Perimeters, areas and lines

On elev, this lesson comes with exercises checked instantly, a hint when your child gets stuck, and progress tracking.

Practise on elev

Automatic translation, not reviewed, of the Hebrew lesson your child follows at school.

במשולש שצלעותיו 33, 44 ו-55 ההיקף הוא 1212 והשטח 66. מגדילים אותו פי 22: הצלעות 66, 88 ו-1010, ההיקף 2424 — פי 22, כצפוי. אבל השטח הוא 6⋅82=24\frac{6 \cdot 8}{2} = 24, כלומר פי 4. הזיזו את המחוון וראו את זה קורה עם כל יחס.

למה השטח גדל פי k2k^2 ולא פי kk?

Show the answer and the solution

כי שטח הוא אורך כפול אורך: S=a⋅h2S = \frac{a \cdot h}{2}. בדמיון גם הצלע aa וגם הגובה hh גדלים פי kk, ולכן המכפלה גדלה פי k⋅k=k2k \cdot k = k^2.

היקפים ושטחים

P2P1=kS2S1=k2\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \qquad\qquad \frac{S_2}{S_1} \\ &= k^2\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון; יחס השטחים שווה לריבועו

ההיקף הוא סכום של אורכים, וכל אורך גדל פי kk, ולכן גם הסכום גדל פי kk. השטח הוא מכפלה של שני אורכים, ולכן פי k2k^2. הכיוון ההפוך שימושי לא פחות: מיחס שטחים מוציאים שורש כדי לקבל את יחס הדמיון.

מהיקפים לשטח

היקפי שני משולשים דומים הם 1818 ו-2727. שטח הקטן הוא 88. מצאו את שטח הגדול.

k=2718=32\begin{aligned}k &= \frac{27}{18} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

S2S1=k2=94\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= \frac{9}{4}\end{aligned}

יחס השטחים

S2=8⋅94=18\begin{aligned}S_2 &= 8 \cdot \frac{9}{4} \\ &= 18\end{aligned}

שטח הגדול

יחס השטחים של שני משולשים דומים הוא 1:161:16. מהו יחס ההיקפים?

Show the answer and the solution

k2=16k^2 = 16, ולכן k=4k = 4: יחס ההיקפים 1:41:4. משטחים לאורכים הולכים דרך השורש, לא דרך חלוקה ב-22.

גבהים, תיכונים וחוצי זוויות

ABCDEF
במשולשים דומים, הגובה של הגדול הוא הגובה של הקטן כפול kk. אותו דבר לתיכון ולחוצה הזווית המתאימים.

במשולשים דומים, היחס בין גבהים מתאימים, בין תיכונים מתאימים ובין חוצי זוויות מתאימים שווה ליחס הדמיון kk. הסיבה: הגובה יוצר במשולש הקטן משולש ישר-זווית, ובגדול משולש ישר-זווית דומה לו לפי ז.ז (זווית ישרה וזווית שווה של המשולשים המקוריים). לכן גם הגבהים הם צלעות מתאימות של משולשים דומים, ויחסם kk.

צלע\text{צלע}

פי kk

היקף\text{היקף}

פי kk

גובה\text{גובה}

פי kk, וכך גם תיכון וחוצה זווית

שטח\text{שטח}

פי k2k^2 — היחיד שמתנהג אחרת

גובה מתאים

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, AB=6AB=6 ו-DE=9DE=9. הגובה לצלע ABAB במשולש ABCABC הוא 44. מצאו את הגובה לצלע DEDE במשולש DEFDEF.

k=DEAB=96=1.5\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון

h2=1.5⋅4=6\begin{aligned}h_2 &= 1.5 \cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}

גבהים מתאימים ביחס kk

S2S1=9⋅66⋅4=5424=2.25=1.52\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{9 \cdot 6}{6 \cdot 4} \\ &= \frac{54}{24} \\ &= 2.25 \\ &= 1.5^2\end{aligned}

בדיקה דרך השטחים ✓

שאלת בקרה לפני כל תשובה: מה מדדתי — אורך או שטח? אורך (צלע, היקף, גובה, תיכון, חוצה זווית) הולך עם kk. שטח הולך עם k2k^2. אין סוג שלישי.

