Set 5 — towards the bagrut · Similar triangles · Kita י

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

ארבע שאלות בנוסח שאלון 471, כל אחת מחולקת לסעיפים — סעיף אחד לכל צעד, כמו בבחינה: אלכסוני טרפז עם שטח, מקבילה לצלע עם שלוש שאלות, מלבן חסום עם $x$ , וטרפז שמוכיחים ואז מודדים.

כתבו כל תשובה כמו בבחינה: הזוויות עם נימוק, הדמיון עם סדר האותיות, היחס עם «צלעות מתאימות», ורק אז המספר. סעיף שמשתמש בסעיף קודם אומר זאת במפורש.

Exercises

Exercise 1

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=8$ , $DC=12$ , $AO=6$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $24$ . א. הוכיחו: $\triangle AOB \sim \triangle COD$ .

$AB \parallel DC$
$O$ נקודת החיתוך של האלכסונים $AC$ ו- $BD$

$\triangle AOB \sim \triangle COD$

Show the answer and the solution

$\angle AOB = \angle COD$ — זוויות קודקודיות שוות
$\angle BAO = \angle DCO$ — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות ( $AB \parallel DC$ )
$\triangle AOB \sim \triangle COD$ — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

\begin{aligned}\angle AOB &= \angle COD \\ \quad \angle BAO &= \angle DCO\end{aligned}

קודקודיות; מתחלפות

\triangle AOB \sim \triangle COD

ז.ז: $A \leftrightarrow C$ , $O \leftrightarrow O$ , $B \leftrightarrow D$

האלכסונים של טרפז יוצרים שעון חול, והבסיסים הם המקבילים. המלכודת: $\triangle AOB \sim \triangle DOC$ — $A$ מתאימה ל- $C$ (על אותו אלכסון $AC$ ), לא ל- $D$ .

Check the answer on elev

Exercise 2

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=8$ , $DC=12$ , $AO=6$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $24$ . ב. מצאו את $OC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 9

Worked solution:

\triangle AOB \sim \triangle COD

סעיף א

\begin{aligned}\frac{OC}{AO} &= \frac{DC}{AB} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= 1.5\end{aligned}

צלעות מתאימות: $O \leftrightarrow O$ , $C \leftrightarrow A$ ; $DC \leftrightarrow AB$

\begin{aligned}OC &= 1.5 \cdot 6 \\ &= 9\end{aligned}

התשובה

$OC=9$ . $OC$ מתאימה ל- $AO$ , שני החלקים של האלכסון $AC$ . מי שכתב $\frac{OC}{AO} = \frac{8}{12}$ הפך את היחס וקיבל $4$ , קטן מ- $AO$ אף ש- $DC > AB$ .

Check the answer on elev

Exercise 3

בטרפז $ABCD$ ( $AB \parallel DC$ ) האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . נתון $AB=8$ , $DC=12$ , $AO=6$ , ושטח המשולש $AOB$ הוא $24$ . ג. מצאו את שטח המשולש $COD$ .

Show the answer and the solution

Answer: 54

Worked solution:

\begin{aligned}k &= \frac{DC}{AB} \\ &= \frac{12}{8} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון, גדול חלקי קטן

\begin{aligned}\frac{S_{COD}}{S_{AOB}} &= k^2 \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

יחס השטחים

\begin{aligned}S_{COD} &= 24 \cdot \frac{9}{4} \\ &= 54\end{aligned}

התשובה

$54$ . השטח פי $k^2 = \frac{9}{4}$ , לא פי $\frac{3}{2}$ . מי שקיבל $36$ שכח את הריבוע.

Check the answer on elev

Exercise 4

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=2$ , $AE=9$ ו- $DE=12$ . א. הוכיחו $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ , ומצאו את $BC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 16

Worked solution:

\begin{aligned}\angle A \ \text{משותפת} \\ \quad \angle ADE &= \angle ABC\end{aligned}

זווית משותפת; זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים ( $DE \parallel BC$ )

\triangle ADE \sim \triangle ABC

משפט דמיון ז.ז

\begin{aligned}\frac{BC}{DE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

צלעות מתאימות; $AB = 6 + 2 = 8$ , חלק מול שלם

\begin{aligned}BC &= 12 \cdot \frac{4}{3} \\ &= 16\end{aligned}

התשובה

$BC=16$ . $k = \frac{8}{6}$ ולא $\frac{2}{6}$ : $AB$ השלם מול $AD$ .

Check the answer on elev

Exercise 5

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=2$ , $AE=9$ ו- $DE=12$ . ב. מצאו את $EC$ .

Show the answer and the solution

Answer: 3

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{AC}{AE} &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

צלעות מתאימות, מסעיף א

\begin{aligned}AC &= 9 \cdot \frac{4}{3} \\ &= 12\end{aligned}

השלם

\begin{aligned}EC &= 12 - 9 \\ &= 3\end{aligned}

החלק שנשאר

$EC=3$ . $EC$ אינו צלע של אף אחד מהמשולשים, ולכן קודם $AC$ מהיחס, ואז חיסור. בדיקה: $\frac{AE}{EC} = \frac{9}{3} = \frac{AD}{DB}$ ✓.

