Solving together · Power and root functions, transformations · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: פונקציית שורש מוזזת, זוגיות, ערך מוחלט ומספר פתרונות, קיצון של פונקציה מוזזת מגרף, ותחום הגדרה עם שני תנאים. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פונקציית שורש מוזזת: תחום, התחלה, חיתוכים

Interactive activity

נתונה $f(x) = \sqrt{x + 4} - 2$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. מצאו את נקודת ההתחלה של הגרף. ג. תארו איך מתקבל הגרף מהגרף של $y = \sqrt{x}$ . ד. מצאו את נקודות החיתוך עם הצירים.

f(x) = \sqrt{x + 4} - 2

לחצו «להתחיל». התחום הוא הצעד הראשון, ונקודת ההתחלה יוצאת ממנו.

x + 4 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -4

א. תחום ההגדרה.

א. תחום

\begin{aligned}f(-4) &= \sqrt{0} - 2 \\ &= -2\end{aligned}

ב. נקודת ההתחלה $(-4,\,-2)$ : הקצה של התחום.

ב. התחלה

\sqrt{x} \ \to \ \sqrt{x + 4} \ \to \ \sqrt{x + 4} - 2

ג. 4 שמאלה ( $p = -4$ ), ואז 2 למטה ( $k = -2$ ).

ג. תיאור

\begin{aligned}f(0) &= \sqrt{4} - 2 \\ &= 0\end{aligned}

ד. חיתוך עם ציר ה- $y$ : $(0,\,0)$ — הראשית.

ד. ציר y

\begin{aligned}\sqrt{x + 4} &= 2 \ \Rightarrow \ x + 4 \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

ד. חיתוך עם ציר ה- $x$ : אותה נקודה $(0,\,0)$ . בדיקה: $0 \geq -4$ ✓

ד. ציר x

הגרף חוצה את שני הצירים באותה נקודה, הראשית. זה קורה כשההזזה השמאלית והתחתונה «מתאזנות»: $\sqrt{4} = 2$ .

Do the activity on elev

האם הגרף של $f$ עובר בנקודה $(5,\,1)$ ?

Show the answer and the solution

כן. $f(5) = \sqrt{9} - 2 = 1$ . ו- $5$ בתחום. בדיקת נקודה היא תמיד הצבה, לא משוואה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — זוגיות באלגברה ועל הגרף

Interactive activity

זוגיות של $f(x) = x^4 - 2x^2$

נתונה $f(x) = x^4 - 2x^2$ . א. קבעו אם $f$ זוגית, אי-זוגית או לא זו ולא זו. ב. ידוע ש- $f(2) = 8$ . מצאו את $f(-2)$ בלי לחשב. ג. הנקודה $(1,\,-1)$ נמצאת על הגרף. איזו נקודה נוספת נמצאת עליו בוודאות?

זוגית; $f(-2) = 8$ ; $(-1,\,-1)$

אי-זוגית; $f(-2) = -8$ ; $(-1,\,1)$

זוגית; $f(-2) = -8$ ; $(-1,\,1)$

לא זו ולא זו; אי אפשר לדעת

מה הצעד הראשון בבדיקת זוגיות?

מציבים $-x$ במקום $x$ ומפשטים

Show the answer and the solution

זו ההגדרה: משווים את $f(-x)$ ל- $f(x)$ .

בודקים אם $f(0) = 0$

Show the answer and the solution

זה מספר על הראשית, לא על הסימטריה.

\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 2(-x)^2 \\ &= x^4 - 2x^2\end{aligned}

מעריכים זוגיים מוחקים את המינוס

מה קיבלנו?

$f(-x) = f(x)$ : זוגית

Show the answer and the solution

הביטוי חזר לעצמו בדיוק.

$f(-x) = -f(x)$ : אי-זוגית

Show the answer and the solution

$-f(x) = -x^4 + 2x^2$ , וזה לא מה שקיבלנו.

f(-x) = f(x) \ \Rightarrow \ \text{זוגית}

א. סימטרית לציר ה- $y$

אז מהו $f(-2)$ ?

$f(-2) = f(2) = 8$

Show the answer and the solution

זוגית: אותו גובה בשני הצדדים.

$f(-2) = -8$

Show the answer and the solution

זה היה נכון לפונקציה אי-זוגית.

f(-2) = 8

ב. בלי חישוב

$(1,\,-1)$ על הגרף. איזו נקודה עוד?

$(-1,\,-1)$

Show the answer and the solution

משנים את הסימן של $x$ בלבד.

$(-1,\,1)$

Show the answer and the solution

זו סימטריה לראשית, של פונקציה אי-זוגית.