שלוש הטעויות של היחסים.

k=3 ⇒ S2S1=3\begin{aligned}k &= 3 \ \Rightarrow \ \frac{S_2}{S_1} \\ &= 3\end{aligned}
k=3 ⇒ S2S1=9\begin{aligned}k &= 3 \ \Rightarrow \ \frac{S_2}{S_1} \\ &= 9\end{aligned}

השטח גדל פי k2k^2. בדיקה קלה: משולש 33-44-55 ששטחו 66, מוגדל פי 33 הוא 99-1212-1515 ששטחו 54=6⋅954 = 6 \cdot 9.

S2S1=259 ⇒ k=259\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{25}{9} \ \Rightarrow \ k \\ &= \frac{25}{9}\end{aligned}
S2S1=259 ⇒ k=53\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= \frac{25}{9} \ \Rightarrow \ k \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

מיחס שטחים ליחס דמיון מוציאים שורש. מי ששוכח מקבל היקפים גדולים כמעט פי שניים ממה שצריך.

k=2 ⇒ h2h1=4\begin{aligned}k &= 2 \ \Rightarrow \ \frac{h_2}{h_1} \\ &= 4\end{aligned}
k=2 ⇒ h2h1=2\begin{aligned}k &= 2 \ \Rightarrow \ \frac{h_2}{h_1} \\ &= 2\end{aligned}

גובה הוא אורך, לא שטח. רק השטח מקבל את הריבוע.

Exercises

Exercise 1

ABCDEF

יחס הדמיון בין משולש גדול למשולש קטן הוא 33. היקף המשולש הקטן הוא 1212. מהו היקף המשולש הגדול?

Show the answer and the solution

Answer: 36

Worked solution:

P2P1=k=3\begin{aligned}\frac{P_2}{P_1} &= k \\ &= 3\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

P2=3⋅12=36\begin{aligned}P_2 &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

היקף הגדול

3636. ההיקף הוא סכום אורכים, ולכן גדל פי kk ולא פי k2k^2. מי שענה 108108 כפל ב-99, וזה יחס של שטחים.

Check the answer on elev

Exercise 2

ABCDEF

יחס הדמיון בין משולש גדול למשולש קטן הוא 33. שטח המשולש הקטן הוא 55 סמ״ר. מהו שטח המשולש הגדול, בסמ״ר?

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

S2S1=k2=9\begin{aligned}\frac{S_2}{S_1} &= k^2 \\ &= 9\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

S2=9⋅5=45\begin{aligned}S_2 &= 9 \cdot 5 \\ &= 45\end{aligned}

שטח הגדול

4545 סמ״ר. מי שענה 1515 כפל ב-kk במקום ב-k2k^2: שטח הוא אורך כפול אורך, ושני האורכים גדלו פי 33.

Check the answer on elev

Exercise 3

ABCDEF

שטחי שני משולשים דומים הם 44 ו-3636. מהו יחס הדמיון בין הגדול לקטן?

  1. 66
  2. 33
  3. 99
  4. 3232
Show the answer and the solution

Answer: B 33

Worked solution:

k2=364=9\begin{aligned}k^2 &= \frac{36}{4} \\ &= 9\end{aligned}

יחס השטחים

k=9=3\begin{aligned}k &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

יחס הדמיון: שורש של יחס השטחים

הנכונה: 33. 99 הוא יחס השטחים עצמו, בלי השורש. 66 הוא 36\sqrt{36} לבד, בלי לחלק ב-44 קודם. 3232 הוא הפרש, ולא יחס.

Check the answer on elev

Exercise 4

ABCHDEFG
CHCH הגובה לצלע ABAB, ו-FGFG הגובה לצלע DEDE.

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF, AB=6AB=6 ו-DE=9DE=9. הגובה מהקודקוד CC לצלע ABAB הוא 44. מצאו את הגובה מהקודקוד FF לצלע DEDE.

