, ולא השתנה כלום.

כמה פתרונות יש למשוואה |g(x)| = k

במקום לפתור, מציירים ישר אופקי $y = k$ וסופרים כמה פעמים הוא חותך את הגרף של $|g|$ . התשובה תלויה בגובה $k$ ביחס לפסגה שנוצרה מהקיפול.

כמה פעמים הישר y = k חותך את h(x) = |x² − 4|

y = 2

חותך 4 פעמים: פעמיים בכל «V».

y = 4

עובר בדיוק דרך הפסגה

(0,\,4)

וחותך 3 פעמים.

y = 6

גבוה מהפסגה וחותך 2 פעמים בלבד, בזרועות החיצוניות.

k < 0

0 פתרונות: ערך מוחלט אינו שלילי

k = 0

2 פתרונות: נקודות האפס $x = \pm 2$

0 < k < 4

4 פתרונות: הישר חותך את שתי ה-«V»

k = 4

3 פתרונות: הישר נוגע בפסגה $(0,\,4)$

k > 4

2 פתרונות: רק הזרועות החיצוניות

כמה פתרונות יש למשוואה $|x^2 - 4| = 4$ ?

Show the answer and the solution

3. הישר $y = 4$ עובר בדיוק דרך הפסגה $(0,\,4)$ . באלגברה: $x^2 - 4 = 4$ נותן $x = \pm\sqrt{8}$ , ו- $x^2 - 4 = -4$ נותן $x = 0$ . שלושה פתרונות.

לקרוא קיצון מהגרף — ולהזיז אותו

הגרף של f

קיצון של h(x) = f(x − 2) ושל k(x) = −f(x) + 3

בגרף שלמעלה, לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(1,\,5)$ ונקודת מינימום $(3,\,1)$ . מצאו את נקודות הקיצון של $h(x) = f(x - 2)$ ושל $k(x) = -f(x) + 3$ .

\begin{aligned}h: \ (1 + 2,\,5) &= (3,\,5) \quad (3 + 2,\,1) \\ &= (5,\,1)\end{aligned}

2 ימינה. מקסימום $(3,\,5)$ , מינימום $(5,\,1)$

-f: \ (1,\,-5) \quad (3,\,-1)

שיקוף בציר ה- $x$ : הסוגים מתהפכים

\begin{aligned}k: \ (1,\,-5 + 3) &= (1,\,-2) \quad (3,\,-1 + 3) \\ &= (3,\,2)\end{aligned}

3 למעלה. מינימום $(1,\,-2)$ , מקסימום $(3,\,2)$

כשיש כמה פעולות, עושים אותן בסדר החישוב: קודם מה שבתוך הסוגריים, אחר כך הכפל, ובסוף החיבור. $-f(x) + 3$ : קודם השיקוף ( $y \to -y$ ), ורק אז $+3$ . הפוך יוצא שגוי.

שלוש הטעויות של המתיחה והערך המוחלט.

\tfrac{1}{2}f(x): \ \text{מתיחה}

\tfrac{1}{2}f(x): \ \text{כיווץ}

כפל במספר קטן מ-1 מקטין כל $y$ . הגרף נצמד לציר ה- $x$ , לא מתרחק ממנו.

|x^2 - 4| = x^2 + 4

|x^2 - 4| = \begin{cases} x^2 - 4 & x^2 \geq 4 \\ 4 - x^2 & x^2 < 4 \end{cases}

ערך מוחלט אינו «מחליף מינוס בפלוס». הוא הופך את הסימן רק במקום שבו הביטוי שלילי.

-f(x) + 3: \ (1,\,5) \to (1,\,-8)

(1,\,5) \to (1,\,-5) \to (1,\,-2)

קודם השיקוף, ואז ההזזה. מי שעשה $5 + 3 = 8$ ואז שיקף, הפך את הסדר.

Exercises

Exercise 1

איך מתקבל הגרף של $y = 3x^2$ מהגרף של $y = x^2$ ?

הזזה של 3 ימינה
הזזה של 3 למעלה
כיווץ אנכי: הפרבולה נעשית רחבה
מתיחה אנכית פי 3: הפרבולה נעשית צרה

Show the answer and the solution

Answer: D מתיחה אנכית פי 3: הפרבולה נעשית צרה

Worked solution:

(1,\,1) \to (1,\,3) ,\quad (2,\,4) \to (2,\,12)

כל $y$ מוכפל ב-3

(0,\,0) \to (0,\,0)

הקודקוד לא זז

הנכונה: מתיחה פי 3. כפל מחוץ לפונקציה פועל על $y$ , לא מזיז. הפרבולה נראית צרה יותר כי היא מטפסת מהר יותר.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x) = \sqrt{x}$ ו- $g(x) = \frac{1}{2}f(x)$ . חשבו את $g(16)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 2

Worked solution:

\begin{aligned}f(16) &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

הערך של הפונקציה המקורית

\begin{aligned}g(16) &= \tfrac{1}{2} \cdot 4 \\ &= 2\end{aligned}

כיווץ פי 2

הנקודה $(16,\,4)$ של $\sqrt{x}$ ירדה ל- $(16,\,2)$ . כיווץ: אותו $x$ , חצי מה- $y$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(-1,\,6)$ . מצאו את נקודת המקסימום של $g(x) = 2f(x)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ -1 , $y =$ 12

Worked solution:

(-1,\,2 \cdot 6) = (-1,\,12)

ה- $x$ נשאר, ה- $y$ מוכפל

a = 2 > 0

הסוג נשמר: מקסימום

$(-1,\,12)$ . מתיחה לא מזיזה שום דבר לצדדים: ה- $x$ של הקיצון נשאר $-1$ . מי שכפל גם את ה- $x$ קיבל $(-2,\,12)$ , וזה שגוי.