(1,\,-1) \to (-1,\,-1)

ג. קיפול על ציר ה- $y$

Show the answer and the solution

זוגית; $f(-2) = 8$ ; $(-1,\,-1)$ . בבחינה כותבים את ההצבה $f(-x)$ במלואה ואת המסקנה במילים. הסעיפים ב ו-ג הם אותה תכונה, פעם במספר ופעם בנקודה.

Do the activity on elev

אם היו משנים את הפונקציה ל- $f(x) = x^4 - 2x$ , מה היה משתנה?

Show the answer and the solution

$f(-x) = x^4 + 2x$ : לא שווה ל- $f(x)$ ולא ל- $-f(x) = -x^4 + 2x$ . הפונקציה לא זוגית ולא אי-זוגית, ומ- $f(2)$ אי אפשר לדעת כלום על $f(-2)$ . מעריך אי-זוגי אחד מספיק.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרבולה, ערך מוחלט ומספר הפתרונות

Interactive activity

נתונה $g(x) = (x - 2)^2 - 9$ . א. מצאו את קודקוד הפרבולה ואת נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ . ב. נתונה $h(x) = |g(x)|$ . מצאו את נקודות הקיצון של $h$ . ג. לאילו ערכי $k$ יש למשוואה $h(x) = k$ בדיוק 3 פתרונות? ולאילו 4?

\begin{aligned}g(x) &= (x - 2)^2 - 9 \\ \quad h(x) &= |g(x)|\end{aligned}

לחצו «להתחיל». קודם הפרבולה, אחר כך הקיפול, ובסוף הישר האופקי.

(2,\,-9)

א. הקודקוד: $x^2$ אחרי 2 ימינה ו-9 למטה. מינימום.

א. קודקוד

\begin{aligned}(x - 2)^2 &= 9 \ \Rightarrow \ x - 2 \\ &= \pm 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= -1\end{aligned}

א. חיתוך עם ציר ה- $x$ : $(-1,\,0)$ ו- $(5,\,0)$ .

א. אפסים

h: \ (2,\,-9) \to (2,\,9)

ב. החלק שמתחת לציר מתקפל: המינימום הופך למקסימום $(2,\,9)$ .

ב. מקסימום

\min: \ (-1,\,0) ,\ (5,\,0)

ב. בנקודות האפס הגרף «נשבר»: שני מינימום בגובה $0$ .

ב. מינימום

k = 9 \ \Rightarrow \ 3 \ \text{פתרונות}

ג. הישר $y = 9$ נוגע בפסגה ובשתי הזרועות.

ג. שלושה

0 < k < 9 \ \Rightarrow \ 4 \ \text{פתרונות}

ג. הישר עובר מתחת לפסגה וחותך את שתי ה-«V».

ג. ארבעה

הגובה שמפריד בין 4 פתרונות ל-2 הוא הערך המוחלט של המינימום: $|-9| = 9$ . זה המספר שכל שאלה כזאת שואלת עליו, גם כשלא מנוסחת כך.

Do the activity on elev

כמה פתרונות יש ל- $h(x) = 0$ ? ול- $h(x) = -1$ ?

Show the answer and the solution

$h(x) = 0$ : 2 פתרונות, $x = -1$ ו- $x = 5$ , נקודות האפס. $h(x) = -1$ : 0 פתרונות, ערך מוחלט לעולם אינו שלילי.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — קיצון מהגרף, אחרי שתי טרנספורמציות

הגרף של f

Interactive activity

$h(x) = f(x - 2)$ ו- $k(x) = -f(x) + 3$

בגרף שלמעלה, לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(-1,\,2)$ ונקודת מינימום $(1,\,-2)$ . א. מצאו את נקודות הקיצון של $h(x) = f(x - 2)$ . ב. מצאו את נקודות הקיצון של $k(x) = -f(x) + 3$ וקבעו את סוגן.

$h$ : מקס' $(1,\,2)$ , מינ' $(3,\,-2)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,1)$ , מקס' $(1,\,5)$

$h$ : מקס' $(-3,\,2)$ , מינ' $(-1,\,-2)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,1)$ , מקס' $(1,\,5)$

$h$ : מקס' $(1,\,2)$ , מינ' $(3,\,-2)$ ; $k$ : מקס' $(-1,\,5)$ , מינ' $(1,\,1)$

$h$ : מקס' $(-1,\,4)$ , מינ' $(1,\,0)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,-1)$ , מקס' $(1,\,-5)$

$f(x - 2)$ : לאן זז הגרף?

2 ימינה

Show the answer and the solution

מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה: $p = 2$ .