Show the answer and the solution

Answer: 6

Worked solution:

k=DEAB=96=1.5\begin{aligned}k &= \frac{DE}{AB} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון

hF=1.5⋅4=6\begin{aligned}h_F &= 1.5 \cdot 4 \\ &= 6\end{aligned}

גבהים מתאימים במשולשים דומים ביחס kk

66. הגובה מ-FF ל-DEDE מתאים לגובה מ-CC ל-ABAB, כי C↔FC \leftrightarrow F ו-AB↔DEAB \leftrightarrow DE. גובה הוא אורך: פי kk, לא פי k2k^2.

Check the answer on elev

Exercise 5

ABCDEF

היקפי שני משולשים דומים הם 2020 ו-3030, ושטח הקטן הוא 1616. השלימו.

יחס הדמיון k=k= ____ , שטח הגדול: ____

Show the answer and the solution

Answer: יחס הדמיון k=k= 1.5 , שטח הגדול: 36

Worked solution:

k=3020=1.5\begin{aligned}k &= \frac{30}{20} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס ההיקפים הוא יחס הדמיון

S2=16⋅1.52=16⋅2.25=36\begin{aligned}S_2 &= 16 \cdot 1.5^2 \\ &= 16 \cdot 2.25 \\ &= 36\end{aligned}

יחס השטחים k2k^2

k=1.5k=1.5 ו-S2=36S_2=36. מהיקפים ל-kk מחלקים ישירות, אין שורש. השורש מופיע רק כשמתחילים משטחים.

Check the answer on elev

Exercise 6

ABCDEF

הוכיחו או הפריכו: אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 22, אז היחס בין גבהים מתאימים בהם הוא 44.

Show the answer and the solution

Answer: False

Worked solution:

h2h1=k=2\begin{aligned}\frac{h_2}{h_1} &= k \\ &= 2\end{aligned}

גבהים מתאימים במשולשים דומים ביחס kk

S2S1=4\frac{S_2}{S_1} = 4

44 הוא יחס השטחים, לא יחס הגבהים

הטענה לא נכונה. הגובה הוא אורך, והוא גדל פי 22. דוגמה נגדית: משולש ישר-זווית עם ניצבים 33 ו-44, מוגדל פי 22 לניצבים 66 ו-88: הגובה 33 הפך ל-66.

Check the answer on elev

Exercise 7

ABCDEF

שטחי שני משולשים דומים הם 1818 ו-5050. היקף המשולש הקטן הוא 2121. מצאו את היקף המשולש הגדול.

Show the answer and the solution

Answer: 35

Worked solution:

k2=5018=259\begin{aligned}k^2 &= \frac{50}{18} \\ &= \frac{25}{9}\end{aligned}

יחס השטחים; מצמצמים ב-22

k=259=53\begin{aligned}k &= \sqrt{\frac{25}{9}} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

שורש: יחס הדמיון

P2=21⋅53=35\begin{aligned}P_2 &= 21 \cdot \frac{5}{3} \\ &= 35\end{aligned}

יחס ההיקפים kk

3535. שני צעדים: שורש כדי לרדת מהשטחים ל-kk, ואז כפל ב-kk להיקף. מי שכפל את 2121 ב-259\frac{25}{9} דילג על השורש.

Check the answer on elev

Exercise 8

ABCDE

במשולש ABCABC הקטע DEDE מקביל ל-BCBC (DD על ABAB, EE על ACAC). נתון AD=2AD=2, DB=4DB=4, ושטח המשולש ADEADE הוא 33. מצאו את שטח המשולש ABCABC.

Show the answer and the solution

Answer: 27

Worked solution:

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

ז.ז: ∠A\angle A משותפת, ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC מתאימות

k=ABAD=62=3\begin{aligned}k &= \frac{AB}{AD} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

חלק מול שלם: AB=2+4=6AB = 2 + 4 = 6

SABC=3⋅32=27\begin{aligned}S_{ABC} &= 3 \cdot 3^2 \\ &= 27\end{aligned}

יחס השטחים k2k^2

2727. שתי מלכודות בשאלה אחת: kk נמדד מול השלם AB=6AB=6 ולא מול DB=4DB=4, והשטח גדל פי k2=9k^2=9 ולא פי 33.

