Practice · Similar triangles · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

עשרה תרגילים על כל הפרק: יחס הדמיון, שלושת המשפטים, היקפים ושטחים, מקבילה לצלע, שעון חול, מלבן חסום והגובה ליתר. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

Exercises

סדרה א — קל

Exercise 1

נתון $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ , $AB=4$ ו- $DE=10$ . מהו יחס הדמיון $\dfrac{DE}{AB}$ ?

Show the answer and the solution

Answer: 2.5

Worked solution:

\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

צלעות מתאימות

$k=2.5$ . כל צלע ב- $DEF$ גדולה פי $2.5$ מהמתאימה לה.

Check the answer on elev

Exercise 2

יחס הדמיון בין משולש גדול למשולש קטן הוא $3$ . היקף הקטן $14$ . מהו היקף הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 42

Worked solution:

\begin{aligned}P_2 &= 3 \cdot 14 \\ &= 42\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

$42$ . היקף הוא אורך, פי $k$ ולא פי $k^2$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

צלעות משולש אחד הן $4$ , $5$ ו- $7$ , וצלעות משולש שני הן $8$ , $10$ ו- $14$ . לפי איזה משפט המשולשים דומים?

הם אינם דומים
ז.ז
צ.ז.צ
צ.צ.צ

Show the answer and the solution

Answer: D צ.צ.צ

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{8}{4} &= \frac{10}{5} \\ &= \frac{14}{7} \\ &= 2\end{aligned}

שלושה יחסים שווים

\text{דומים}

משפט דמיון צ.צ.צ

הנכונה: צ.צ.צ. נתונות שלוש צלעות ואף זווית, ולכן זה המשפט היחיד שמתאים.

Check the answer on elev

סדרה ב — בינוני

Exercise 4

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ). נתון $AD=5$ , $AB=15$ ו- $BC=21$ . מצאו את $DE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 7

Worked solution:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADE = \angle ABC$ מתאימות

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{5}{15} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

חלק מול שלם

DE = 7

התשובה

$DE=7$ . $AB$ השלם נתון, ולכן היחס ישיר.

Check the answer on elev

Exercise 5

שטחי שני משולשים דומים הם $25$ ו- $49$ . היקף המשולש הקטן הוא $30$ . מצאו את היקף המשולש הגדול.

Show the answer and the solution

Answer: 42

Worked solution:

\begin{aligned}k &= \sqrt{\frac{49}{25}} \\ &= \frac{7}{5}\end{aligned}

מיחס שטחים ליחס דמיון: שורש

\begin{aligned}P_2 &= 30 \cdot \frac{7}{5} \\ &= 42\end{aligned}

יחס ההיקפים $k$

$42$ . שורש קודם, ואז כפל. מי שכפל את $30$ ב- $\frac{49}{25}$ דילג על השורש.

Check the answer on elev

Exercise 6

הקטעים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $O$ , ו- $AC \parallel DB$ . נתון $AO=4$ , $OB=10$ ו- $AC=6$ . מצאו את $BD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 15

Worked solution:

\triangle AOC \sim \triangle BOD

ז.ז: קודקודיות ב- $O$ , מתחלפות בין $AC \parallel DB$

\begin{aligned}\frac{BD}{AC} &= \frac{OB}{AO} \\ &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

צלעות מתאימות

\begin{aligned}BD &= 2.5 \cdot 6 \\ &= 15\end{aligned}

התשובה

$BD=15$ . $BD$ מול $AC$ , שני המקבילים; $OB$ מול $AO$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $ABC$ : $AB=6$ , $BC=9$ ו- $\angle A = 35^\circ$ . במשולש $DEF$ : $DE=2$ , $EF=3$ ו- $\angle D = 35^\circ$ . הוכיחו או הפריכו: מהנתונים נובע שהמשולשים דומים לפי צ.ז.צ.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\ &= 3\end{aligned}

היחסים שווים

\angle A \ \text{בין} \ AB ,\ AC

הזווית הנתונה אינה כלואה בין $AB$ ל- $BC$ ; הזווית שביניהן היא $\angle B$

\begin{aligned}BC &= 9 > AB \\ &= 6\end{aligned}

צ.ז.צ לא חל: המשפט דורש את הזווית הכלואה

הטענה לא נכונה. צ.ז.צ דורש את הזווית שבין שתי הצלעות הפרופורציוניות, וכאן נתונה זווית אחרת. (המשולשים כאן דומים בכל זאת: הזווית נמצאת מול הצלע הארוכה, ולכן היא קובעת את המשולש — אבל לא לפי צ.ז.צ.)

Check the answer on elev

סדרה ג — מאתגר

Exercise 8

במשולש $ABC$ , $BC=20$ והגובה $AH=15$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=6$ . מצאו את $KL$ .

Show the answer and the solution

Answer: 12

Worked solution:

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\begin{aligned}AP &= 15 - 6 \\ &= 9\end{aligned}

הגובה של המשולש הקטן

\begin{aligned}\frac{KL}{20} &= \frac{9}{15} \ \Rightarrow \ KL \\ &= 12\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון

$KL=12$ . הגובה המתאים ל- $AH$ הוא $AP = 15 - 6$ , לא גובה המלבן.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ הקטע $DE$ מקביל ל- $BC$ ( $D$ על $AB$ , $E$ על $AC$ ), ו- $AD:AB = 3:4$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $32$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 14

Worked solution:

\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

הפעם היחס נתון כבר חלק מול שלם

\begin{aligned}S_{ADE} &= 32 \cdot \frac{9}{16} \\ &= 18\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 32 - 18 \\ &= 14\end{aligned}

מה שנשאר

$14$ . שימו לב לנתון: $AD:AB$ , לא $AD:DB$ . כאן $k$ הוא ישירות $\frac{3}{4}$ .

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $CD$ הגובה ליתר $AB$ . נתון $AD=4$ ו- $DB=9$ . הוכיחו $\triangle ACD \sim \triangle CBD$ , ומצאו את $CD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

\begin{aligned}\angle ADC &= \angle CDB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

גובה

\angle ACD = \angle CBD

שתיהן משלימות את $\angle A$ ל- $90°$

\triangle ACD \sim \triangle CBD

משפט דמיון ז.ז: $A \leftrightarrow C$ , $C \leftrightarrow B$ , $D \leftrightarrow D$

\begin{aligned}\frac{AD}{CD} &= \frac{CD}{DB} \ \Rightarrow \ CD^2 \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

צלעות מתאימות; כפל בהצלבה

CD = 6

אורך חיובי

$CD=6$ . הגובה מופיע פעמיים ביחס, פעם בכל משולש. המלכודת: לכתוב $\triangle ACD \sim \triangle BCD$ — $C$ הקטן מתאים ל- $B$ .

Check the answer on elev

Exercises

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

Keep practising on elev