Solving together · Quadratic function · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

חמש שאלות בסגנון הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: חקירה מלאה, צורת הקדקוד, פרבולה וישר, השקה בעזרת הדיסקרימיננטה, ובעיית גובה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. ובכל שלב שאלו: זה השורשים, הקדקוד או הדיסקרימיננטה? בפרק הזה כל שאלה היא שרשרת של שלושת הכלים האלה.

1 — חקירה מלאה של פרבולה

Interactive activity

נתונה הפונקציה $f(x) = x^2 - 4x - 5$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף עם הצירים. ב. מצאו את הקדקוד וקבעו את סוגו. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה. ד. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות.

f(x) = x^2 - 4x - 5

לחצו «להתחיל». הסדר קבוע: צירים, קדקוד, עלייה וירידה, סימן. כל שלב משתמש בקודם.

א. ציר y

f(0) = -5 \ \Rightarrow \ (0,\,-5)

מציבים $x = 0$ : מקבלים $c$ .

א. ציר x

\begin{aligned}x^2 - 4x - 5 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 5)(x + 1) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ (5,\,0) \\ \ (-1,\,0)\end{aligned}

מציבים $y = 0$ . מכפלה $-5$ , סכום $-4$ .

ב. קדקוד

\begin{aligned}x_V &= \frac{4}{2} \\ &= 2 \\ \qquad y_V &= 4 - 8 - 5 \\ &= -9\end{aligned}

$V(2,\,-9)$ . גם אמצע השורשים: $\frac{-1 + 5}{2} = 2$ ✓

ב. סוג

a = 1 > 0 \ \Rightarrow \ \min

פתוחה כלפי מעלה: הקדקוד הוא מינימום.

ג.

x < 2 \ \searrow \qquad x > 2 \ \nearrow

יורדת עד הקדקוד, עולה אחריו. תחומים בערכי $x$ .

ד.

f(x) > 0: \ x < -1 \ \text{או} \ x > 5 \qquad f(x) < 0: \ -1 < x < 5

$a > 0$ : שלילית בין השורשים, חיובית מחוץ להם.

ארבעה סעיפים, ואף אחד לא דורש כלי חדש. הקדקוד $(2,\,-9)$ מכריע את סעיף ג, השורשים $-1$ ו- $5$ מכריעים את סעיף ד.

Do the activity on elev

לאילו ערכים של $k$ אין למשוואה $f(x) = k$ אף פתרון?

Show the answer and the solution

$k < -9$ . הפרבולה פתוחה כלפי מעלה והערך הקטן ביותר שלה הוא $-9$ . ישר אופקי מתחת לקדקוד לא פוגש אותה.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — צורת הקדקוד והערך המקסימלי

Interactive activity

כתבו את $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ בצורה $a(x - p)^2 + k$ ומצאו את הערך המקסימלי

נתונה $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ . כתבו אותה בצורה $a(x - p)^2 + k$ , ומצאו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה.

$f(x) = -(x - 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$

$f(x) = (x - 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$

$f(x) = -(x + 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$

$f(x) = -(x - 3)^2 - 4$ , מקסימום $-4$

מהו $p$ , ה- $x$ של הקדקוד?

$p = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$

Show the answer and the solution

נוסחת הקדקוד, עם $a = -1$ במכנה.

$p = \frac{-6}{2} = -3$

Show the answer and the solution

שכחתם את $a = -1$ במכנה. $\frac{-6}{-2} = 3$ .

x_V = 3

ציר הסימטריה $x = 3$

מהו $k$ , ה- $y$ של הקדקוד?

$k = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$

Show the answer and the solution

מציבים $x = 3$ . שימו לב: $-3^2 = -9$ .

$k = c = -5$

Show the answer and the solution

$c$ הוא החיתוך עם ציר ה- $y$ , לא גובה הקדקוד.

V(3,\,4)

הקדקוד

מה כותבים לפני הסוגריים?

$a = -1$ : $f(x) = -(x - 3)^2 + 4$

Show the answer and the solution

המקדם של $x^2$ לא משתנה במעבר בין הצורות.