Check the answer on elev

Exercise 9

ABCDEF

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF ביחס דמיון DEAB=12\dfrac{DE}{AB} = \dfrac{1}{2}. התיכון מהקודקוד AA במשולש ABCABC הוא 1010. מהו התיכון המתאים במשולש DEFDEF?

  1. 1010
  2. 2.52.5
  3. 2020
  4. 55
Show the answer and the solution

Answer: D 55

Worked solution:

mD=k⋅mAm_D = k \cdot m_A

תיכונים מתאימים במשולשים דומים ביחס kk

mD=12⋅10=5\begin{aligned}m_D &= \frac{1}{2} \cdot 10 \\ &= 5\end{aligned}

התיכון מ-DD

הנכונה: 55. DEFDEF הוא המשולש הקטן (k=12k=\frac{1}{2}), ולכן התיכון בו קטן יותר. 2020 הולך בכיוון ההפוך, ו-2.52.5 כופל ב-k2k^2, שמתאים רק לשטח.

Check the answer on elev

Exercise 10

ABCDEF

בשני משולשים דומים, חוצה הזווית במשולש הקטן הוא 66 וחוצה הזווית המתאים במשולש הגדול הוא 99. שטח המשולש הקטן הוא 2020. מצאו את שטח המשולש הגדול.

Show the answer and the solution

Answer: 45

Worked solution:

k=96=1.5\begin{aligned}k &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

חוצי זוויות מתאימים ביחס kk

S2=20⋅1.52=20⋅2.25=45\begin{aligned}S_2 &= 20 \cdot 1.5^2 \\ &= 20 \cdot 2.25 \\ &= 45\end{aligned}

יחס השטחים k2k^2

4545. חוצה זווית הוא אורך, ולכן היחס 96\frac{9}{6} הוא kk עצמו, בלי שורש. ואז השטח, שהוא היחיד שמקבל ריבוע.

Check the answer on elev

חזרה משולבת — משולש האמצעים

Exercise 11

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. א. הוכיחו: המרובע ADEFADEF הוא מקבילית.

  • DD אמצע ABAB
  • EE אמצע BCBC
  • FF אמצע ACAC

ADEFADEF מקבילית

Show the answer and the solution
  1. DE∥ACDE \parallel AC — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
  2. EF∥ABEF \parallel AB — קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית
  3. DE∥AFDE \parallel AF ו-EF∥ADEF \parallel AD — FF על ACAC ו-DD על ABAB
  4. ADEFADEF מקבילית — מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית

Worked solution:

DE∥AC,EF∥ABDE \parallel AC ,\quad EF \parallel AB

שני קטעי אמצעים

DE∥AF,EF∥ADDE \parallel AF ,\quad EF \parallel AD

הצלעות AFAF ו-ADAD מונחות על ACAC ועל ABAB

שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות. אפשר גם: DE=12AC=AFDE = \frac{1}{2}AC = AF ו-DE∥AFDE \parallel AF — זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות.

Check the answer on elev

Exercise 12

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. נתון A(−3,2)A(-3, 2), F(1,0)F(1, 0), E(4,2)E(4, 2), D(0,4)D(0, 4). ב. מצאו את שיעורי הנקודה BB.

B=B = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: B=B = ( 3 , 6 )

Worked solution:

−3+xB2=02+yB2=4\begin{aligned}\frac{-3 + x_B}{2} &= 0 \\ \quad \frac{2 + y_B}{2} &= 4\end{aligned}

DD אמצע ABAB

xB=3yB=6\begin{aligned}x_B &= 3 \\ \quad y_B &= 6\end{aligned}

הקצה השני

B(3,6)B(3, 6). קיצור: B=2D−A=(0+3,8−2)B = 2D - A = (0 + 3, 8 - 2).

Check the answer on elev

Exercise 13

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. נתון A(−3,2)A(-3, 2), F(1,0)F(1, 0), E(4,2)E(4, 2), D(0,4)D(0, 4). נמצא B(3,6)B(3, 6). ג. חשבו את שיעורי הנקודה CC.