2 שמאלה

Show the answer and the solution

$x - 2$ הוא $p = 2 > 0$ , ימינה. הכיוון ההפוך מהמצופה.

\begin{aligned}h: \ (-1 + 2,\,2) &= (1,\,2) \\ \quad (1 + 2,\,-2) &= (3,\,-2)\end{aligned}

א. מקסימום $(1,\,2)$ , מינימום $(3,\,-2)$

$-f(x) + 3$ : מה עושים קודם?

קודם השיקוף $-f$ , ואז $+3$

Show the answer and the solution

סדר החישוב: כפל לפני חיבור.

קודם $+3$ , ואז השיקוף

Show the answer and the solution

$-f(x) + 3$ אינו $-(f(x) + 3)$ . הסדר משנה את התוצאה.

-f: \ (-1,\,-2) ,\ (1,\,2)

שיקוף בציר ה- $x$ : הסוגים מתהפכים

ועכשיו $+3$ :

$(-1,\,1)$ מינימום, $(1,\,5)$ מקסימום

Show the answer and the solution

3 למעלה לכל נקודה, הסוג כבר נקבע בשיקוף.

$(-1,\,5)$ מקסימום, $(1,\,1)$ מינימום

Show the answer and the solution

זה $f(x) + 3$ בלי השיקוף. שכחתם את המינוס.

k: \ (-1,\,1) \ \min ,\quad (1,\,5) \ \max

ב. המינימום הישן הפך למקסימום החדש

Show the answer and the solution

$h$ : מקס' $(1,\,2)$ , מינ' $(3,\,-2)$ ; $k$ : מינ' $(-1,\,1)$ , מקס' $(1,\,5)$ . שתי טעויות מחכות כאן: כיוון ההזזה האופקית, וסדר הפעולות בשיקוף עם הזזה.

Do the activity on elev

מהי נקודת המינימום של $m(x) = f(-x)$ ?

Show the answer and the solution

$(-1,\,-2)$ . שיקוף בציר ה- $y$ הופך את הסימן של $x$ בלבד ושומר על הסוג: המינימום $(1,\,-2)$ עובר ל- $(-1,\,-2)$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — תחום הגדרה עם שני תנאים

Interactive activity

נתונה $f(x) = \dfrac{\sqrt{2x - 6}}{x - 5}$ . א. מצאו את תחום ההגדרה. ב. האם הנקודות שבהן $x = 3$ ו- $x = 5$ נמצאות על הגרף? אם כן, מצאו אותן.

f(x) = \frac{\sqrt{2x - 6}}{x - 5}

לחצו «להתחיל». שני תנאים, ושניהם חייבים להתקיים.

2x - 6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 3

תנאי השורש. השורש במונה, ולכן אפס מותר.

שורש

x - 5 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 5

תנאי המכנה.

מכנה

x \geq 3 \ \text{וגם} \ x \neq 5

א. התחום: החיתוך של שני התנאים.

א. תחום

\begin{aligned}f(3) &= \frac{\sqrt{0}}{-2} \\ &= 0\end{aligned}

ב. $x = 3$ בתחום: הנקודה $(3,\,0)$ , נקודת ההתחלה של הגרף.

ב. x = 3

x = 5 \ \notin \ D

ב. $x = 5$ מחוץ לתחום: המכנה מתאפס, אין נקודה כזאת על הגרף.

ב. x = 5

הנקודה $5$ נמצאת בתוך הקטע $x \geq 3$ , ולכן חייבים להוציא אותה במפורש. תחום שכותב רק $x \geq 3$ הוא תשובה חלקית.

Do the activity on elev

מה היה משתנה אם השורש היה במכנה: $f(x) = \dfrac{x - 5}{\sqrt{2x - 6}}$ ?

Show the answer and the solution

תנאי השורש הופך לאי-שוויון חזק, $2x - 6 > 0$ , כלומר $x > 3$ . ו- $x = 5$ מותר: $f(5) = 0$ . התחום: $x > 3$ .

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתונה $g(x) = \sqrt{x - 1} - 3$ . מצאו את נקודת ההתחלה של הגרף ואת שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ .

התחלה: $x =$ ____ , $y =$ ____ ; חיתוך עם ציר $x$ : $x =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: התחלה: $x =$ 1 , $y =$ -3 ; חיתוך עם ציר $x$ : $x =$ 10

Worked solution:

x - 1 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 1

תחום ההגדרה

\begin{aligned}g(1) &= 0 - 3 \\ &= -3\end{aligned}

נקודת ההתחלה $(1,\,-3)$ : 1 ימינה, 3 למטה

\begin{aligned}\sqrt{x - 1} &= 3 \ \Rightarrow \ x - 1 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ . בדיקה: $\sqrt{9} - 3 = 0$ ✓

הגרף מתחיל מתחת לציר ב- $(1,\,-3)$ , עולה, וחוצה את ציר ה- $x$ ב- $(10,\,0)$ . מי שכתב $x - 1 = 3$ שכח להעלות בחזקת 2.