$f(x) = (x - 3)^2 + 4$

Show the answer and the solution

בלי המינוס זו פרבולה שפתוחה כלפי מעלה, עם מינימום. פתחו סוגריים ותראו $+x^2$ .

\begin{aligned}f(x) &= -(x - 3)^2 + 4 \ \Rightarrow \ \max \\ &= 4\end{aligned}

בדיקה: $-(x^2 - 6x + 9) + 4 = -x^2 + 6x - 5$ ✓

Show the answer and the solution

$f(x) = -(x - 3)^2 + 4$ , מקסימום $4$ . $(x - 3)^2 \geq 0$ , ולכן $-(x - 3)^2 \leq 0$ , ולכן $f(x) \leq 4$ . השוויון מתקיים בדיוק ב- $x = 3$ .

Do the activity on elev

מהו ציר הסימטריה של $f$ , ומהם השורשים שלה?

Show the answer and the solution

ציר הסימטריה $x = 3$ . השורשים: $-(x - 3)^2 + 4 = 0$ , כלומר $(x - 3)^2 = 4$ , כלומר $x = 5$ ו- $x = 1$ . הם במרחק $2$ מכל צד של הציר.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרבולה וישר: חיתוך, ומי מעל מי

Interactive activity

נתונות הפונקציות $f(x) = x^2 - 2x - 3$ ו- $g(x) = -x + 3$ . א. מצאו את נקודות החיתוך של שני הגרפים. ב. מצאו את נקודת החיתוך של כל גרף עם ציר ה- $y$ . ג. לאילו ערכי $x$ מתקיים $f(x) < g(x)$ ?

\begin{aligned}f(x) &= x^2 - 2x - 3 \\ \qquad g(x) &= -x + 3\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף ג נקרא מהשרטוט: הפרבולה מתחת לישר בדיוק בין שתי נקודות החיתוך.

א. משווים

\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= -x + 3 \ \Rightarrow \ x^2 - x - 6 \\ &= 0\end{aligned}

מעבירים את הישר לאגף השני.

א. פותרים

\begin{aligned}(x - 3)(x + 2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3 \\ \ x &= -2\end{aligned}

מכפלה $-6$ , סכום $-1$ .

א. נקודות

\begin{aligned}g(3) &= 0 \\ \quad g(-2) &= 5 \ \Rightarrow \ (3,\,0) \\ \ (-2,\,5)\end{aligned}

מציבים בישר. בדיקה בפרבולה: $f(3) = 9 - 6 - 3 = 0$ ✓

ב.

\begin{aligned}f(0) &= -3 \ \Rightarrow \ (0,\,-3) \qquad g(0) \\ &= 3 \ \Rightarrow \ (0,\,3)\end{aligned}

ב- $x = 0$ הפרבולה נמוכה מהישר.

ג.

-2 < x < 3

פרבולה שפתוחה כלפי מעלה נמצאת מתחת לישר בין נקודות החיתוך. בדיקה ב- $x = 0$ : $-3 < 3$ ✓

הנקודה $(3,\,0)$ היא גם שורש של $f$ : הישר עובר בדיוק דרך החיתוך של הפרבולה עם ציר ה- $x$ .

Do the activity on elev

הנקודה $(3,\,0)$ נמצאת על ציר ה- $x$ . מה עוד היא?

Show the answer and the solution

שורש של $f$ , כי $f(3) = 0$ , וגם נקודת החיתוך של $g$ עם ציר ה- $x$ , כי $g(3) = 0$ . נקודה אחת, שלושה תפקידים: בדיוק כמו בווידג׳ט של היחידה הקודמת.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — לאיזה $k$ הישר משיק? הדיסקרימיננטה מכריעה

Interactive activity

הישר $y = -2x + k$ והפרבולה $y = x^2 + 2x + 3$

לאיזה ערך של $k$ הישר $y = -2x + k$ משיק לפרבולה $y = x^2 + 2x + 3$ ? מצאו גם את נקודת ההשקה.

$k = -1$ , נקודת ההשקה $(-2,\,3)$

$k = 1$ , נקודת ההשקה $(-2,\,3)$

$k = 3$ , נקודת ההשקה $(0,\,3)$

$k = -4$ , נקודת ההשקה $(2,\,11)$

מה הצעד הראשון?

משווים: $x^2 + 2x + 3 = -2x + k$

Show the answer and the solution

בנקודה משותפת שתי הפונקציות שוות.

מציבים $x = 0$ בשתי הפונקציות

Show the answer and the solution

זה נותן את החיתוך עם ציר ה- $y$ , לא את ההשקה.

x^2 + 4x + 3 - k = 0

מעבירים לאגף אחד. $c = 3 - k$

מה התנאי להשקה?