C=C = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: C=C = ( 5 , -2 )

Worked solution:

−3+xC2=12+yC2=0\begin{aligned}\frac{-3 + x_C}{2} &= 1 \\ \quad \frac{2 + y_C}{2} &= 0\end{aligned}

FF אמצע ACAC

C=(5,−2)C = (5, -2)

הקצה השני

(3+52,6−22)=(4,2)=E\begin{aligned}\left(\frac{3 + 5}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) &= (4, 2) \\ &= E\end{aligned}

בדיקה: EE אמצע BCBC ✓

C(5,−2)C(5, -2). הנתון EE לא נחוץ לחישוב — הוא משמש לבדיקה.

Check the answer on elev

Exercise 14

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. ד. מדוע △DEF∼△CAB\triangle DEF \sim \triangle CAB?

  1. לשני המשולשים יש זווית משותפת AA — ז.ז
  2. שני המשולשים ישרי זווית
  3. כל צלע של DEFDEF היא קטע אמצעים, ושווה למחצית הצלע המקבילה לה — צ.צ.צ ביחס 12\frac{1}{2}
  4. ADEFADEF מקבילית, ולכן △DEF≅△CAB\triangle DEF \cong \triangle CAB
Show the answer and the solution

Answer: C כל צלע של DEFDEF היא קטע אמצעים, ושווה למחצית הצלע המקבילה לה — צ.צ.צ ביחס 12\frac{1}{2}

Worked solution:

DE=12CAEF=12ABFD=12BC\begin{aligned}DE &= \tfrac{1}{2}CA \\ \quad EF &= \tfrac{1}{2}AB \\ \quad FD &= \tfrac{1}{2}BC\end{aligned}

שלושה קטעי אמצעים

DECA=EFAB=FDBC=12\begin{aligned}\frac{DE}{CA} &= \frac{EF}{AB} \\ &= \frac{FD}{BC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

משפט דמיון צ.צ.צ

סדר האותיות: DE↔CADE \leftrightarrow CA ו-EF↔ABEF \leftrightarrow AB, ולכן D↔CD \leftrightarrow C, E↔AE \leftrightarrow A, F↔BF \leftrightarrow B. הזווית AA אינה זווית של DEFDEF.

Check the answer on elev

Exercise 15

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. ידוע ש-△DEF∼△CAB\triangle DEF \sim \triangle CAB. ה. מהו היחס בין היקף המשולש DEFDEF להיקף המשולש CABCAB? (כתבו כשבר עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.5

Worked solution:

k=DECA=12\begin{aligned}k &= \frac{DE}{CA} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון: קטע אמצעים הוא חצי מהצלע

PDEFPCAB=k=12\begin{aligned}\frac{P_{DEF}}{P_{CAB}} &= k \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

היחס 1:21 : 2. ההיקף הוא סכום אורכים, ולכן הוא מתכווץ בדיוק כמו כל צלע.

Check the answer on elev

Exercise 16

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. ידוע ש-△DEF∼△CAB\triangle DEF \sim \triangle CAB ביחס דמיון 12\frac{1}{2}. ו. מהו היחס בין שטח המשולש DEFDEF לשטח המשולש CABCAB? (כתבו כשבר עשרוני)

Show the answer and the solution

Answer: 0.25

Worked solution:

SDEFSCAB=k2=(12)2=14\begin{aligned}\frac{S_{DEF}}{S_{CAB}} &= k^2 \\ &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

SDEF=7SABC=28\begin{aligned}S_{DEF} &= 7 \\ \quad S_{ABC} &= 28\end{aligned}

בדיקה בנוסחת שטח בשיעורים ✓

היחס 1:41 : 4. ארבעת המשולשים הקטנים (ADFADF, DBEDBE, FECFEC ו-DEFDEF) חופפים, ולכן כל אחד הוא רבע מהמשולש הגדול.