Check the answer on elev

Exercise 6

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $AB$ והנקודה $E$ על $AC$ , ו- $DE \parallel BC$ . נתון $AD=6$ , $DB=2$ , $AE=9$ ו- $DE=12$ . ג. שטח המשולש $ABC$ הוא $64$ . מצאו את שטח הטרפז $DBCE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 28

Worked solution:

\begin{aligned}k &= \frac{AD}{AB} \\ &= \frac{6}{8} \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

יחס הדמיון, קטן חלקי גדול

\begin{aligned}S_{ADE} &= 64 \cdot \frac{9}{16} \\ &= 36\end{aligned}

יחס השטחים $k^2$

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 64 - 36 \\ &= 28\end{aligned}

הטרפז הוא מה שנשאר

$28$ . שלושה סעיפים, שלושה שימושים באותו דמיון: צלע, צלע שלמה ואז חיסור, ושטח דרך $k^2$ . מי שכתב $64 \cdot \frac{3}{4} = 48$ שכח את הריבוע וקיבל טרפז של $16$ .

Check the answer on elev

Exercise 7

במשולש $ABC$ , $BC=24$ והגובה $AH=16$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=x$ . א. הביעו את $KL$ באמצעות $x$ .

$KL = 24 - 1.5x$
$KL = 1.5x$
$KL = 24 - x$
$KL = 16 - x$

Show the answer and the solution

Answer: A $KL = 24 - 1.5x$

Worked solution:

\triangle AKL \sim \triangle ABC

ז.ז: $KL \parallel BC$

\frac{KL}{24} = \frac{16 - x}{16}

גבהים מתאימים ביחס הדמיון: $AP = 16 - x$

\begin{aligned}KL &= \frac{24(16 - x)}{16} \\ &= 1.5(16 - x) \\ &= 24 - 1.5x\end{aligned}

מפשטים

הנכונה: $KL = 24 - 1.5x$ . בדיקה: $x=0$ נותן $KL=24$ (המלבן שטוח על הבסיס), $x=16$ נותן $0$ (הקודקוד). « $24 - x$ » מניח שהצלע יורדת באותו קצב שהגובה עולה, וזה נכון רק כש- $BC = AH$ .

Check the answer on elev

Exercise 8

במשולש $ABC$ , $BC=24$ והגובה $AH=16$ . חסום בו המלבן $KLMN$ ( $K$ על $AB$ , $L$ על $AC$ , $M$ ו- $N$ על $BC$ ), וגובהו $KN=x$ . ב. מצאו את $x$ שעבורו המלבן הוא ריבוע.

Show the answer and the solution

Answer: 9.6

Worked solution:

\begin{aligned}KL &= KN \ \Rightarrow \ 24 - 1.5x \\ &= x\end{aligned}

ריבוע: הצלע שווה לגובה; הביטוי מסעיף א

\begin{aligned}24 &= 2.5x \ \Rightarrow \ x \\ &= 9.6\end{aligned}

פותרים

$x=9.6$ . בדיקה: $KL = 24 - 14.4 = 9.6$ ✓. סעיף ב הוא משוואה אחת בנעלם שסעיף א הכין.

Check the answer on elev

Exercise 9

במשולש $ABC$ , $AB=16$ , $AC=20$ ו- $BC=24$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=4$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=5$ . א. הוכיחו: $DE \parallel BC$ .

$AB=16$ , $AC=20$
$AD=4$ , $AE=5$

$DE \parallel BC$

Show the answer and the solution

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4}$ — חישוב: $\frac{4}{16} = \frac{5}{20}$
$\angle DAE = \angle BAC$ — זווית משותפת לשני המשולשים
$\triangle ADE \sim \triangle ABC$ — משפט דמיון צ.ז.צ: שני יחסים שווים והזווית הכלואה ביניהם שווה
$\angle ADE = \angle ABC$ — זוויות מתאימות במשולשים דומים שוות
$DE \parallel BC$ — אם זוויות מתאימות שוות, הישרים מקבילים

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{4}{16} &= \frac{5}{20} \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad \angle A \ \text{משותפת}\end{aligned}

צ.ז.צ

\triangle ADE \sim \triangle ABC \ \Rightarrow \ \angle ADE = \angle ABC

זוויות מתאימות במשולשים דומים

DE \parallel BC

זוויות מתאימות שוות

ההקבלה היא המסקנה, ולכן המשפט הפותח הוא צ.ז.צ ולא ז.ז. מי שכותב «מתאימות בין מקבילים» בצעד השני משתמש במה שצריך להוכיח.

Check the answer on elev

Exercise 10

במשולש $ABC$ , $AB=16$ , $AC=20$ ו- $BC=24$ . הנקודה $D$ על $AB$ עם $AD=4$ , והנקודה $E$ על $AC$ עם $AE=5$ . ב. מצאו את היקף הטרפז $DBCE$ .

Show the answer and the solution

Answer: 57

Worked solution:

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ DE \\ &= 6\end{aligned}

צלעות מתאימות במשולשים הדומים מסעיף א

\begin{aligned}DB &= 16 - 4 \\ &= 12 \\ \quad CE &= 20 - 5 \\ &= 15\end{aligned}

השוקיים של הטרפז: החלקים שנשארו

\begin{aligned}P &= 12 + 24 + 15 + 6 \\ &= 57\end{aligned}

שתי שוקיים ושני בסיסים

$57$ . המלכודת: להכניס להיקף את $AB$ ו- $AC$ השלמות ( $16 + 24 + 20 + 6 = 66$ ). השוקיים של הטרפז הן $DB$ ו- $CE$ .

Check the answer on elev

Exercises

Keep practising on elev