$\Delta = 0$ : פתרון אחד בדיוק

Show the answer and the solution

השקה היא נקודה משותפת אחת.

$\Delta < 0$

Show the answer and the solution

$\Delta < 0$ אומר שאין שום נקודה משותפת.

\begin{aligned}\Delta &= 16 - 4(3 - k) \\ &= 4 + 4k \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -1\end{aligned}

$16 - 12 + 4k$

איך מוצאים את נקודת ההשקה?

פותרים את המשוואה עם $k = -1$ : $x^2 + 4x + 4 = 0$

Show the answer and the solution

הפתרון היחיד הוא ה- $x$ של נקודת ההשקה.

לוקחים את קדקוד הפרבולה

Show the answer and the solution

הקדקוד הוא נקודת ההשקה רק של ישר אופקי. הישר כאן משופע.

\begin{aligned}(x + 2)^2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \\ \quad y &= 4 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

מציבים בישר: $-2 \cdot (-2) - 1 = 3$

Show the answer and the solution

$k = -1$ , נקודת ההשקה $(-2,\,3)$ . בדיקה בפרבולה: $4 - 4 + 3 = 3$ ✓. הטעות הנפוצה: לכתוב $\Delta = 16 - 4 \cdot 3 - k$ בלי סוגריים, ולקבל $k = 4$ .

Do the activity on elev

לאילו ערכים של $k$ הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות?

Show the answer and the solution

$k > -1$ . $\Delta = 4 + 4k > 0$ בדיוק כאשר $k > -1$ : הישר עולה מעל נקודת ההשקה וחוצה את הפרבולה פעמיים.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה.

5 — בעיית גובה: מהקדקוד ועד השאלה «כמה פעמים»

Interactive activity

אבן נזרקת כלפי מעלה מראש צוק. הגובה שלה במטרים מעל הים אחרי $t$ שניות הוא $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$ . א. מאיזה גובה נזרקה האבן? ב. מתי היא בגובה הגדול ביותר, ומהו? ג. אחרי כמה שניות היא פוגעת במים? ד. כמה פעמים האבן בגובה $40$ מטר?

h(t) = -5t^2 + 20t + 25

לחצו «להתחיל». כל סעיף הוא אחד מכלי הפרק: $c$ , הקדקוד, השורשים, ו- $f(x) = k$ .

א.

h(0) = 25

בזמן $t = 0$ : הגובה ההתחלתי הוא $c$ , $25$ מטר.

ב. זמן

\begin{aligned}t_V &= \frac{-20}{2 \cdot (-5)} \\ &= 2\end{aligned}

$a = -5 < 0$ , הקדקוד הוא מקסימום.

ב. גובה

\begin{aligned}h(2) &= -20 + 40 + 25 \\ &= 45\end{aligned}

הגובה הגדול ביותר, $45$ מטר, אחרי $2$ שניות.

ג.

\begin{aligned}-5t^2 + 20t + 25 &= 0 \ \Rightarrow \ t^2 - 4t - 5 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 5 \\ \ t &= -1\end{aligned}

מחלקים ב- $-5$ . הזמן חיובי: $t = 5$ שניות. $t = -1$ נפסל.

ד.

\begin{aligned}-5t^2 + 20t + 25 &= 40 \ \Rightarrow \ t^2 - 4t + 3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 1 \\ \ t &= 3\end{aligned}

פעמיים: בעלייה ובירידה. $40 < 45$ , ולכן הישר $h = 40$ מתחת לקדקוד.

סעיף ד הוא בדיוק «כמה פתרונות יש ל- $f(x) = k$ »: הגובה $40$ נמוך מהמקסימום $45$ , ולכן שתי פעמים, סימטריות סביב $t = 2$ .

Do the activity on elev

כמה פעמים האבן בגובה $45$ מטר? ובגובה $50$ ?

Show the answer and the solution

בגובה $45$ פעם אחת, בקדקוד ( $t = 2$ ). בגובה $50$ אף פעם: המקסימום הוא $45$ . שלושת המקרים של $f(x) = k$ , בלי לפתור שום משוואה.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

Exercises

Exercise 1

נתונה $f(x) = x^2 - 2x - 8$ . מצאו את השורשים ואת הקדקוד.