Check the answer on elev

Exercise 17

במשולש ABCABC הנקודות DD, EE, FF הן אמצעי הצלעות ABAB, BCBC, ACAC בהתאמה. ידוע ש-SDEFSCAB=14\frac{S_{DEF}}{S_{CAB}} = \frac{1}{4}. ז. הוכיחו: S△ABF=2⋅S△DEFS_{\triangle ABF} = 2 \cdot S_{\triangle DEF}.

  • FF אמצע ACAC
  • SDEFSCAB=14\frac{S_{DEF}}{S_{CAB}} = \frac{1}{4}

S△ABF=2⋅S△DEFS_{\triangle ABF} = 2 \cdot S_{\triangle DEF}

Show the answer and the solution
  1. S△ABF=12S△ABCS_{\triangle ABF} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABC} — תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
  2. S△DEF=14S△ABCS_{\triangle DEF} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} — נתון (סעיף ו)
  3. S△ABF=2⋅S△DEFS_{\triangle ABF} = 2 \cdot S_{\triangle DEF} — השוואה: 12=2⋅14\frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{4}

Worked solution:

SABF=12SABCS_{ABF} = \frac{1}{2}S_{ABC}

BFBF תיכון: אותו גובה מ-BB, ובסיסים שווים AF=FCAF = FC

SDEF=14SABC⇒SABF=2SDEF\begin{aligned}S_{DEF} &= \frac{1}{4}S_{ABC} \Rightarrow S_{ABF} \\ &= 2S_{DEF}\end{aligned}

השוואה

SABF=14=2⋅7\begin{aligned}S_{ABF} &= 14 \\ &= 2 \cdot 7\end{aligned}

בדיקה בשיעורים ✓

שני השטחים נמדדים ביחס לאותו משולש גדול: חצי ממנו ורבע ממנו.

Check the answer on elev

חזרה משולבת — טרפז ישר זווית במערכת צירים

Exercise 18

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AB∥OCAB \parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−12x+5y = -\frac{1}{2}x + 5. הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים. א. (1) מצאו את משוואת הצלע BCBC.

y=y = ____ x+x + ____

Show the answer and the solution

Answer: y=y = 2 x+x + 5

Worked solution:

BC⊥OC, OC∥AB⇒BC⊥ABBC \perp OC ,\ OC \parallel AB \Rightarrow BC \perp AB

∠C=90∘\angle C = 90^\circ, והבסיסים מקבילים

mBC⋅(−12)=−1⇒mBC=2\begin{aligned}m_{BC} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) &= -1 \Rightarrow m_{BC} \\ &= 2\end{aligned}

מכפלת שיפועים −1-1

B(0,5)⇒y=2x+5B(0, 5) \Rightarrow y = 2x + 5

BB היא נקודת החיתוך של ABAB עם ציר ה-yy

y=2x+5y = 2x + 5. בטרפז ישר זווית השוק BCBC מאונכת לשני הבסיסים.

Check the answer on elev

Exercise 19

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AB∥OCAB \parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−12x+5y = -\frac{1}{2}x + 5. הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים. משוואת הצלע BCBC היא y=2x+5y = 2x + 5. א. (2) חשבו את שיעורי הקודקוד CC.

C=C = ( ____ , ____ )

Show the answer and the solution

Answer: C=C = ( -2 , 1 )

Worked solution:

OC: y=−12xOC:\ y = -\frac{1}{2}x

OC∥ABOC \parallel AB ועובר בראשית

−12x=2x+5⇒x=−2\begin{aligned}-\frac{1}{2}x &= 2x + 5 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

חיתוך OCOC ו-BCBC

y=−12⋅(−2)=1\begin{aligned}y &= -\frac{1}{2} \cdot (-2) \\ &= 1\end{aligned}

הצבה

C(−2,1)C(-2, 1). בדיקה ב-BCBC: 2⋅(−2)+5=12 \cdot (-2) + 5 = 1 ✓

Check the answer on elev

Exercise 20

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AB∥OCAB \parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−12x+5y = -\frac{1}{2}x + 5. הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים. נמצא C(−2,1)C(-2, 1). ב. חשבו את גודל הזווית ∠BOC\angle BOC (במעלות, דיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה).