Check the answer on elev

Exercise 4

לפונקציה $f$ נקודת מינימום $(4,\,-2)$ . מה נכון לגבי $g(x) = -3f(x)$ ?

ל- $g$ נקודת מינימום $(4,\,-6)$
ל- $g$ נקודת מקסימום $(4,\,6)$
ל- $g$ נקודת מינימום $(4,\,6)$
ל- $g$ נקודת מקסימום $(-12,\,-2)$

Show the answer and the solution

Answer: B ל- $g$ נקודת מקסימום $(4,\,6)$

Worked solution:

(4,\,-3 \cdot (-2)) = (4,\,6)

ה- $y$ מוכפל ב- $-3$

a = -3 < 0 \ \Rightarrow \ \min \to \max

מקדם שלילי הופך את הסוג

הנכונה: מקסימום $(4,\,6)$ . $-3$ עושה שני דברים: מותח פי 3 ומשקף בציר ה- $x$ . השיקוף הוא שהופך את המינימום למקסימום.

Check the answer on elev

Exercise 5

נתונה $h(x) = |x^2 - 9|$ . חשבו את $h(2)$ .

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

2^2 - 9 = -5

הביטוי בתוך הערך המוחלט שלילי

|-5| = 5

הערך המוחלט הופך אותו

$h(2) = 5$ . הנקודה $(2,\,-5)$ של $x^2 - 9$ התקפלה ל- $(2,\,5)$ . מי שקיבל $-5$ שכח את הערך המוחלט; מי שקיבל $13$ חישב $4 + 9$ .

Check the answer on elev

Exercise 6

h(x) = |x² − 9|

נתונה $h(x) = |x^2 - 9|$ (הגרף למטה). א. כמה פתרונות יש למשוואה $h(x) = 9$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

y = 9

ישר אופקי בגובה הפסגה $(0,\,9)$

\begin{aligned}x^2 - 9 &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\sqrt{18}\end{aligned}

שני פתרונות בזרועות

\begin{aligned}x^2 - 9 &= -9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

ועוד אחד בפסגה

3 פתרונות. הישר $y = 9$ נוגע בדיוק בפסגה. גובה הפסגה הוא $|{-9}|$ : הערך המוחלט של המינימום של $x^2 - 9$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

h(x) = |x² − 9|

נתונה $h(x) = |x^2 - 9|$ (הגרף למטה). ב. כמה פתרונות יש למשוואה $h(x) = 5$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 4

Worked solution:

0 < 5 < 9

הישר $y = 5$ נמוך מהפסגה

\begin{aligned}x^2 - 9 &= 5 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm\sqrt{14}\end{aligned}

שניים בזרועות החיצוניות

\begin{aligned}x^2 - 9 &= -5 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pm 2\end{aligned}

שניים בחלק המקופל

4 פתרונות. כל $k$ בין $0$ ל- $9$ נותן ארבעה: הישר חותך את שתי ה-«V». מעל $9$ נשארים שניים, וב- $k = 9$ בדיוק שלושה.

Check the answer on elev

Exercise 8

הפונקציה $h(x) = |x^2 - 9|$ היא זוגית.

Show the answer and the solution

Answer: True

Worked solution:

\begin{aligned}h(-x) &= |(-x)^2 - 9| \\ &= |x^2 - 9| \\ &= h(x)\end{aligned}

מציבים $-x$

\begin{aligned}h(2) &= h(-2) \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה בנקודה

נכון. $x^2 - 9$ זוגית, והערך המוחלט שומר על הסימטריה לציר ה- $y$ : הוא מקפל את שני הצדדים באותו אופן.

Check the answer on elev

Exercise 9

הגרף של f

בגרף שלמטה, לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(-1,\,2)$ ונקודת מינימום $(1,\,-2)$ . מצאו את נקודת המקסימום של $h(x) = f(x - 3)$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 2 , $y =$ 2

Worked solution:

x - 3 \ \Rightarrow \ p = 3

3 ימינה

(-1 + 3,\,2) = (2,\,2)

ה- $y$ לא משתנה

מקסימום $(2,\,2)$ , ומינימום $(4,\,-2)$ . הזזה אופקית לא נוגעת ב- $y$ ולא בסוג הקיצון.

Check the answer on elev

Exercise 10

הגרף של f

בגרף שלמטה, לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(-1,\,2)$ ונקודת מינימום $(1,\,-2)$ . מצאו את נקודת המקסימום של $k(x) = -f(x) + 1$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 1 , $y =$ 3

Worked solution:

-f: \ (-1,\,-2) ,\ (1,\,2)

שיקוף בציר ה- $x$ : הסוגים מתהפכים

+1: \ (-1,\,-1) ,\ (1,\,3)

1 למעלה

\max = (1,\,3)

המינימום הישן הוא המקסימום החדש

מקסימום $(1,\,3)$ . המינימום $(1,\,-2)$ של $f$ התהפך ל- $(1,\,2)$ ועלה ל- $(1,\,3)$ . מי שענה $(-1,\,3)$ הזיז את המקסימום הישן במקום להפוך אותו.

Check the answer on elev

מתיחה וכיווץ: a·f(x)

נקודת קיצון תחת a·f(x)

ערך מוחלט: |f(x)|

כמה פתרונות יש למשוואה |g(x)| = k

לקרוא קיצון מהגרף — ולהזיז אותו

Exercises

Keep practising on elev