Check the answer on elev

Exercise 2

נתונה $f(x) = x^4 - 5x^2$ , ונתון ש- $f(3) = 36$ . מצאו את $f(-3)$ בעזרת הזוגיות של $f$ .

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

\begin{aligned}f(-x) &= (-x)^4 - 5(-x)^2 \\ &= x^4 - 5x^2 \\ &= f(x)\end{aligned}

כל המעריכים זוגיים: $f$ זוגית

\begin{aligned}f(-3) &= f(3) \\ &= 36\end{aligned}

אותו גובה בשני הצדדים

$f(-3) = 36$ . פונקציה זוגית «לא מבחינה» בין $3$ ל- $-3$ . בדיקה ישירה: $81 - 45 = 36$ ✓

Check the answer on elev

Exercise 3

נתונה $g(x) = x^2 - 1$ ו- $h(x) = |g(x)|$ . השלימו.

ל- $h(x) = k$ יש בדיוק 3 פתרונות כאשר $k =$ ____ ; מספר הפתרונות של $h(x) = 0.5$ : ____

Show the answer and the solution

Answer: ל- $h(x) = k$ יש בדיוק 3 פתרונות כאשר $k =$ 1 ; מספר הפתרונות של $h(x) = 0.5$ : 4

Worked solution:

g: \ \min (0,\,-1)

מינימום הפרבולה

h: \ \max (0,\,1)

הקיפול הופך אותו לפסגה בגובה $|-1| = 1$

\begin{aligned}k &= 1 \ \Rightarrow \ 3 \\ \quad 0 < 0.5 < 1 \ \Rightarrow \ 4\end{aligned}

בגובה הפסגה: 3. מתחתיה: 4

שלושה פתרונות בדיוק בגובה הפסגה, $k = 1$ . כל $k$ בין $0$ ל- $1$ נותן ארבעה: $x^2 - 1 = \pm 0.5$ , שתי משוואות עם שני פתרונות כל אחת.

Check the answer on elev

Exercise 4

לפונקציה $f$ נקודת מקסימום $(2,\,4)$ ונקודת מינימום $(5,\,-1)$ . מצאו את נקודת המקסימום של $h(x) = -f(x - 1) + 2$ .

$x =$ ____ , $y =$ ____

Show the answer and the solution

Answer: $x =$ 6 , $y =$ 3

Worked solution:

f(x - 1): \ (3,\,4) ,\ (6,\,-1)

1 ימינה

-f(x - 1): \ (3,\,-4) ,\ (6,\,1)

שיקוף בציר ה- $x$ : הסוגים מתהפכים

+2: \ (3,\,-2) \ \min ,\quad (6,\,3) \ \max

2 למעלה

מקסימום $(6,\,3)$ : הוא בא מהמינימום $(5,\,-1)$ של $f$ , שזז ימינה, התהפך, ועלה. הסדר: הזזה אופקית, שיקוף, הזזה אנכית.

Check the answer on elev

Exercise 5

מהו תחום ההגדרה של $f(x) = \dfrac{\sqrt{3x - 12}}{x - 7}$ ?

$x \geq 4$ וגם $x \neq 7$
$x > 4$ וגם $x \neq 7$
$x \geq 4$ וגם $x \neq -7$
$x \geq 4$

Show the answer and the solution

Answer: A $x \geq 4$ וגם $x \neq 7$

Worked solution:

3x - 12 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 4

תנאי השורש: במונה, אפס מותר

x - 7 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq 7

תנאי המכנה

x \geq 4 \ \text{וגם} \ x \neq 7

החיתוך

הנכונה: $x \geq 4$ וגם $x \neq 7$ . $7$ נמצא בתוך הקטע ולכן חייבים להוציא אותו. $x > 4$ היה נכון רק אם השורש היה במכנה.

Check the answer on elev

1 — פונקציית שורש מוזזת: תחום, התחלה, חיתוכים

2 — זוגיות באלגברה ועל הגרף

3 — פרבולה, ערך מוחלט ומספר הפתרונות

4 — קיצון מהגרף, אחרי שתי טרנספורמציות

5 — תחום הגדרה עם שני תנאים

Exercises

Keep practising on elev