Show the answer and the solution

Answer: 63.43

Worked solution:

tan⁡α=12⇒α≈26.57∘\tan \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha \approx 26.57^\circ

α\alpha הזווית בין OCOC לחלק השלילי של ציר ה-xx: הישר עולה 11 על כל 22

∠BOC=90∘−26.57∘=63.43∘\begin{aligned}\angle BOC &= 90^\circ - 26.57^\circ \\ &= 63.43^\circ\end{aligned}

OBOB על ציר ה-yy, מאונך לציר ה-xx

∠BOC≈63.43∘\angle BOC \approx 63.43^\circ. דרך אחרת: במשולש ישר הזווית BCOBCO, cos⁡∠BOC=OCOB=55\cos \angle BOC = \frac{OC}{OB} = \frac{\sqrt{5}}{5}.

Check the answer on elev

Exercise 21

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AB∥OCAB \parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−12x+5y = -\frac{1}{2}x + 5. הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים. ג. (1) הוכיחו: △ABO∼△BOC\triangle ABO \sim \triangle BOC.

  • ∠BCO=90∘\angle BCO = 90^\circ
  • AB∥OCAB \parallel OC
  • AA על ציר ה-xx, BB על ציר ה-yy

△ABO∼△BOC\triangle ABO \sim \triangle BOC

Show the answer and the solution
  1. ∠AOB=90∘\angle AOB = 90^\circ — הצירים מאונכים זה לזה
  2. ∠AOB=∠BCO\angle AOB = \angle BCO — שתיהן 90∘90^\circ
  3. ∠ABO=∠BOC\angle ABO = \angle BOC — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות (AB∥OCAB \parallel OC)
  4. △ABO∼△BOC\triangle ABO \sim \triangle BOC — משפט דמיון ז.ז

Worked solution:

∠AOB=∠BCO=90∘\begin{aligned}\angle AOB &= \angle BCO \\ &= 90^\circ\end{aligned}

צירים; נתון

∠ABO=∠BOC\angle ABO = \angle BOC

מתחלפות: הישר BOBO חותך את המקבילים ABAB ו-OCOC

△ABO∼△BOC\triangle ABO \sim \triangle BOC

ז.ז: A↔BA \leftrightarrow B, B↔OB \leftrightarrow O, O↔CO \leftrightarrow C

סדר האותיות הוא ההתאמה: הזווית הישרה OO ב-ABOABO מתאימה לזווית הישרה CC ב-BOCBOC.

Check the answer on elev

Exercise 22

המרובע ABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AB∥OCAB \parallel OC). משוואת הצלע ABAB היא y=−12x+5y = -\frac{1}{2}x + 5. הנקודות AA ו-BB נמצאות על ציר ה-xx ועל ציר ה-yy בהתאמה, ו-OO ראשית הצירים. נמצא C(−2,1)C(-2, 1), והוכח △ABO∼△BOC\triangle ABO \sim \triangle BOC. ג. (2) חשבו את יחס השטחים S△ABOS△BOC\frac{S_{\triangle ABO}}{S_{\triangle BOC}}.

Show the answer and the solution

Answer: 5

Worked solution:

A(10,0), B(0,5)A(10, 0) ,\ B(0, 5)

חיתוכי ABAB עם הצירים

k=ABBO=1255=5\begin{aligned}k &= \frac{AB}{BO} \\ &= \frac{\sqrt{125}}{5} \\ &= \sqrt{5}\end{aligned}

יחס היתרים: ABAB מתאים ל-BOBO

SABOSBOC=k2=5\begin{aligned}\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}} &= k^2 \\ &= 5\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

SABO=10⋅52=25SBOC=5⋅202=5\begin{aligned}S_{ABO} &= \frac{10 \cdot 5}{2} \\ &= 25 \\ \quad S_{BOC} &= \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}}{2} \\ &= 5\end{aligned}

בדיקה ישירה ✓

היחס 55. המלכודת: לענות 5\sqrt{5} — זה יחס הצלעות.

Check the answer on elev

Keep practising on elev

Videos, instant checking and a path that follows your child's pace, for every chapter of their grade.

Practise on elevDiscover elev for this grade