שורשים: $x_1 =$ ____ (הקטן), $x_2 =$ ____ ; קדקוד: $($ ____ $,$ ____ $)$

Show the answer and the solution

Answer: שורשים: $x_1 =$ -2 (הקטן), $x_2 =$ 4 ; קדקוד: $($ 1 $,$ -9 $)$

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 - 2x - 8 &= 0 \ \Rightarrow \ (x - 4)(x + 2) \\ &= 0\end{aligned}

השורשים $-2$ ו- $4$

\begin{aligned}x_V &= \frac{-2 + 4}{2} \\ &= 1\end{aligned}

אמצע השורשים, או $\frac{2}{2}$

\begin{aligned}y_V &= 1 - 2 - 8 \\ &= -9\end{aligned}

מציבים

הקדקוד $(1,\,-9)$ הוא מינימום. תחום הירידה $x < 1$ , תחום השליליות $-2 < x < 4$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

כתבו את $f(x) = x^2 + 6x + 4$ בצורה $a(x - p)^2 + k$ .

$f(x) = (x + 3)^2 + 13$
$f(x) = (x + 3)^2 - 5$
$f(x) = (x + 3)^2 + 4$
$f(x) = (x - 3)^2 - 5$

Show the answer and the solution

Answer: B $f(x) = (x + 3)^2 - 5$

Worked solution:

\begin{aligned}x_V &= \frac{-6}{2} \\ &= -3 \\ \qquad y_V &= 9 - 18 + 4 \\ &= -5\end{aligned}

הקדקוד $(-3,\,-5)$

f(x) = (x + 3)^2 - 5

$p = -3$ נותן $x + 3$ בסוגריים

x^2 + 6x + 9 - 5 = x^2 + 6x + 4 \ \checkmark

בדיקה

הנכונה: $(x + 3)^2 - 5$ . $(x - 3)^2$ שם את הקדקוד ב- $x = 3$ ; $+4$ מעתיק את $c$ ; $+13$ מוסיף $9$ במקום לגרוע.

Check the answer on elev

Exercise 3

בשרטוט הפרבולה $f(x) = x^2 - 3x - 4$ והישר $g(x) = x + 1$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך $B$ , שה- $x$ שלה גדול יותר.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 - 3x - 4 &= x + 1 \ \Rightarrow \ x^2 - 4x - 5 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

\begin{aligned}(x - 5)(x + 1) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5 \\ \ x &= -1\end{aligned}

השורשים

B(5,\,6)

מציבים בישר: $5 + 1 = 6$

$A(-1,\,0)$ היא גם שורש של הפרבולה: $1 + 3 - 4 = 0$ . השאלה ביקשה את $B$ .

Check the answer on elev

Exercise 4

לאיזה ערך של $k$ הישר $y = 2x + k$ משיק לפרבולה $y = x^2 - 2x + 5$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 1

Worked solution:

\begin{aligned}x^2 - 2x + 5 &= 2x + k \ \Rightarrow \ x^2 - 4x + 5 - k \\ &= 0\end{aligned}

משווים ומעבירים

\begin{aligned}\Delta &= 16 - 4(5 - k) \\ &= 4k - 4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= 1\end{aligned}

השקה: $\Delta = 0$

x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \ \Rightarrow \ (2,\,5)

בדיקה: נקודת ההשקה

הסוגריים סביב $5 - k$ הם כל השאלה: $-4(5 - k) = -20 + 4k$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

כדור נזרק כלפי מעלה מגג בניין. הגובה שלו במטרים אחרי $t$ שניות הוא $h(t) = -5t^2 + 30t + 35$ . מהו הגובה הגדול ביותר שאליו מגיע הכדור (במטרים)?

Show the answer and the solution

Answer: 80

Worked solution:

\begin{aligned}t_V &= \frac{-30}{2 \cdot (-5)} \\ &= 3\end{aligned}

הזמן של הקדקוד

\begin{aligned}h(3) &= -45 + 90 + 35 \\ &= 80\end{aligned}

הגובה הגדול ביותר

$35$ הוא גובה הגג, לא הגובה המקסימלי: הכדור עולה $45$ מטר מעליו.

Check the answer on elev

1 — חקירה מלאה של פרבולה

2 — צורת הקדקוד והערך המקסימלי

3 — פרבולה וישר: חיתוך, ומי מעל מי

4 — לאיזה kkk הישר משיק? הדיסקרימיננטה מכריעה

5 — בעיית גובה: מהקדקוד ועד השאלה «כמה פעמים»

Exercises

Keep practising on elev

4 — לאיזה $k$ הישר משיק? הדיסקרימיננטה מכריעה